/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 469 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 8 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 474 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 149 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 96 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 129 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 139 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 147 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 153 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 7430 ms] (30) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0)) -> mark(0) active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0, s(Y))) -> mark(0) active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0)) -> mark(0) active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0, s(Y))) -> mark(0) active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0)) -> mark(0) active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0, s(Y))) -> mark(0) active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, from, s, sel, minus, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active sel < active minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg sel < proper sel < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, from, s, sel, minus, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active sel < active minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg sel < proper sel < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, from, s, sel, minus, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active sel < active minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg sel < proper sel < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: from, active, s, sel, minus, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: from < active s < active sel < active minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg sel < proper sel < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) Induction Base: from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2001_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, sel, minus, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active sel < active minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg s < proper s < encArg sel < proper sel < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2888_3) Induction Base: s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2888_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2888_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sel, active, minus, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sel < active minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg sel < proper sel < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3876_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n3876_3) Induction Base: sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n3876_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3876_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2888_3) sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3876_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n3876_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, active, quot, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < active quot < active zWquot < active active < top active < encArg minus < proper minus < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n6630_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n6630_3) Induction Base: minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n6630_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n6630_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2888_3) sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3876_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n3876_3) minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n6630_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n6630_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: quot, active, zWquot, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: quot < active zWquot < active active < top active < encArg quot < proper quot < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: quot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n9688_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n9688_3) Induction Base: quot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: quot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n9688_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(quot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n9688_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2888_3) sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3876_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n3876_3) minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n6630_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n6630_3) quot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n9688_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n9688_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: zWquot, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: zWquot < active active < top active < encArg zWquot < proper zWquot < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: zWquot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13050_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n13050_3) Induction Base: zWquot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: zWquot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n13050_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(zWquot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13050_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(minus(X, 0')) -> mark(0') active(minus(s(X), s(Y))) -> mark(minus(X, Y)) active(quot(0', s(Y))) -> mark(0') active(quot(s(X), s(Y))) -> mark(s(quot(minus(X, Y), s(Y)))) active(zWquot(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWquot(nil, XS)) -> mark(nil) active(zWquot(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(quot(X, Y), zWquot(XS, YS))) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(minus(X1, X2)) -> minus(active(X1), X2) active(minus(X1, X2)) -> minus(X1, active(X2)) active(quot(X1, X2)) -> quot(active(X1), X2) active(quot(X1, X2)) -> quot(X1, active(X2)) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(active(X1), X2) active(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) minus(mark(X1), X2) -> mark(minus(X1, X2)) minus(X1, mark(X2)) -> mark(minus(X1, X2)) quot(mark(X1), X2) -> mark(quot(X1, X2)) quot(X1, mark(X2)) -> mark(quot(X1, X2)) zWquot(mark(X1), X2) -> mark(zWquot(X1, X2)) zWquot(X1, mark(X2)) -> mark(zWquot(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(minus(X1, X2)) -> minus(proper(X1), proper(X2)) proper(quot(X1, X2)) -> quot(proper(X1), proper(X2)) proper(zWquot(X1, X2)) -> zWquot(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) minus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(minus(X1, X2)) quot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(quot(X1, X2)) zWquot(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWquot(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_zWquot(x_1, x_2)) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zWquot(x_1, x_2) -> zWquot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_minus :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_quot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_zWquot :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2001_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2001_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2888_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2888_3) sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3876_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n3876_3) minus(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n6630_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n6630_3) quot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n9688_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n9688_3) zWquot(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n13050_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n13050_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(n1213748_3)) -> gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(n1213748_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(+(n1213748_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(n1213748_3))) ->_IH mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_sel:cons_minus:cons_quot:cons_zWquot:cons_proper:cons_top2_3(c1213749_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (30) BOUNDS(1, INF)