/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


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WORST_CASE(?, O(n^1))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 359 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
(7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
(8) CdtProblem
(9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(10) CdtProblem
(11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 1 ms]
(12) CdtProblem
(13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 21 ms]
(14) CdtProblem
(15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 386 ms]
(16) CdtProblem
(17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 173 ms]
(18) CdtProblem
(19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 159 ms]
(20) CdtProblem
(21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 165 ms]
(22) CdtProblem
(23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 155 ms]
(24) CdtProblem
(25) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(26) BOUNDS(1, 1)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   terms(N) -> cons(recip(sqr(N)), n__terms(s(N)))
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(X)) -> s(n__add(sqr(activate(X)), dbl(activate(X))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(X)) -> s(n__s(n__dbl(activate(X))))
   add(0, X) -> X
   add(s(X), Y) -> s(n__add(activate(X), Y))
   first(0, X) -> nil
   first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(activate(X), activate(Z)))
   terms(X) -> n__terms(X)
   add(X1, X2) -> n__add(X1, X2)
   s(X) -> n__s(X)
   dbl(X) -> n__dbl(X)
   first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
   activate(n__terms(X)) -> terms(X)
   activate(n__add(X1, X2)) -> add(X1, X2)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__dbl(X)) -> dbl(X)
   activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
   activate(X) -> X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1))
   encArg(n__terms(x_1)) -> n__terms(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__dbl(x_1)) -> n__dbl(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(x_1, x_2)) -> n__first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1))
   encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1))
   encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1))
   encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1))
   encode_n__terms(x_1) -> n__terms(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__dbl(x_1) -> n__dbl(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(x_1, x_2) -> n__first(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   terms(N) -> cons(recip(sqr(N)), n__terms(s(N)))
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(X)) -> s(n__add(sqr(activate(X)), dbl(activate(X))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(X)) -> s(n__s(n__dbl(activate(X))))
   add(0, X) -> X
   add(s(X), Y) -> s(n__add(activate(X), Y))
   first(0, X) -> nil
   first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(activate(X), activate(Z)))
   terms(X) -> n__terms(X)
   add(X1, X2) -> n__add(X1, X2)
   s(X) -> n__s(X)
   dbl(X) -> n__dbl(X)
   first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
   activate(n__terms(X)) -> terms(X)
   activate(n__add(X1, X2)) -> add(X1, X2)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__dbl(X)) -> dbl(X)
   activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1))
   encArg(n__terms(x_1)) -> n__terms(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__dbl(x_1)) -> n__dbl(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(x_1, x_2)) -> n__first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1))
   encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1))
   encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1))
   encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1))
   encode_n__terms(x_1) -> n__terms(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__dbl(x_1) -> n__dbl(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(x_1, x_2) -> n__first(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1).


The TRS R consists of the following rules:

   terms(N) -> cons(recip(sqr(N)), n__terms(s(N)))
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(X)) -> s(n__add(sqr(activate(X)), dbl(activate(X))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(X)) -> s(n__s(n__dbl(activate(X))))
   add(0, X) -> X
   add(s(X), Y) -> s(n__add(activate(X), Y))
   first(0, X) -> nil
   first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(activate(X), activate(Z)))
   terms(X) -> n__terms(X)
   add(X1, X2) -> n__add(X1, X2)
   s(X) -> n__s(X)
   dbl(X) -> n__dbl(X)
   first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
   activate(n__terms(X)) -> terms(X)
   activate(n__add(X1, X2)) -> add(X1, X2)
   activate(n__s(X)) -> s(X)
   activate(n__dbl(X)) -> dbl(X)
   activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1))
   encArg(n__terms(x_1)) -> n__terms(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(n__dbl(x_1)) -> n__dbl(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(x_1, x_2)) -> n__first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1))
   encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1))
   encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1))
   encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1))
   encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1))
   encode_n__terms(x_1) -> n__terms(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1))
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_n__dbl(x_1) -> n__dbl(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(x_1, x_2) -> n__first(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_terms(z0) -> terms(encArg(z0))
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_recip(z0) -> recip(encArg(z0))
   encode_sqr(z0) -> sqr(encArg(z0))
   encode_n__terms(z0) -> n__terms(encArg(z0))
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(z0, z1) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   encode_dbl(z0) -> dbl(encArg(z0))
   encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0))
   encode_n__dbl(z0) -> n__dbl(encArg(z0))
   encode_add(z0, z1) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_first(z0, z1) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(z0, z1) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(z0)) -> s(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(z0)) -> s(n__s(n__dbl(activate(z0))))
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(s(z0), z1) -> s(n__add(activate(z0), z1))
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(s(z0), cons(z1, z2)) -> cons(z1, n__first(activate(z0), activate(z2)))
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(0) -> c3
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(nil) -> c7
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_TERMS(z0) -> c16(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_CONS(z0, z1) -> c17(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_RECIP(z0) -> c18(ENCARG(z0))
   ENCODE_SQR(z0) -> c19(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_N__TERMS(z0) -> c20(ENCARG(z0))
   ENCODE_S(z0) -> c21(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_0 -> c22
   ENCODE_N__ADD(z0, z1) -> c23(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c24(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_DBL(z0) -> c25(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_N__S(z0) -> c26(ENCARG(z0))
   ENCODE_N__DBL(z0) -> c27(ENCARG(z0))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c28(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c29(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_NIL -> c30
   ENCODE_N__FIRST(z0, z1) -> c31(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   TERMS(z0) -> c32(SQR(z0), S(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   SQR(s(z0)) -> c35(S(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0)))), SQR(activate(z0)), ACTIVATE(z0), DBL(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   DBL(0) -> c36
   DBL(s(z0)) -> c37(S(n__s(n__dbl(activate(z0)))), ACTIVATE(z0))
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(s(z0), z1) -> c40(S(n__add(activate(z0), z1)), ACTIVATE(z0))
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(s(z0), cons(z1, z2)) -> c43(ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z2))
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
S tuples:
   TERMS(z0) -> c32(SQR(z0), S(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   SQR(s(z0)) -> c35(S(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0)))), SQR(activate(z0)), ACTIVATE(z0), DBL(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   DBL(0) -> c36
   DBL(s(z0)) -> c37(S(n__s(n__dbl(activate(z0)))), ACTIVATE(z0))
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(s(z0), z1) -> c40(S(n__add(activate(z0), z1)), ACTIVATE(z0))
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(s(z0), cons(z1, z2)) -> c43(ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z2))
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1, encArg_1, encode_terms_1, encode_cons_2, encode_recip_1, encode_sqr_1, encode_n__terms_1, encode_s_1, encode_0, encode_n__add_2, encode_activate_1, encode_dbl_1, encode_n__s_1, encode_n__dbl_1, encode_add_2, encode_first_2, encode_nil, encode_n__first_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_CONS_2, ENCODE_RECIP_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_N__TERMS_1, ENCODE_S_1, ENCODE_0, ENCODE_N__ADD_2, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_N__S_1, ENCODE_N__DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2, ENCODE_NIL, ENCODE_N__FIRST_2, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c3, c4_2, c5_1, c6_1, c7, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c16_2, c17_2, c18_1, c19_2, c20_1, c21_2, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c26_1, c27_1, c28_3, c29_3, c30, c31_2, c32_2, c33, c34, c35_5, c36, c37_2, c38, c39, c40_2, c41, c42, c43_2, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 11 leading nodes:
   ENCODE_CONS(z0, z1) -> c17(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_RECIP(z0) -> c18(ENCARG(z0))
   ENCODE_N__TERMS(z0) -> c20(ENCARG(z0))
   ENCODE_N__ADD(z0, z1) -> c23(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_N__S(z0) -> c26(ENCARG(z0))
   ENCODE_N__DBL(z0) -> c27(ENCARG(z0))
   ENCODE_N__FIRST(z0, z1) -> c31(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   SQR(s(z0)) -> c35(S(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0)))), SQR(activate(z0)), ACTIVATE(z0), DBL(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   DBL(s(z0)) -> c37(S(n__s(n__dbl(activate(z0)))), ACTIVATE(z0))
   ADD(s(z0), z1) -> c40(S(n__add(activate(z0), z1)), ACTIVATE(z0))
   FIRST(s(z0), cons(z1, z2)) -> c43(ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z2))
Removed 4 trailing nodes:
   ENCODE_0 -> c22
   ENCODE_NIL -> c30
   ENCARG(nil) -> c7
   ENCARG(0) -> c3

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_terms(z0) -> terms(encArg(z0))
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_recip(z0) -> recip(encArg(z0))
   encode_sqr(z0) -> sqr(encArg(z0))
   encode_n__terms(z0) -> n__terms(encArg(z0))
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(z0, z1) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   encode_dbl(z0) -> dbl(encArg(z0))
   encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0))
   encode_n__dbl(z0) -> n__dbl(encArg(z0))
   encode_add(z0, z1) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_first(z0, z1) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(z0, z1) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(z0)) -> s(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(z0)) -> s(n__s(n__dbl(activate(z0))))
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(s(z0), z1) -> s(n__add(activate(z0), z1))
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(s(z0), cons(z1, z2)) -> cons(z1, n__first(activate(z0), activate(z2)))
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_TERMS(z0) -> c16(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_SQR(z0) -> c19(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_S(z0) -> c21(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c24(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_DBL(z0) -> c25(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c28(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c29(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   TERMS(z0) -> c32(SQR(z0), S(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
S tuples:
   TERMS(z0) -> c32(SQR(z0), S(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1, encArg_1, encode_terms_1, encode_cons_2, encode_recip_1, encode_sqr_1, encode_n__terms_1, encode_s_1, encode_0, encode_n__add_2, encode_activate_1, encode_dbl_1, encode_n__s_1, encode_n__dbl_1, encode_add_2, encode_first_2, encode_nil, encode_n__first_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c16_2, c19_2, c21_2, c24_2, c25_2, c28_3, c29_3, c32_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_terms(z0) -> terms(encArg(z0))
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_recip(z0) -> recip(encArg(z0))
   encode_sqr(z0) -> sqr(encArg(z0))
   encode_n__terms(z0) -> n__terms(encArg(z0))
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(z0, z1) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   encode_dbl(z0) -> dbl(encArg(z0))
   encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0))
   encode_n__dbl(z0) -> n__dbl(encArg(z0))
   encode_add(z0, z1) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_first(z0, z1) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(z0, z1) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(z0)) -> s(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(z0)) -> s(n__s(n__dbl(activate(z0))))
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(s(z0), z1) -> s(n__add(activate(z0), z1))
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(s(z0), cons(z1, z2)) -> cons(z1, n__first(activate(z0), activate(z2)))
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ENCARG(z1))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(ENCARG(z1))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1, encArg_1, encode_terms_1, encode_cons_2, encode_recip_1, encode_sqr_1, encode_n__terms_1, encode_s_1, encode_0, encode_n__add_2, encode_activate_1, encode_dbl_1, encode_n__s_1, encode_n__dbl_1, encode_add_2, encode_first_2, encode_nil, encode_n__first_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 9 leading nodes:
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_S(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ENCARG(z1))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(ENCARG(z0))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(ENCARG(z1))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_terms(z0) -> terms(encArg(z0))
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_recip(z0) -> recip(encArg(z0))
   encode_sqr(z0) -> sqr(encArg(z0))
   encode_n__terms(z0) -> n__terms(encArg(z0))
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(z0, z1) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   encode_dbl(z0) -> dbl(encArg(z0))
   encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0))
   encode_n__dbl(z0) -> n__dbl(encArg(z0))
   encode_add(z0, z1) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_first(z0, z1) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(z0, z1) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   sqr(s(z0)) -> s(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0))))
   dbl(0) -> 0
   dbl(s(z0)) -> s(n__s(n__dbl(activate(z0))))
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(s(z0), z1) -> s(n__add(activate(z0), z1))
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(s(z0), cons(z1, z2)) -> cons(z1, n__first(activate(z0), activate(z2)))
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1, encArg_1, encode_terms_1, encode_cons_2, encode_recip_1, encode_sqr_1, encode_n__terms_1, encode_s_1, encode_0, encode_n__add_2, encode_activate_1, encode_dbl_1, encode_n__s_1, encode_n__dbl_1, encode_add_2, encode_first_2, encode_nil, encode_n__first_2

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_terms(z0) -> terms(encArg(z0))
   encode_cons(z0, z1) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_recip(z0) -> recip(encArg(z0))
   encode_sqr(z0) -> sqr(encArg(z0))
   encode_n__terms(z0) -> n__terms(encArg(z0))
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_0 -> 0
   encode_n__add(z0, z1) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   encode_dbl(z0) -> dbl(encArg(z0))
   encode_n__s(z0) -> n__s(encArg(z0))
   encode_n__dbl(z0) -> n__dbl(encArg(z0))
   encode_add(z0, z1) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_first(z0, z1) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_nil -> nil
   encode_n__first(z0, z1) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   sqr(s(z0)) -> s(n__add(sqr(activate(z0)), dbl(activate(z0))))
   dbl(s(z0)) -> s(n__s(n__dbl(activate(z0))))
   add(s(z0), z1) -> s(n__add(activate(z0), z1))
   first(s(z0), cons(z1, z2)) -> cons(z1, n__first(activate(z0), activate(z2)))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   dbl(0) -> 0
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ADD(x_1, x_2)) = 0
   POL(DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_ADD(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_DBL(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_S(x_1)) = 0
   POL(ENCODE_SQR(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_TERMS(x_1)) = 0
   POL(FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(S(x_1)) = 0
   POL(SQR(x_1)) = 0
   POL(TERMS(x_1)) = 0
   POL(activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c11(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c12(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c13(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c33) = 0
   POL(c34) = 0
   POL(c36) = 0
   POL(c38) = 0
   POL(c39) = 0
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c41) = 0
   POL(c42) = 0
   POL(c44) = 0
   POL(c45) = 0
   POL(c46(x_1)) = x_1
   POL(c47(x_1)) = x_1
   POL(c48(x_1)) = x_1
   POL(c49(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1)) = x_1
   POL(c50(x_1)) = x_1
   POL(c51) = 0
   POL(c6(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_terms(x_1)) = [1] + x_1
   POL(dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__add(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(n__dbl(x_1)) = x_1
   POL(n__first(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__terms(x_1)) = x_1
   POL(nil) = [1]
   POL(recip(x_1)) = [1] + x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(terms(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   dbl(0) -> 0
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
K tuples:
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
Defined Rule Symbols:   encArg_1, terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   S(z0) -> c45
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ADD(x_1, x_2)) = 0
   POL(DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_ADD(x_1, x_2)) = x_1
   POL(ENCODE_DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCODE_FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_S(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_SQR(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_TERMS(x_1)) = [1] + x_1
   POL(FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(S(x_1)) = [1]
   POL(SQR(x_1)) = [1]
   POL(TERMS(x_1)) = [1]
   POL(activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c11(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c12(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c13(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c33) = 0
