/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 6162 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 403 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: zeros -> cons(0, n__zeros) U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U102(tt, V1, V2) -> U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U103(tt, V1, V2) -> U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U104(tt, V1, V2) -> U105(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U105(tt, V2) -> U106(isNatIList(activate(V2))) U106(tt) -> tt U11(tt, V1) -> U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) U111(tt, L, N) -> U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N)) U112(tt, L, N) -> U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N)) U113(tt, L, N) -> U114(isNatKind(activate(N)), activate(L)) U114(tt, L) -> s(length(activate(L))) U12(tt, V1) -> U13(isNatList(activate(V1))) U121(tt, IL) -> U122(isNatIListKind(activate(IL))) U122(tt) -> nil U13(tt) -> tt U131(tt, IL, M, N) -> U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U132(tt, IL, M, N) -> U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U133(tt, IL, M, N) -> U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U134(tt, IL, M, N) -> U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U135(tt, IL, M, N) -> U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U136(tt, IL, M, N) -> cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL))) U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V) -> U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) U32(tt, V) -> U33(isNatList(activate(V))) U33(tt) -> tt U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U42(tt, V1, V2) -> U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U43(tt, V1, V2) -> U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U44(tt, V1, V2) -> U45(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U45(tt, V2) -> U46(isNatIList(activate(V2))) U46(tt) -> tt U51(tt, V2) -> U52(isNatIListKind(activate(V2))) U52(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatIListKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt) -> tt U81(tt) -> tt U91(tt, V1, V2) -> U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U92(tt, V1, V2) -> U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U93(tt, V1, V2) -> U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U94(tt, V1, V2) -> U95(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U95(tt, V2) -> U96(isNatList(activate(V2))) U96(tt) -> tt isNat(n__0) -> tt isNat(n__length(V1)) -> U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatIList(V) -> U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) isNatIList(n__zeros) -> tt isNatIList(n__cons(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatIListKind(n__nil) -> tt isNatIListKind(n__zeros) -> tt isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatIListKind(n__take(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__length(V1)) -> U71(isNatIListKind(activate(V1))) isNatKind(n__s(V1)) -> U81(isNatKind(activate(V1))) isNatList(n__nil) -> tt isNatList(n__cons(V1, V2)) -> U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatList(n__take(V1, V2)) -> U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) length(nil) -> 0 length(cons(N, L)) -> U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N) take(0, IL) -> U121(isNatIList(IL), IL) take(s(M), cons(N, IL)) -> U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N) zeros -> n__zeros take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 length(X) -> n__length(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) nil -> n__nil activate(n__zeros) -> zeros activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__length(X)) -> length(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__nil) -> nil activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(n__zeros) -> n__zeros encArg(tt) -> tt encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(cons_zeros) -> zeros encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__zeros -> n__zeros encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__nil -> n__nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: zeros -> cons(0, n__zeros) U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U102(tt, V1, V2) -> U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U103(tt, V1, V2) -> U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U104(tt, V1, V2) -> U105(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U105(tt, V2) -> U106(isNatIList(activate(V2))) U106(tt) -> tt U11(tt, V1) -> U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) U111(tt, L, N) -> U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N)) U112(tt, L, N) -> U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N)) U113(tt, L, N) -> U114(isNatKind(activate(N)), activate(L)) U114(tt, L) -> s(length(activate(L))) U12(tt, V1) -> U13(isNatList(activate(V1))) U121(tt, IL) -> U122(isNatIListKind(activate(IL))) U122(tt) -> nil U13(tt) -> tt U131(tt, IL, M, N) -> U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U132(tt, IL, M, N) -> U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U133(tt, IL, M, N) -> U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U134(tt, IL, M, N) -> U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U135(tt, IL, M, N) -> U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U136(tt, IL, M, N) -> cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL))) U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V) -> U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) U32(tt, V) -> U33(isNatList(activate(V))) U33(tt) -> tt U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U42(tt, V1, V2) -> U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U43(tt, V1, V2) -> U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U44(tt, V1, V2) -> U45(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U45(tt, V2) -> U46(isNatIList(activate(V2))) U46(tt) -> tt