/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 392 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 588 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 86.0 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0, Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0, Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0)) plus(0, Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0, Y) -> 0 times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0, Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0, Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0)) plus(0, Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0, Y) -> 0 times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0, Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0, Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0)) plus(0, Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0, Y) -> 0 times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0', Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0', Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0')) plus(0', Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0', Y) -> 0' times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0', Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0', Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0')) plus(0', Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0', Y) -> 0' times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Types: from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 0' :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encArg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_0 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate hole_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate1_3 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3 :: Nat -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: 2ndspos, activate, 2ndsneg, plus, times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < 2ndspos 2ndspos = 2ndsneg 2ndspos < encArg activate < 2ndsneg activate < encArg 2ndsneg < encArg plus < times plus < encArg times < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0', Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0', Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0')) plus(0', Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0', Y) -> 0' times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Types: from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 0' :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encArg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_0 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate hole_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate1_3 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3 :: Nat -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate Generator Equations: gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(0) <=> 0' gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> n__from(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: activate, 2ndspos, 2ndsneg, plus, times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < 2ndspos 2ndspos = 2ndsneg 2ndspos < encArg activate < 2ndsneg activate < encArg 2ndsneg < encArg plus < times plus < encArg times < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: activate(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: activate(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(1, 0))) Induction Step: activate(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(1, +(n4_3, 1)))) ->_R^Omega(1) from(activate(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(1, n4_3)))) ->_IH from(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0', Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0', Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0')) plus(0', Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0', Y) -> 0' times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Types: from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 0' :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encArg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_0 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate hole_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate1_3 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3 :: Nat -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate Generator Equations: gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(0) <=> 0' gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> n__from(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: activate, 2ndspos, 2ndsneg, plus, times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < 2ndspos 2ndspos = 2ndsneg 2ndspos < encArg activate < 2ndsneg activate < encArg 2ndsneg < encArg plus < times plus < encArg times < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: from(X) -> cons(X, n__from(n__s(X))) 2ndspos(0', Z) -> rnil 2ndspos(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(posrecip(activate(Y)), 2ndsneg(N, activate(Z))) 2ndsneg(0', Z) -> rnil 2ndsneg(s(N), cons(X, n__cons(Y, Z))) -> rcons(negrecip(activate(Y)), 2ndspos(N, activate(Z))) pi(X) -> 2ndspos(X, from(0')) plus(0', Y) -> Y plus(s(X), Y) -> s(plus(X, Y)) times(0', Y) -> 0' times(s(X), Y) -> plus(Y, times(X, Y)) square(X) -> times(X, X) from(X) -> n__from(X) s(X) -> n__s(X) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) activate(n__from(X)) -> from(activate(X)) activate(n__s(X)) -> s(activate(X)) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(activate(X1), X2) activate(X) -> X encArg(n__from(x_1)) -> n__from(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(rnil) -> rnil encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(rcons(x_1, x_2)) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(posrecip(x_1)) -> posrecip(encArg(x_1)) encArg(negrecip(x_1)) -> negrecip(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_2ndspos(x_1, x_2)) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_2ndsneg(x_1, x_2)) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pi(x_1)) -> pi(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__from(x_1) -> n__from(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_2ndspos(x_1, x_2) -> 2ndspos(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_rnil -> rnil encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_rcons(x_1, x_2) -> rcons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_posrecip(x_1) -> posrecip(encArg(x_1)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_2ndsneg(x_1, x_2) -> 2ndsneg(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_negrecip(x_1) -> negrecip(encArg(x_1)) encode_pi(x_1) -> pi(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) Types: from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 0' :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate 2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encArg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate cons_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__from :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndspos :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_0 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rnil :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_s :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_n__cons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_rcons :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_posrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_activate :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_2ndsneg :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_negrecip :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_pi :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_plus :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_times :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate encode_square :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate hole_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate1_3 :: n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3 :: Nat -> n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate Lemmas: activate(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(0) <=> 0' gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> n__from(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, 2ndspos, 2ndsneg, times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 2ndspos = 2ndsneg 2ndspos < encArg 2ndsneg < encArg plus < times plus < encArg times < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(n4596_3)) -> gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(n4596_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(+(n4596_3, 1))) ->_R^Omega(0) n__from(encArg(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(n4596_3))) ->_IH n__from(gen_n__s:n__from:0':rnil:n__cons:posrecip:rcons:negrecip:cons_from:cons_2ndspos:cons_2ndsneg:cons_pi:cons_plus:cons_times:cons_square:cons_s:cons_cons:cons_activate2_3(c4597_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)