   POL(c34) = 0
   POL(c36) = 0
   POL(c38) = 0
   POL(c39) = 0
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c41) = 0
   POL(c42) = 0
   POL(c44) = 0
   POL(c45) = 0
   POL(c46(x_1)) = x_1
   POL(c47(x_1)) = x_1
   POL(c48(x_1)) = x_1
   POL(c49(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1)) = x_1
   POL(c50(x_1)) = x_1
   POL(c51) = 0
   POL(c6(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_terms(x_1)) = [1] + x_1
   POL(dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__terms(x_1)) = x_1
   POL(nil) = [1]
   POL(recip(x_1)) = [1] + x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(terms(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   dbl(0) -> 0
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
K tuples:
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   S(z0) -> c45
Defined Rule Symbols:   encArg_1, terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ADD(x_1, x_2)) = 0
   POL(DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_ADD(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCODE_FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_S(x_1)) = 0
   POL(ENCODE_SQR(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_TERMS(x_1)) = [1] + x_1
   POL(FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(S(x_1)) = 0
   POL(SQR(x_1)) = 0
   POL(TERMS(x_1)) = [1]
   POL(activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c11(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c12(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c13(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c33) = 0
   POL(c34) = 0
   POL(c36) = 0
   POL(c38) = 0
   POL(c39) = 0
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c41) = 0
   POL(c42) = 0
   POL(c44) = 0
   POL(c45) = 0
   POL(c46(x_1)) = x_1
   POL(c47(x_1)) = x_1
   POL(c48(x_1)) = x_1
   POL(c49(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1)) = x_1
   POL(c50(x_1)) = x_1
   POL(c51) = 0
   POL(c6(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_terms(x_1)) = [1] + x_1
   POL(dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__terms(x_1)) = x_1
   POL(nil) = [1]
   POL(recip(x_1)) = [1] + x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(terms(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   dbl(0) -> 0
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
K tuples:
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   S(z0) -> c45
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ADD(x_1, x_2)) = [1]
   POL(DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_ADD(x_1, x_2)) = [1]
   POL(ENCODE_DBL(x_1)) = 0
   POL(ENCODE_FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(ENCODE_S(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_SQR(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_TERMS(x_1)) = [1] + x_1
   POL(FIRST(x_1, x_2)) = 0
   POL(S(x_1)) = [1]
   POL(SQR(x_1)) = [1]
   POL(TERMS(x_1)) = [1]
   POL(activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c11(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c12(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c13(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c33) = 0
   POL(c34) = 0
   POL(c36) = 0
   POL(c38) = 0
   POL(c39) = 0
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c41) = 0
   POL(c42) = 0
   POL(c44) = 0
   POL(c45) = 0
   POL(c46(x_1)) = x_1
   POL(c47(x_1)) = x_1
   POL(c48(x_1)) = x_1
   POL(c49(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1)) = x_1
   POL(c50(x_1)) = x_1
   POL(c51) = 0
   POL(c6(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_terms(x_1)) = [1] + x_1
   POL(dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__terms(x_1)) = [1] + x_1
   POL(nil) = [1]
   POL(recip(x_1)) = [1] + x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(terms(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   dbl(0) -> 0
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
K tuples:
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   S(z0) -> c45
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
Defined Rule Symbols:   encArg_1, terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ADD(x_1, x_2)) = [1]
   POL(DBL(x_1)) = [1]
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_ADD(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(ENCODE_DBL(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_FIRST(x_1, x_2)) = [1]
   POL(ENCODE_S(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_SQR(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_TERMS(x_1)) = [1] + x_1
   POL(FIRST(x_1, x_2)) = [1]
   POL(S(x_1)) = [1]
   POL(SQR(x_1)) = [1]
   POL(TERMS(x_1)) = [1]
   POL(activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c11(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c12(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c13(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c3(x_1)) = x_1
