/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 1194 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatList(V1)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) a__U22(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatList(V)) a__U32(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNat(V1), V2) a__U42(tt, V2) -> a__U43(a__isNatIList(V2)) a__U43(tt) -> tt a__U51(tt, V1, V2) -> a__U52(a__isNat(V1), V2) a__U52(tt, V2) -> a__U53(a__isNatList(V2)) a__U53(tt) -> tt a__U61(tt, V1, V2) -> a__U62(a__isNat(V1), V2) a__U62(tt, V2) -> a__U63(a__isNatIList(V2)) a__U63(tt) -> tt a__U71(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U81(tt) -> nil a__U91(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__isNatIListKind(V1) a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U61(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U71(a__and(a__and(a__isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L) a__take(0, IL) -> a__U81(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL))) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U91(a__and(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL)), and(and(isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N)))), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X)) -> a__U32(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2)) -> a__U42(mark(X1), X2) mark(U43(X)) -> a__U43(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U51(X1, X2, X3)) -> a__U51(mark(X1), X2, X3) mark(U52(X1, X2)) -> a__U52(mark(X1), X2) mark(U53(X)) -> a__U53(mark(X)) mark(U61(X1, X2, X3)) -> a__U61(mark(X1), X2, X3) mark(U62(X1, X2)) -> a__U62(mark(X1), X2) mark(U63(X)) -> a__U63(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3, X4)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X) -> U22(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X) -> U32(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2) -> U42(X1, X2) a__U43(X) -> U43(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U51(X1, X2, X3) -> U51(X1, X2, X3) a__U52(X1, X2) -> U52(X1, X2) a__U53(X) -> U53(X) a__U61(X1, X2, X3) -> U61(X1, X2, X3) a__U62(X1, X2) -> U62(X1, X2) a__U63(X) -> U63(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3, X4) -> U91(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1)) -> U22(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1)) -> U32(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2, x_3)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1)) -> a__U22(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1)) -> a__U32(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U43(x_1)) -> a__U43(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2, x_3)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U52(x_1, x_2)) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U53(x_1)) -> a__U53(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2, x_3)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U62(x_1, x_2)) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U63(x_1)) -> a__U63(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIList(x_1)) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIListKind(x_1)) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatList(x_1)) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__length(x_1)) -> a__length(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNatList(x_1) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1) -> a__U22(encArg(x_1)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U32(x_1) -> a__U32(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2, x_3) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U42(x_1, x_2) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U43(x_1) -> a__U43(encArg(x_1)) encode_a__isNatIList(x_1) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2, x_3) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U52(x_1, x_2) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U53(x_1) -> a__U53(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2, x_3) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U62(x_1, x_2) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U63(x_1) -> a__U63(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__length(x_1) -> a__length(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__isNatIListKind(x_1) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1) -> U22(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1) -> U32(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2, x_3) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatList(V1)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) a__U22(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatList(V)) a__U32(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNat(V1), V2) a__U42(tt, V2) -> a__U43(a__isNatIList(V2)) a__U43(tt) -> tt a__U51(tt, V1, V2) -> a__U52(a__isNat(V1), V2) a__U52(tt, V2) -> a__U53(a__isNatList(V2)) a__U53(tt) -> tt a__U61(tt, V1, V2) -> a__U62(a__isNat(V1), V2) a__U62(tt, V2) -> a__U63(a__isNatIList(V2)) a__U63(tt) -> tt a__U71(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U81(tt) -> nil