U51(tt, V2) -> U52(isNatIListKind(activate(V2))) U52(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatIListKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt) -> tt U81(tt) -> tt U91(tt, V1, V2) -> U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U92(tt, V1, V2) -> U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U93(tt, V1, V2) -> U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U94(tt, V1, V2) -> U95(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U95(tt, V2) -> U96(isNatList(activate(V2))) U96(tt) -> tt isNat(n__0) -> tt isNat(n__length(V1)) -> U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatIList(V) -> U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) isNatIList(n__zeros) -> tt isNatIList(n__cons(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatIListKind(n__nil) -> tt isNatIListKind(n__zeros) -> tt isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatIListKind(n__take(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__length(V1)) -> U71(isNatIListKind(activate(V1))) isNatKind(n__s(V1)) -> U81(isNatKind(activate(V1))) isNatList(n__nil) -> tt isNatList(n__cons(V1, V2)) -> U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatList(n__take(V1, V2)) -> U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) length(nil) -> 0 length(cons(N, L)) -> U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N) take(0, IL) -> U121(isNatIList(IL), IL) take(s(M), cons(N, IL)) -> U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N) zeros -> n__zeros take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 length(X) -> n__length(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) nil -> n__nil activate(n__zeros) -> zeros activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__length(X)) -> length(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__nil) -> nil activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__zeros) -> n__zeros encArg(tt) -> tt encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(cons_zeros) -> zeros encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__zeros -> n__zeros encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__nil -> n__nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: zeros -> cons(0, n__zeros) U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U102(tt, V1, V2) -> U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U103(tt, V1, V2) -> U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U104(tt, V1, V2) -> U105(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U105(tt, V2) -> U106(isNatIList(activate(V2))) U106(tt) -> tt U11(tt, V1) -> U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) U111(tt, L, N) -> U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N)) U112(tt, L, N) -> U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N)) U113(tt, L, N) -> U114(isNatKind(activate(N)), activate(L)) U114(tt, L) -> s(length(activate(L))) U12(tt, V1) -> U13(isNatList(activate(V1))) U121(tt, IL) -> U122(isNatIListKind(activate(IL))) U122(tt) -> nil U13(tt) -> tt U131(tt, IL, M, N) -> U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U132(tt, IL, M, N) -> U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U133(tt, IL, M, N) -> U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U134(tt, IL, M, N) -> U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U135(tt, IL, M, N) -> U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U136(tt, IL, M, N) -> cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL))) U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V) -> U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) U32(tt, V) -> U33(isNatList(activate(V))) U33(tt) -> tt U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U42(tt, V1, V2) -> U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U43(tt, V1, V2) -> U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U44(tt, V1, V2) -> U45(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U45(tt, V2) -> U46(isNatIList(activate(V2))) U46(tt) -> tt U51(tt, V2) -> U52(isNatIListKind(activate(V2))) U52(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatIListKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt) -> tt U81(tt) -> tt U91(tt, V1, V2) -> U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U92(tt, V1, V2) -> U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U93(tt, V1, V2) -> U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U94(tt, V1, V2) -> U95(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U95(tt, V2) -> U96(isNatList(activate(V2))) U96(tt) -> tt isNat(n__0) -> tt isNat(n__length(V1)) -> U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatIList(V) -> U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) isNatIList(n__zeros) -> tt isNatIList(n__cons(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatIListKind(n__nil) -> tt isNatIListKind(n__zeros) -> tt isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatIListKind(n__take(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__length(V1)) -> U71(isNatIListKind(activate(V1))) isNatKind(n__s(V1)) -> U81(isNatKind(activate(V1))) isNatList(n__nil) -> tt isNatList(n__cons(V1, V2)) -> U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatList(n__take(V1, V2)) -> U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) length(nil) -> 0 length(cons(N, L)) -> U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N) take(0, IL) -> U121(isNatIList(IL), IL) take(s(M), cons(N, IL)) -> U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N) zeros -> n__zeros take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 length(X) -> n__length(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) nil -> n__nil activate(n__zeros) -> zeros activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__length(X)) -> length(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__nil) -> nil activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__zeros) -> n__zeros encArg(tt) -> tt encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(cons_zeros) -> zeros encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__zeros -> n__zeros encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__nil -> n__nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: zeros -> cons(0, n__zeros) U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U102(tt, V1, V2) -> U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U103(tt, V1, V2) -> U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U104(tt, V1, V2) -> U105(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U105(tt, V2) -> U106(isNatIList(activate(V2))) U106(tt) -> tt U11(tt, V1) -> U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) U111(tt, L, N) -> U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N)) U112(tt, L, N) -> U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N)) U113(tt, L, N) -> U114(isNatKind(activate(N)), activate(L)) U114(tt, L) -> s(length(activate(L))) U12(tt, V1) -> U13(isNatList(activate(V1))) U121(tt, IL) -> U122(isNatIListKind(activate(IL))) U122(tt) -> nil U13(tt) -> tt U131(tt, IL, M, N) -> U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U132(tt, IL, M, N) -> U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U133(tt, IL, M, N) -> U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U134(tt, IL, M, N) -> U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U135(tt, IL, M, N) -> U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U136(tt, IL, M, N) -> cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL))) U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V) -> U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) U32(tt, V) -> U33(isNatList(activate(V))) U33(tt) -> tt U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U42(tt, V1, V2) -> U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U43(tt, V1, V2) -> U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U44(tt, V1, V2) -> U45(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U45(tt, V2) -> U46(isNatIList(activate(V2))) U46(tt) -> tt U51(tt, V2) -> U52(isNatIListKind(activate(V2))) U52(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatIListKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt) -> tt U81(tt) -> tt U91(tt, V1, V2) -> U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U92(tt, V1, V2) -> U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U93(tt, V1, V2) -> U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U94(tt, V1, V2) -> U95(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U95(tt, V2) -> U96(isNatList(activate(V2))) U96(tt) -> tt isNat(n__0) -> tt isNat(n__length(V1)) -> U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatIList(V) -> U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) isNatIList(n__zeros) -> tt isNatIList(n__cons(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatIListKind(n__nil) -> tt isNatIListKind(n__zeros) -> tt isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatIListKind(n__take(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__length(V1)) -> U71(isNatIListKind(activate(V1))) isNatKind(n__s(V1)) -> U81(isNatKind(activate(V1))) isNatList(n__nil) -> tt isNatList(n__cons(V1, V2)) -> U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatList(n__take(V1, V2)) -> U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) length(nil) -> 0 length(cons(N, L)) -> U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N) take(0, IL) -> U121(isNatIList(IL), IL) take(s(M), cons(N, IL)) -> U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N) zeros -> n__zeros take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 length(X) -> n__length(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) nil -> n__nil activate(n__zeros) -> zeros activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__length(X)) -> length(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__nil) -> nil activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__zeros) -> n__zeros encArg(tt) -> tt encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(cons_zeros) -> zeros encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__zeros -> n__zeros encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__nil -> n__nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence isNatKind(n__s(V1)) ->^+ U81(isNatKind(V1)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [V1 / n__s(V1)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: zeros -> cons(0, n__zeros) U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U102(tt, V1, V2) -> U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U103(tt, V1, V2) -> U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U104(tt, V1, V2) -> U105(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U105(tt, V2) -> U106(isNatIList(activate(V2))) U106(tt) -> tt U11(tt, V1) -> U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) U111(tt, L, N) -> U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N)) U112(tt, L, N) -> U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N)) U113(tt, L, N) -> U114(isNatKind(activate(N)), activate(L)) U114(tt, L) -> s(length(activate(L))) U12(tt, V1) -> U13(isNatList(activate(V1))) U121(tt, IL) -> U122(isNatIListKind(activate(IL))) U122(tt) -> nil U13(tt) -> tt U131(tt, IL, M, N) -> U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U132(tt, IL, M, N) -> U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U133(tt, IL, M, N) -> U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U134(tt, IL, M, N) -> U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U135(tt, IL, M, N) -> U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U136(tt, IL, M, N) -> cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL))) U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V) -> U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) U32(tt, V) -> U33(isNatList(activate(V))) U33(tt) -> tt U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U42(tt, V1, V2) -> U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U43(tt, V1, V2) -> U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U44(tt, V1, V2) -> U45(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U45(tt, V2) -> U46(isNatIList(activate(V2))) U46(tt) -> tt U51(tt, V2) -> U52(isNatIListKind(activate(V2))) U52(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatIListKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt) -> tt U81(tt) -> tt U91(tt, V1, V2) -> U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U92(tt, V1, V2) -> U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U93(tt, V1, V2) -> U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U94(tt, V1, V2) -> U95(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U95(tt, V2) -> U96(isNatList(activate(V2))) U96(tt) -> tt isNat(n__0) -> tt isNat(n__length(V1)) -> U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatIList(V) -> U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) isNatIList(n__zeros) -> tt isNatIList(n__cons(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatIListKind(n__nil) -> tt isNatIListKind(n__zeros) -> tt isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatIListKind(n__take(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__length(V1)) -> U71(isNatIListKind(activate(V1))) isNatKind(n__s(V1)) -> U81(isNatKind(activate(V1))) isNatList(n__nil) -> tt isNatList(n__cons(V1, V2)) -> U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatList(n__take(V1, V2)) -> U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) length(nil) -> 0 length(cons(N, L)) -> U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N) take(0, IL) -> U121(isNatIList(IL), IL) take(s(M), cons(N, IL)) -> U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N) zeros -> n__zeros take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 length(X) -> n__length(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) nil -> n__nil activate(n__zeros) -> zeros activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__length(X)) -> length(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__nil) -> nil activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__zeros) -> n__zeros encArg(tt) -> tt encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(cons_zeros) -> zeros encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U22(x_1, x_2)) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U23(x_1)) -> U23(encArg(x_1)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U32(x_1, x_2)) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U33(x_1)) -> U33(encArg(x_1)) encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U43(x_1, x_2, x_3)) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U44(x_1, x_2, x_3)) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U45(x_1, x_2)) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U46(x_1)) -> U46(encArg(x_1)) encArg(cons_U51(x_1, x_2)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U52(x_1)) -> U52(encArg(x_1)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U62(x_1)) -> U62(encArg(x_1)) encArg(cons_U71(x_1)) -> U71(encArg(x_1)) encArg(cons_U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(cons_U91(x_1, x_2, x_3)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U92(x_1, x_2, x_3)) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U93(x_1, x_2, x_3)) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U94(x_1, x_2, x_3)) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U95(x_1, x_2)) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U96(x_1)) -> U96(encArg(x_1)) encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__zeros -> n__zeros encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U102(x_1, x_2, x_3) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U103(x_1, x_2, x_3) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_U104(x_1, x_2, x_3) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U105(x_1, x_2) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_U106(x_1) -> U106(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U111(x_1, x_2, x_3) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U112(x_1, x_2, x_3) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U113(x_1, x_2, x_3) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U114(x_1, x_2) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_U13(x_1) -> U13(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U121(x_1, x_2) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U122(x_1) -> U122(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_U131(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U132(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U133(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U134(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U135(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U136(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1, x_2) -> U22(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U23(x_1) -> U23(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1, x_2) -> U32(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U33(x_1) -> U33(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U43(x_1, x_2, x_3) -> U43(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U44(x_1, x_2, x_3) -> U44(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U45(x_1, x_2) -> U45(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U46(x_1) -> U46(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U52(x_1) -> U52(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U62(x_1) -> U62(encArg(x_1)) encode_U71(x_1) -> U71(encArg(x_1)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U92(x_1, x_2, x_3) -> U92(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U93(x_1, x_2, x_3) -> U93(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U94(x_1, x_2, x_3) -> U94(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U95(x_1, x_2) -> U95(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U96(x_1) -> U96(encArg(x_1)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__length(x_1) -> n__length(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__nil -> n__nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: zeros -> cons(0, n__zeros) U101(tt, V1, V2) -> U102(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U102(tt, V1, V2) -> U103(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U103(tt, V1, V2) -> U104(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U104(tt, V1, V2) -> U105(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U105(tt, V2) -> U106(isNatIList(activate(V2))) U106(tt) -> tt U11(tt, V1) -> U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) U111(tt, L, N) -> U112(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N)) U112(tt, L, N) -> U113(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N)) U113(tt, L, N) -> U114(isNatKind(activate(N)), activate(L)) U114(tt, L) -> s(length(activate(L))) U12(tt, V1) -> U13(isNatList(activate(V1))) U121(tt, IL) -> U122(isNatIListKind(activate(IL))) U122(tt) -> nil U13(tt) -> tt U131(tt, IL, M, N) -> U132(isNatIListKind(activate(IL)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U132(tt, IL, M, N) -> U133(isNat(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U133(tt, IL, M, N) -> U134(isNatKind(activate(M)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U134(tt, IL, M, N) -> U135(isNat(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U135(tt, IL, M, N) -> U136(isNatKind(activate(N)), activate(IL), activate(M), activate(N)) U136(tt, IL, M, N) -> cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL))) U21(tt, V1) -> U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) U22(tt, V1) -> U23(isNat(activate(V1))) U23(tt) -> tt U31(tt, V) -> U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) U32(tt, V) -> U33(isNatList(activate(V))) U33(tt) -> tt U41(tt, V1, V2) -> U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U42(tt, V1, V2) -> U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U43(tt, V1, V2) -> U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U44(tt, V1, V2) -> U45(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U45(tt, V2) -> U46(isNatIList(activate(V2))) U46(tt) -> tt U51(tt, V2) -> U52(isNatIListKind(activate(V2))) U52(tt) -> tt U61(tt, V2) -> U62(isNatIListKind(activate(V2))) U62(tt) -> tt U71(tt) -> tt U81(tt) -> tt U91(tt, V1, V2) -> U92(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) U92(tt, V1, V2) -> U93(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U93(tt, V1, V2) -> U94(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2)) U94(tt, V1, V2) -> U95(isNat(activate(V1)), activate(V2)) U95(tt, V2) -> U96(isNatList(activate(V2))) U96(tt) -> tt isNat(n__0) -> tt isNat(n__length(V1)) -> U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1)) isNat(n__s(V1)) -> U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1)) isNatIList(V) -> U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V)) isNatIList(n__zeros) -> tt isNatIList(n__cons(V1, V2)) -> U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatIListKind(n__nil) -> tt isNatIListKind(n__zeros) -> tt isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) -> U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatIListKind(n__take(V1, V2)) -> U61(isNatKind(activate(V1)), activate(V2)) isNatKind(n__0) -> tt isNatKind(n__length(V1)) -> U71(isNatIListKind(activate(V1))) isNatKind(n__s(V1)) -> U81(isNatKind(activate(V1))) isNatList(n__nil) -> tt isNatList(n__cons(V1, V2)) -> U91(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) isNatList(n__take(V1, V2)) -> U101(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2)) length(nil) -> 0 length(cons(N, L)) -> U111(isNatList(activate(L)), activate(L), N) take(0, IL) -> U121(isNatIList(IL), IL) take(s(M), cons(N, IL)) -> U131(isNatIList(activate(IL)), activate(IL), M, N) zeros -> n__zeros take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 length(X) -> n__length(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) nil -> n__nil activate(n__zeros) -> zeros activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__length(X)) -> length(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__nil) -> nil activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__zeros) -> n__zeros encArg(tt) -> tt encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__length(x_1)) -> n__length(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(cons_zeros) -> zeros encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U102(x_1, x_2, x_3)) -> U102(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U103(x_1, x_2, x_3)) -> U103(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U104(x_1, x_2, x_3)) -> U104(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U105(x_1, x_2)) -> U105(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U106(x_1)) -> U106(encArg(x_1)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U111(x_1, x_2, x_3)) -> U111(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U112(x_1, x_2, x_3)) -> U112(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U113(x_1, x_2, x_3)) -> U113(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U114(x_1, x_2)) -> U114(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U121(x_1, x_2)) -> U121(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U122(x_1)) -> U122(encArg(x_1)) encArg(cons_U13(x_1)) -> U13(encArg(x_1)) encArg(cons_U131(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U131(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U132(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U132(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U133(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U133(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U134(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U134(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U135(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U135(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U136(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U136(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) 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