   POL(c33) = 0
   POL(c34) = 0
   POL(c36) = 0
   POL(c38) = 0
   POL(c39) = 0
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c41) = 0
   POL(c42) = 0
   POL(c44) = 0
   POL(c45) = 0
   POL(c46(x_1)) = x_1
   POL(c47(x_1)) = x_1
   POL(c48(x_1)) = x_1
   POL(c49(x_1)) = x_1
   POL(c5(x_1)) = x_1
   POL(c50(x_1)) = x_1
   POL(c51) = 0
   POL(c6(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_sqr(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_terms(x_1)) = [1] + x_1
   POL(dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__add(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__dbl(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__first(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__s(x_1)) = x_1
   POL(n__terms(x_1)) = x_1
   POL(nil) = [1]
   POL(recip(x_1)) = x_1
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(sqr(x_1)) = 0
   POL(terms(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(cons(z0, z1)) -> cons(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(recip(z0)) -> recip(encArg(z0))
   encArg(n__terms(z0)) -> n__terms(encArg(z0))
   encArg(0) -> 0
   encArg(n__add(z0, z1)) -> n__add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__s(z0)) -> n__s(encArg(z0))
   encArg(n__dbl(z0)) -> n__dbl(encArg(z0))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(n__first(z0, z1)) -> n__first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_terms(z0)) -> terms(encArg(z0))
   encArg(cons_sqr(z0)) -> sqr(encArg(z0))
   encArg(cons_dbl(z0)) -> dbl(encArg(z0))
   encArg(cons_add(z0, z1)) -> add(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_first(z0, z1)) -> first(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   terms(z0) -> cons(recip(sqr(z0)), n__terms(s(z0)))
   terms(z0) -> n__terms(z0)
   sqr(0) -> 0
   dbl(0) -> 0
   dbl(z0) -> n__dbl(z0)
   add(0, z0) -> z0
   add(z0, z1) -> n__add(z0, z1)
   first(0, z0) -> nil
   first(z0, z1) -> n__first(z0, z1)
   s(z0) -> n__s(z0)
   activate(n__terms(z0)) -> terms(z0)
   activate(n__add(z0, z1)) -> add(z0, z1)
   activate(n__s(z0)) -> s(z0)
   activate(n__dbl(z0)) -> dbl(z0)
   activate(n__first(z0, z1)) -> first(z0, z1)
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(cons(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(recip(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__terms(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__add(z0, z1)) -> c4(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__s(z0)) -> c5(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__dbl(z0)) -> c6(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__first(z0, z1)) -> c8(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_terms(z0)) -> c9(TERMS(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_sqr(z0)) -> c10(SQR(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_dbl(z0)) -> c11(DBL(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_add(z0, z1)) -> c12(ADD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_first(z0, z1)) -> c13(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_s(z0)) -> c14(S(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c15(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
   S(z0) -> c45
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   ENCODE_TERMS(z0) -> c3(TERMS(encArg(z0)))
   ENCODE_SQR(z0) -> c3(SQR(encArg(z0)))
   ENCODE_S(z0) -> c3(S(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c3(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_DBL(z0) -> c3(DBL(encArg(z0)))
   ENCODE_ADD(z0, z1) -> c3(ADD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_FIRST(z0, z1) -> c3(FIRST(encArg(z0), encArg(z1)))
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
S tuples:none
K tuples:
   ACTIVATE(n__terms(z0)) -> c46(TERMS(z0))
   ACTIVATE(n__add(z0, z1)) -> c47(ADD(z0, z1))
   ACTIVATE(n__s(z0)) -> c48(S(z0))
   ACTIVATE(n__dbl(z0)) -> c49(DBL(z0))
   ACTIVATE(n__first(z0, z1)) -> c50(FIRST(z0, z1))
   ACTIVATE(z0) -> c51
   TERMS(z0) -> c33
   SQR(0) -> c34
   S(z0) -> c45
   TERMS(z0) -> c3(SQR(z0))
   TERMS(z0) -> c3(S(z0))
   ADD(0, z0) -> c39
   ADD(z0, z1) -> c41
   DBL(0) -> c36
   DBL(z0) -> c38
   FIRST(0, z0) -> c42
   FIRST(z0, z1) -> c44
Defined Rule Symbols:   encArg_1, terms_1, sqr_1, dbl_1, add_2, first_2, s_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, TERMS_1, SQR_1, DBL_1, ADD_2, FIRST_2, S_1, ACTIVATE_1, ENCODE_TERMS_1, ENCODE_SQR_1, ENCODE_S_1, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_DBL_1, ENCODE_ADD_2, ENCODE_FIRST_2

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_1, c4_2, c5_1, c6_1, c8_2, c9_2, c10_2, c11_2, c12_3, c13_3, c14_2, c15_2, c33, c34, c36, c38, c39, c41, c42, c44, c45, c46_1, c47_1, c48_1, c49_1, c50_1, c51, c3_1


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(25) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
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(26)
BOUNDS(1, 1)