a__U91(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__isNatIListKind(V1) a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U61(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U71(a__and(a__and(a__isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L) a__take(0, IL) -> a__U81(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL))) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U91(a__and(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL)), and(and(isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N)))), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X)) -> a__U32(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2)) -> a__U42(mark(X1), X2) mark(U43(X)) -> a__U43(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U51(X1, X2, X3)) -> a__U51(mark(X1), X2, X3) mark(U52(X1, X2)) -> a__U52(mark(X1), X2) mark(U53(X)) -> a__U53(mark(X)) mark(U61(X1, X2, X3)) -> a__U61(mark(X1), X2, X3) mark(U62(X1, X2)) -> a__U62(mark(X1), X2) mark(U63(X)) -> a__U63(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3, X4)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X) -> U22(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X) -> U32(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2) -> U42(X1, X2) a__U43(X) -> U43(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U51(X1, X2, X3) -> U51(X1, X2, X3) a__U52(X1, X2) -> U52(X1, X2) a__U53(X) -> U53(X) a__U61(X1, X2, X3) -> U61(X1, X2, X3) a__U62(X1, X2) -> U62(X1, X2) a__U63(X) -> U63(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3, X4) -> U91(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1)) -> U22(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1)) -> U32(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2, x_3)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1)) -> a__U22(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1)) -> a__U32(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U43(x_1)) -> a__U43(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2, x_3)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U52(x_1, x_2)) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U53(x_1)) -> a__U53(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2, x_3)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U62(x_1, x_2)) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U63(x_1)) -> a__U63(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIList(x_1)) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIListKind(x_1)) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatList(x_1)) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__length(x_1)) -> a__length(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNatList(x_1) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1) -> a__U22(encArg(x_1)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U32(x_1) -> a__U32(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2, x_3) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U42(x_1, x_2) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U43(x_1) -> a__U43(encArg(x_1)) encode_a__isNatIList(x_1) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2, x_3) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U52(x_1, x_2) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U53(x_1) -> a__U53(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2, x_3) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U62(x_1, x_2) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U63(x_1) -> a__U63(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__length(x_1) -> a__length(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__isNatIListKind(x_1) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1) -> U22(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1) -> U32(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2, x_3) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatList(V1)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) a__U22(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatList(V)) a__U32(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNat(V1), V2) a__U42(tt, V2) -> a__U43(a__isNatIList(V2)) a__U43(tt) -> tt a__U51(tt, V1, V2) -> a__U52(a__isNat(V1), V2) a__U52(tt, V2) -> a__U53(a__isNatList(V2)) a__U53(tt) -> tt a__U61(tt, V1, V2) -> a__U62(a__isNat(V1), V2) a__U62(tt, V2) -> a__U63(a__isNatIList(V2)) a__U63(tt) -> tt a__U71(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U81(tt) -> nil a__U91(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__isNatIListKind(V1) a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U61(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U71(a__and(a__and(a__isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L) a__take(0, IL) -> a__U81(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL))) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U91(a__and(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL)), and(and(isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N)))), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X)) -> a__U32(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2)) -> a__U42(mark(X1), X2) mark(U43(X)) -> a__U43(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U51(X1, X2, X3)) -> a__U51(mark(X1), X2, X3) mark(U52(X1, X2)) -> a__U52(mark(X1), X2) mark(U53(X)) -> a__U53(mark(X)) mark(U61(X1, X2, X3)) -> a__U61(mark(X1), X2, X3) mark(U62(X1, X2)) -> a__U62(mark(X1), X2) mark(U63(X)) -> a__U63(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3, X4)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X) -> U22(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X) -> U32(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2) -> U42(X1, X2) a__U43(X) -> U43(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U51(X1, X2, X3) -> U51(X1, X2, X3) a__U52(X1, X2) -> U52(X1, X2) a__U53(X) -> U53(X) a__U61(X1, X2, X3) -> U61(X1, X2, X3) a__U62(X1, X2) -> U62(X1, X2) a__U63(X) -> U63(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3, X4) -> U91(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1)) -> U22(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1)) -> U32(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2, x_3)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1)) -> a__U22(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1)) -> a__U32(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U43(x_1)) -> a__U43(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2, x_3)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U52(x_1, x_2)) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U53(x_1)) -> a__U53(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2, x_3)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U62(x_1, x_2)) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U63(x_1)) -> a__U63(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIList(x_1)) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIListKind(x_1)) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatList(x_1)) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__length(x_1)) -> a__length(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNatList(x_1) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1) -> a__U22(encArg(x_1)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U32(x_1) -> a__U32(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2, x_3) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U42(x_1, x_2) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U43(x_1) -> a__U43(encArg(x_1)) encode_a__isNatIList(x_1) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2, x_3) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U52(x_1, x_2) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U53(x_1) -> a__U53(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2, x_3) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U62(x_1, x_2) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U63(x_1) -> a__U63(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__length(x_1) -> a__length(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__isNatIListKind(x_1) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1) -> U22(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1) -> U32(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2, x_3) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatList(V1)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) a__U22(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatList(V)) a__U32(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNat(V1), V2) a__U42(tt, V2) -> a__U43(a__isNatIList(V2)) a__U43(tt) -> tt a__U51(tt, V1, V2) -> a__U52(a__isNat(V1), V2) a__U52(tt, V2) -> a__U53(a__isNatList(V2)) a__U53(tt) -> tt a__U61(tt, V1, V2) -> a__U62(a__isNat(V1), V2) a__U62(tt, V2) -> a__U63(a__isNatIList(V2)) a__U63(tt) -> tt a__U71(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U81(tt) -> nil a__U91(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__isNatIListKind(V1) a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U61(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U71(a__and(a__and(a__isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L) a__take(0, IL) -> a__U81(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL))) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U91(a__and(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL)), and(and(isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N)))), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X)) -> a__U32(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2)) -> a__U42(mark(X1), X2) mark(U43(X)) -> a__U43(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U51(X1, X2, X3)) -> a__U51(mark(X1), X2, X3) mark(U52(X1, X2)) -> a__U52(mark(X1), X2) mark(U53(X)) -> a__U53(mark(X)) mark(U61(X1, X2, X3)) -> a__U61(mark(X1), X2, X3) mark(U62(X1, X2)) -> a__U62(mark(X1), X2) mark(U63(X)) -> a__U63(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3, X4)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X) -> U22(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X) -> U32(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2) -> U42(X1, X2) a__U43(X) -> U43(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U51(X1, X2, X3) -> U51(X1, X2, X3) a__U52(X1, X2) -> U52(X1, X2) a__U53(X) -> U53(X) a__U61(X1, X2, X3) -> U61(X1, X2, X3) a__U62(X1, X2) -> U62(X1, X2) a__U63(X) -> U63(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3, X4) -> U91(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1)) -> U22(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1)) -> U32(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2, x_3)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1)) -> a__U22(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1)) -> a__U32(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U43(x_1)) -> a__U43(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2, x_3)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U52(x_1, x_2)) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U53(x_1)) -> a__U53(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2, x_3)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U62(x_1, x_2)) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U63(x_1)) -> a__U63(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIList(x_1)) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIListKind(x_1)) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatList(x_1)) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__length(x_1)) -> a__length(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNatList(x_1) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1) -> a__U22(encArg(x_1)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U32(x_1) -> a__U32(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2, x_3) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U42(x_1, x_2) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U43(x_1) -> a__U43(encArg(x_1)) encode_a__isNatIList(x_1) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2, x_3) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U52(x_1, x_2) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U53(x_1) -> a__U53(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2, x_3) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U62(x_1, x_2) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U63(x_1) -> a__U63(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__length(x_1) -> a__length(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__isNatIListKind(x_1) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1) -> U22(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1) -> U32(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2, x_3) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence mark(U12(X)) ->^+ a__U12(mark(X)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X / U12(X)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatList(V1)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) a__U22(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatList(V)) a__U32(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNat(V1), V2) a__U42(tt, V2) -> a__U43(a__isNatIList(V2)) a__U43(tt) -> tt a__U51(tt, V1, V2) -> a__U52(a__isNat(V1), V2) a__U52(tt, V2) -> a__U53(a__isNatList(V2)) a__U53(tt) -> tt a__U61(tt, V1, V2) -> a__U62(a__isNat(V1), V2) a__U62(tt, V2) -> a__U63(a__isNatIList(V2)) a__U63(tt) -> tt a__U71(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U81(tt) -> nil a__U91(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__isNatIListKind(V1) a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U61(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U71(a__and(a__and(a__isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L) a__take(0, IL) -> a__U81(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL))) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U91(a__and(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL)), and(and(isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N)))), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X)) -> a__U32(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2)) -> a__U42(mark(X1), X2) mark(U43(X)) -> a__U43(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U51(X1, X2, X3)) -> a__U51(mark(X1), X2, X3) mark(U52(X1, X2)) -> a__U52(mark(X1), X2) mark(U53(X)) -> a__U53(mark(X)) mark(U61(X1, X2, X3)) -> a__U61(mark(X1), X2, X3) mark(U62(X1, X2)) -> a__U62(mark(X1), X2) mark(U63(X)) -> a__U63(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3, X4)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X) -> U22(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X) -> U32(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2) -> U42(X1, X2) a__U43(X) -> U43(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U51(X1, X2, X3) -> U51(X1, X2, X3) a__U52(X1, X2) -> U52(X1, X2) a__U53(X) -> U53(X) a__U61(X1, X2, X3) -> U61(X1, X2, X3) a__U62(X1, X2) -> U62(X1, X2) a__U63(X) -> U63(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3, X4) -> U91(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1)) -> U22(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1)) -> U32(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2, x_3)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1)) -> a__U22(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1)) -> a__U32(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U43(x_1)) -> a__U43(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2, x_3)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U52(x_1, x_2)) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U53(x_1)) -> a__U53(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2, x_3)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U62(x_1, x_2)) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U63(x_1)) -> a__U63(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIList(x_1)) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIListKind(x_1)) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatList(x_1)) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__length(x_1)) -> a__length(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNatList(x_1) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1) -> a__U22(encArg(x_1)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U32(x_1) -> a__U32(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2, x_3) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U42(x_1, x_2) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U43(x_1) -> a__U43(encArg(x_1)) encode_a__isNatIList(x_1) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2, x_3) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U52(x_1, x_2) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U53(x_1) -> a__U53(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2, x_3) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U62(x_1, x_2) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U63(x_1) -> a__U63(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__length(x_1) -> a__length(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__isNatIListKind(x_1) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1) -> U22(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1) -> U32(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2, x_3) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__U11(tt, V1) -> a__U12(a__isNatList(V1)) a__U12(tt) -> tt a__U21(tt, V1) -> a__U22(a__isNat(V1)) a__U22(tt) -> tt a__U31(tt, V) -> a__U32(a__isNatList(V)) a__U32(tt) -> tt a__U41(tt, V1, V2) -> a__U42(a__isNat(V1), V2) a__U42(tt, V2) -> a__U43(a__isNatIList(V2)) a__U43(tt) -> tt a__U51(tt, V1, V2) -> a__U52(a__isNat(V1), V2) a__U52(tt, V2) -> a__U53(a__isNatList(V2)) a__U53(tt) -> tt a__U61(tt, V1, V2) -> a__U62(a__isNat(V1), V2) a__U62(tt, V2) -> a__U63(a__isNatIList(V2)) a__U63(tt) -> tt a__U71(tt, L) -> s(a__length(mark(L))) a__U81(tt) -> nil a__U91(tt, IL, M, N) -> cons(mark(N), take(M, IL)) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isNat(0) -> tt a__isNat(length(V1)) -> a__U11(a__isNatIListKind(V1), V1) a__isNat(s(V1)) -> a__U21(a__isNatKind(V1), V1) a__isNatIList(V) -> a__U31(a__isNatIListKind(V), V) a__isNatIList(zeros) -> tt a__isNatIList(cons(V1, V2)) -> a__U41(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatIListKind(nil) -> tt a__isNatIListKind(zeros) -> tt a__isNatIListKind(cons(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatIListKind(take(V1, V2)) -> a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)) a__isNatKind(0) -> tt a__isNatKind(length(V1)) -> a__isNatIListKind(V1) a__isNatKind(s(V1)) -> a__isNatKind(V1) a__isNatList(nil) -> tt a__isNatList(cons(V1, V2)) -> a__U51(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__isNatList(take(V1, V2)) -> a__U61(a__and(a__isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2) a__length(nil) -> 0 a__length(cons(N, L)) -> a__U71(a__and(a__and(a__isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L) a__take(0, IL) -> a__U81(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL))) a__take(s(M), cons(N, IL)) -> a__U91(a__and(a__and(a__isNatIList(IL), isNatIListKind(IL)), and(and(isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N)))), IL, M, N) mark(zeros) -> a__zeros mark(U11(X1, X2)) -> a__U11(mark(X1), X2) mark(U12(X)) -> a__U12(mark(X)) mark(isNatList(X)) -> a__isNatList(X) mark(U21(X1, X2)) -> a__U21(mark(X1), X2) mark(U22(X)) -> a__U22(mark(X)) mark(isNat(X)) -> a__isNat(X) mark(U31(X1, X2)) -> a__U31(mark(X1), X2) mark(U32(X)) -> a__U32(mark(X)) mark(U41(X1, X2, X3)) -> a__U41(mark(X1), X2, X3) mark(U42(X1, X2)) -> a__U42(mark(X1), X2) mark(U43(X)) -> a__U43(mark(X)) mark(isNatIList(X)) -> a__isNatIList(X) mark(U51(X1, X2, X3)) -> a__U51(mark(X1), X2, X3) mark(U52(X1, X2)) -> a__U52(mark(X1), X2) mark(U53(X)) -> a__U53(mark(X)) mark(U61(X1, X2, X3)) -> a__U61(mark(X1), X2, X3) mark(U62(X1, X2)) -> a__U62(mark(X1), X2) mark(U63(X)) -> a__U63(mark(X)) mark(U71(X1, X2)) -> a__U71(mark(X1), X2) mark(length(X)) -> a__length(mark(X)) mark(U81(X)) -> a__U81(mark(X)) mark(U91(X1, X2, X3, X4)) -> a__U91(mark(X1), X2, X3, X4) mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isNatIListKind(X)) -> a__isNatIListKind(X) mark(isNatKind(X)) -> a__isNatKind(X) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil a__zeros -> zeros a__U11(X1, X2) -> U11(X1, X2) a__U12(X) -> U12(X) a__isNatList(X) -> isNatList(X) a__U21(X1, X2) -> U21(X1, X2) a__U22(X) -> U22(X) a__isNat(X) -> isNat(X) a__U31(X1, X2) -> U31(X1, X2) a__U32(X) -> U32(X) a__U41(X1, X2, X3) -> U41(X1, X2, X3) a__U42(X1, X2) -> U42(X1, X2) a__U43(X) -> U43(X) a__isNatIList(X) -> isNatIList(X) a__U51(X1, X2, X3) -> U51(X1, X2, X3) a__U52(X1, X2) -> U52(X1, X2) a__U53(X) -> U53(X) a__U61(X1, X2, X3) -> U61(X1, X2, X3) a__U62(X1, X2) -> U62(X1, X2) a__U63(X) -> U63(X) a__U71(X1, X2) -> U71(X1, X2) a__length(X) -> length(X) a__U81(X) -> U81(X) a__U91(X1, X2, X3, X4) -> U91(X1, X2, X3, X4) a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isNatIListKind(X) -> isNatIListKind(X) a__isNatKind(X) -> isNatKind(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(isNatIListKind(x_1)) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1)) encArg(isNatKind(x_1)) -> isNatKind(encArg(x_1)) encArg(U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1)) encArg(isNatList(x_1)) -> isNatList(encArg(x_1)) encArg(U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U22(x_1)) -> U22(encArg(x_1)) encArg(U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U32(x_1)) -> U32(encArg(x_1)) encArg(U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U42(x_1, x_2)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U43(x_1)) -> U43(encArg(x_1)) encArg(isNatIList(x_1)) -> isNatIList(encArg(x_1)) encArg(U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U52(x_1, x_2)) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U53(x_1)) -> U53(encArg(x_1)) encArg(U61(x_1, x_2, x_3)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U62(x_1, x_2)) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U63(x_1)) -> U63(encArg(x_1)) encArg(U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(U81(x_1)) -> U81(encArg(x_1)) encArg(U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__U11(x_1, x_2)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U12(x_1)) -> a__U12(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U21(x_1, x_2)) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U22(x_1)) -> a__U22(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U31(x_1, x_2)) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U32(x_1)) -> a__U32(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U41(x_1, x_2, x_3)) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U42(x_1, x_2)) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U43(x_1)) -> a__U43(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U51(x_1, x_2, x_3)) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U52(x_1, x_2)) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U53(x_1)) -> a__U53(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U61(x_1, x_2, x_3)) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U62(x_1, x_2)) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U63(x_1)) -> a__U63(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U71(x_1, x_2)) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U81(x_1)) -> a__U81(encArg(x_1)) encArg(cons_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isNat(x_1)) -> a__isNat(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIList(x_1)) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatIListKind(x_1)) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatKind(x_1)) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNatList(x_1)) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__length(x_1)) -> a__length(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__U11(x_1, x_2) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1) -> a__U12(encArg(x_1)) encode_a__isNatList(x_1) -> a__isNatList(encArg(x_1)) encode_a__U21(x_1, x_2) -> a__U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U22(x_1) -> a__U22(encArg(x_1)) encode_a__isNat(x_1) -> a__isNat(encArg(x_1)) encode_a__U31(x_1, x_2) -> a__U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U32(x_1) -> a__U32(encArg(x_1)) encode_a__U41(x_1, x_2, x_3) -> a__U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U42(x_1, x_2) -> a__U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U43(x_1) -> a__U43(encArg(x_1)) encode_a__isNatIList(x_1) -> a__isNatIList(encArg(x_1)) encode_a__U51(x_1, x_2, x_3) -> a__U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U52(x_1, x_2) -> a__U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U53(x_1) -> a__U53(encArg(x_1)) encode_a__U61(x_1, x_2, x_3) -> a__U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_a__U62(x_1, x_2) -> a__U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__U63(x_1) -> a__U63(encArg(x_1)) encode_a__U71(x_1, x_2) -> a__U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__length(x_1) -> a__length(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U81(x_1) -> a__U81(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a__U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_a__isNatIListKind(x_1) -> a__isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_a__isNatKind(x_1) -> a__isNatKind(encArg(x_1)) encode_isNatIListKind(x_1) -> isNatIListKind(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1)) encode_isNatKind(x_1) -> isNatKind(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1)) encode_isNatList(x_1) -> isNatList(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U22(x_1) -> U22(encArg(x_1)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U32(x_1) -> U32(encArg(x_1)) encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U42(x_1, x_2) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U43(x_1) -> U43(encArg(x_1)) encode_isNatIList(x_1) -> isNatIList(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U52(x_1, x_2) -> U52(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U53(x_1) -> U53(encArg(x_1)) encode_U61(x_1, x_2, x_3) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U62(x_1, x_2) -> U62(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U63(x_1) -> U63(encArg(x_1)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U81(x_1) -> U81(encArg(x_1)) encode_U91(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) Rewrite Strategy: INNERMOST