/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2)) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 175 ms] (4) CpxRelTRS (5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (6) CdtProblem (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (8) CdtProblem (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (10) CdtProblem (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (12) CdtProblem (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (14) CdtProblem (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 196 ms] (16) CdtProblem (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 394 ms] (18) CdtProblem (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 314 ms] (20) CdtProblem (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 339 ms] (22) CdtProblem (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 258 ms] (24) CdtProblem (25) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) BOUNDS(1, 1) (27) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (28) TRS for Loop Detection (29) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 27 ms] (30) BEST (31) proven lower bound (32) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (33) BOUNDS(n^1, INF) (34) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N)) U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) plus(N, 0) -> N plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N)) U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) plus(N, 0) -> N plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N)) U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) plus(N, 0) -> N plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (6) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1, z2) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_tt -> tt encode_U12(z0, z1, z2) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(tt) -> c ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(0) -> c2 ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c7(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_TT -> c8 ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c9(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_S(z0) -> c11(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c12(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_0 -> c13 U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples:none Defined Rule Symbols: U11_3, U12_3, plus_2, activate_1, encArg_1, encode_U11_3, encode_tt, encode_U12_3, encode_activate_1, encode_s_1, encode_plus_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_TT, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_S_1, ENCODE_PLUS_2, ENCODE_0, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1 Compound Symbols: c, c1_1, c2, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c7_4, c8, c9_4, c10_2, c11_1, c12_3, c13, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18 ---------------------------------------- (7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 1 leading nodes: ENCODE_S(z0) -> c11(ENCARG(z0)) Removed 4 trailing nodes: ENCODE_TT -> c8 ENCODE_0 -> c13 ENCARG(0) -> c2 ENCARG(tt) -> c ---------------------------------------- (8) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1, z2) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_tt -> tt encode_U12(z0, z1, z2) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c7(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c9(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c10(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c12(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples:none Defined Rule Symbols: U11_3, U12_3, plus_2, activate_1, encArg_1, encode_U11_3, encode_tt, encode_U12_3, encode_activate_1, encode_s_1, encode_plus_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c7_4, c9_4, c10_2, c12_3, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18 ---------------------------------------- (9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (10) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1, z2) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_tt -> tt encode_U12(z0, z1, z2) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples:none Defined Rule Symbols: U11_3, U12_3, plus_2, activate_1, encArg_1, encode_U11_3, encode_tt, encode_U12_3, encode_activate_1, encode_s_1, encode_plus_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 9 leading nodes: ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1)) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2)) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ---------------------------------------- (12) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) encode_U11(z0, z1, z2) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_tt -> tt encode_U12(z0, z1, z2) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples:none Defined Rule Symbols: U11_3, U12_3, plus_2, activate_1, encArg_1, encode_U11_3, encode_tt, encode_U12_3, encode_activate_1, encode_s_1, encode_plus_2, encode_0 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_U11(z0, z1, z2) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_tt -> tt encode_U12(z0, z1, z2) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_plus(z0, z1) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (14) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, U11_3, U12_3, plus_2, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. PLUS(z0, 0) -> c16 We considered the (Usable) Rules: U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(tt) -> tt encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) plus(z0, 0) -> z0 activate(z0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) encArg(0) -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) And the Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = [1] POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = x_1 POL(ENCODE_PLUS(x_1, x_2)) = [1] + x_2 POL(ENCODE_U11(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_2 + x_3 POL(ENCODE_U12(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 POL(PLUS(x_1, x_2)) = x_2 POL(U11(x_1, x_2, x_3)) = x_3 POL(U11'(x_1, x_2, x_3)) = x_2 POL(U12(x_1, x_2, x_3)) = x_3 POL(U12'(x_1, x_2, x_3)) = x_2 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c14(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c15(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c16) = 0 POL(c17(x_1)) = x_1 POL(c18) = 0 POL(c3(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c4(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_plus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = [1] POL(plus(x_1, x_2)) = x_1 POL(s(x_1)) = x_1 POL(tt) = 0 ---------------------------------------- (16) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples: PLUS(z0, 0) -> c16 Defined Rule Symbols: encArg_1, U11_3, U12_3, plus_2, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) We considered the (Usable) Rules: U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(tt) -> tt encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) plus(z0, 0) -> z0 activate(z0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) encArg(0) -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) And the Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_PLUS(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_U11(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_U12(x_1, x_2, x_3)) = [1] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(PLUS(x_1, x_2)) = x_2 POL(U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_2 + x_3 POL(U11'(x_1, x_2, x_3)) = x_2 POL(U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_2 + x_3 POL(U12'(x_1, x_2, x_3)) = x_2 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c14(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c15(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c16) = 0 POL(c17(x_1)) = x_1 POL(c18) = 0 POL(c3(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c4(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_plus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(plus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(s(x_1)) = [2] + x_1 POL(tt) = 0 ---------------------------------------- (18) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples: PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) Defined Rule Symbols: encArg_1, U11_3, U12_3, plus_2, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) We considered the (Usable) Rules: U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(tt) -> tt encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) plus(z0, 0) -> z0 activate(z0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) encArg(0) -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) And the Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_PLUS(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(PLUS(x_1, x_2)) = [2]x_2 POL(U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_2 + x_3 POL(U11'(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_2 POL(U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_2 + x_3 POL(U12'(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_2 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c14(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c15(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c16) = 0 POL(c17(x_1)) = x_1 POL(c18) = 0 POL(c3(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c4(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_activate(x_1)) = x_1 POL(cons_plus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(plus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(s(x_1)) = [2] + x_1 POL(tt) = 0 ---------------------------------------- (20) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples: PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) Defined Rule Symbols: encArg_1, U11_3, U12_3, plus_2, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) We considered the (Usable) Rules: U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(tt) -> tt encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) plus(z0, 0) -> z0 activate(z0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) encArg(0) -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) And the Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = 0 POL(ENCARG(x_1)) = [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [2] + [2]x_1^2 POL(ENCODE_PLUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_U12(x_1, x_2, x_3)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(PLUS(x_1, x_2)) = x_2 POL(U11(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(U11'(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 POL(U12(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_2 + x_3 POL(U12'(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_2 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c14(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c15(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c16) = 0 POL(c17(x_1)) = x_1 POL(c18) = 0 POL(c3(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c4(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_activate(x_1)) = x_1 POL(cons_plus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = [2]x_1 POL(plus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(s(x_1)) = [1] + x_1 POL(tt) = 0 ---------------------------------------- (22) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: ACTIVATE(z0) -> c18 K tuples: PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) Defined Rule Symbols: encArg_1, U11_3, U12_3, plus_2, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. ACTIVATE(z0) -> c18 We considered the (Usable) Rules: U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(tt) -> tt encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) plus(z0, 0) -> z0 activate(z0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) encArg(0) -> 0 U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) And the Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2 POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_PLUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2 POL(ENCODE_U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_3 + x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2 POL(ENCODE_U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + x_2^2 POL(PLUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_1*x_2 POL(U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(U11'(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + x_1*x_2 POL(U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(U12'(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 POL(activate(x_1)) = x_1 POL(c(x_1)) = x_1 POL(c1(x_1)) = x_1 POL(c14(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c15(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c16) = 0 POL(c17(x_1)) = x_1 POL(c18) = 0 POL(c3(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c4(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c6(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3 POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1 POL(cons_plus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(encArg(x_1)) = x_1 POL(plus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2 POL(s(x_1)) = [2] + x_1 POL(tt) = [2] ---------------------------------------- (24) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(z0, z1, z2)) -> U11(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_U12(z0, z1, z2)) -> U12(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)) encArg(cons_plus(z0, z1)) -> plus(encArg(z0), encArg(z1)) encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0)) U11(tt, z0, z1) -> U12(tt, activate(z0), activate(z1)) U12(tt, z0, z1) -> s(plus(activate(z1), activate(z0))) plus(z0, 0) -> z0 plus(z0, s(z1)) -> U11(tt, z1, z0) activate(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(s(z0)) -> c1(ENCARG(z0)) ENCARG(cons_U11(z0, z1, z2)) -> c3(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_U12(z0, z1, z2)) -> c4(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2)) ENCARG(cons_plus(z0, z1)) -> c5(PLUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCARG(cons_activate(z0)) -> c6(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 ENCODE_U11(z0, z1, z2) -> c(U11'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_U12(z0, z1, z2) -> c(U12'(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))) ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c(ACTIVATE(encArg(z0))) ENCODE_PLUS(z0, z1) -> c(PLUS(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples:none K tuples: PLUS(z0, 0) -> c16 PLUS(z0, s(z1)) -> c17(U11'(tt, z1, z0)) U11'(tt, z0, z1) -> c14(U12'(tt, activate(z0), activate(z1)), ACTIVATE(z0), ACTIVATE(z1)) U12'(tt, z0, z1) -> c15(PLUS(activate(z1), activate(z0)), ACTIVATE(z1), ACTIVATE(z0)) ACTIVATE(z0) -> c18 Defined Rule Symbols: encArg_1, U11_3, U12_3, plus_2, activate_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, U11'_3, U12'_3, PLUS_2, ACTIVATE_1, ENCODE_U11_3, ENCODE_U12_3, ENCODE_ACTIVATE_1, ENCODE_PLUS_2 Compound Symbols: c1_1, c3_4, c4_4, c5_3, c6_2, c14_3, c15_3, c16, c17_1, c18, c_1 ---------------------------------------- (25) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The set S is empty ---------------------------------------- (26) BOUNDS(1, 1) ---------------------------------------- (27) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (28) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N)) U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) plus(N, 0) -> N plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (29) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence U12(tt, s(M2_0), N) ->^+ s(U12(tt, M2_0, activate(N))) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [M2_0 / s(M2_0)]. The result substitution is [N / activate(N)]. ---------------------------------------- (30) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (31) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N)) U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) plus(N, 0) -> N plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (32) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (33) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (34) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2). The TRS R consists of the following rules: U11(tt, M, N) -> U12(tt, activate(M), activate(N)) U12(tt, M, N) -> s(plus(activate(N), activate(M))) plus(N, 0) -> N plus(N, s(M)) -> U11(tt, M, N) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST