/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 178 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 114 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 120 ms]
    (18) CdtProblem
    (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 132 ms]
    (20) CdtProblem
    (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 96 ms]
    (22) CdtProblem
    (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 87 ms]
    (24) CdtProblem
    (25) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (26) BOUNDS(1, 1)
(27) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(28) CpxRelTRS
    (29) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (30) typed CpxTrs
    (31) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (32) typed CpxTrs
    (33) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 513 ms]
    (34) BEST
        (35) proven lower bound
            (36) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
            (37) BOUNDS(n^1, INF)
        (38) typed CpxTrs
            (39) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 165 ms]
            (40) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
   f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
   g(X) -> n__g(X)
   activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
   activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
   activate(X) -> X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
   encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
   f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
   g(X) -> n__g(X)
   activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
   activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
   encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
   f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
   g(X) -> n__g(X)
   activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
   activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
   encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_g(z0) -> g(encArg(z0))
   encode_n__f(z0, z1) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_n__g(z0) -> n__g(encArg(z0))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(g(z0), z1) -> f(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1)))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0) -> c6(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_N__F(z0, z1) -> c7(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_N__G(z0) -> c8(ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c9(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(g(z0), z1) -> c10(F(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1))), ACTIVATE(z1))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
S tuples:
   F(g(z0), z1) -> c10(F(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1))), ACTIVATE(z1))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_1, activate_1, encArg_1, encode_f_2, encode_g_1, encode_n__f_2, encode_n__g_1, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_N__F_2, ENCODE_N__G_1, ENCODE_ACTIVATE_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c5_3, c6_2, c7_2, c8_1, c9_2, c10_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 3 leading nodes:
   ENCODE_N__F(z0, z1) -> c7(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_N__G(z0) -> c8(ENCARG(z0))
   F(g(z0), z1) -> c10(F(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1))), ACTIVATE(z1))

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_g(z0) -> g(encArg(z0))
   encode_n__f(z0, z1) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_n__g(z0) -> n__g(encArg(z0))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(g(z0), z1) -> f(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1)))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c5(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0) -> c6(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c9(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
S tuples:
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_1, activate_1, encArg_1, encode_f_2, encode_g_1, encode_n__f_2, encode_n__g_1, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c5_3, c6_2, c9_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_g(z0) -> g(encArg(z0))
   encode_n__f(z0, z1) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_n__g(z0) -> n__g(encArg(z0))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(g(z0), z1) -> f(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1)))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ENCARG(z0))
S tuples:
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_1, activate_1, encArg_1, encode_f_2, encode_g_1, encode_n__f_2, encode_n__g_1, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 4 leading nodes:
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(ENCARG(z1))
   ENCODE_G(z0) -> c7(ENCARG(z0))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ENCARG(z0))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_g(z0) -> g(encArg(z0))
   encode_n__f(z0, z1) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_n__g(z0) -> n__g(encArg(z0))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(g(z0), z1) -> f(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1)))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_2, g_1, activate_1, encArg_1, encode_f_2, encode_g_1, encode_n__f_2, encode_n__g_1, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_g(z0) -> g(encArg(z0))
   encode_n__f(z0, z1) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_n__g(z0) -> n__g(encArg(z0))
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(g(z0), z1) -> f(z0, n__f(n__g(z0), activate(z1)))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ACTIVATE(z0) -> c15
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ENCARG(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1]
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(ENCODE_G(x_1)) = 0
   POL(F(x_1, x_2)) = 0
   POL(G(x_1)) = 0
   POL(activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c11) = 0
   POL(c12) = 0
   POL(c13(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15) = 0
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(g(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__g(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
K tuples:
   ACTIVATE(z0) -> c15
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
We considered the (Usable) Rules:
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(z0) -> z0
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1
   POL(ENCARG(x_1)) = [2]x_1^2
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_G(x_1)) = [1] + [2]x_1^2
   POL(F(x_1, x_2)) = 0
   POL(G(x_1)) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c11) = 0
   POL(c12) = 0
   POL(c13(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15) = 0
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(cons_activate(x_1)) = [2] + x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1)) = x_1
   POL(encArg(x_1)) = [2]x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(g(x_1)) = x_1
   POL(n__f(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(n__g(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
K tuples:
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   F(z0, z1) -> c11
We considered the (Usable) Rules:
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(z0) -> z0
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_G(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(F(x_1, x_2)) = [1]
   POL(G(x_1)) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c11) = 0
   POL(c12) = 0
   POL(c13(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15) = 0
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(g(x_1)) = x_1
   POL(n__f(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(n__g(x_1)) = x_1

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
K tuples:
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   F(z0, z1) -> c11
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
We considered the (Usable) Rules:
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(z0) -> z0
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_G(x_1)) = [1] + x_1 + [2]x_1^2
   POL(F(x_1, x_2)) = 0
   POL(G(x_1)) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c11) = 0
   POL(c12) = 0
   POL(c13(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15) = 0
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1)) = [1] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(g(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__f(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(n__g(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   G(z0) -> c12
K tuples:
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   G(z0) -> c12
We considered the (Usable) Rules:
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(z0) -> z0
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_G(x_1)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_1^2
   POL(F(x_1, x_2)) = 0
   POL(G(x_1)) = [1]
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c11) = 0
   POL(c12) = 0
   POL(c13(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c14(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c15) = 0
   POL(c2(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c3(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_g(x_1)) = [2] + x_1
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(g(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__f(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(n__g(x_1)) = [1] + x_1

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(n__f(z0, z1)) -> n__f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(n__g(z0)) -> n__g(encArg(z0))
   encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_g(z0)) -> g(encArg(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0, z1) -> n__f(z0, z1)
   g(z0) -> n__g(z0)
   activate(n__f(z0, z1)) -> f(activate(z0), z1)
   activate(n__g(z0)) -> g(activate(z0))
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0, z1)) -> c(ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(n__g(z0)) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_g(z0)) -> c3(G(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c4(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   G(z0) -> c12
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ENCODE_F(z0, z1) -> c7(F(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_G(z0) -> c7(G(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c7(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:none
K tuples:
   ACTIVATE(z0) -> c15
   ACTIVATE(n__f(z0, z1)) -> c13(F(activate(z0), z1), ACTIVATE(z0))
   F(z0, z1) -> c11
   ACTIVATE(n__g(z0)) -> c14(G(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   G(z0) -> c12
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_2, g_1, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_2, G_1, ACTIVATE_1, ENCODE_F_2, ENCODE_G_1, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c_2, c1_1, c2_3, c3_2, c4_2, c11, c12, c13_2, c14_2, c15, c7_1


----------------------------------------

(25) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(26)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(27) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(28)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
   f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
   g(X) -> n__g(X)
   activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
   activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
   encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(29) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(30)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
g(X) -> n__g(X)
activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
activate(X) -> X
encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encArg :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0 :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0 :: Nat -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate

----------------------------------------

(31) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
f, activate, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = activate
f < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
g(X) -> n__g(X)
activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
activate(X) -> X
encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encArg :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0 :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0 :: Nat -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate


Generator Equations:
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(0) <=> hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(x, 1)) <=> n__f(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(x), hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0)


The following defined symbols remain to be analysed:
activate, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = activate
f < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0)

Induction Base:
activate(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, +(n4_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
f(activate(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, n4_0))), hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0) ->_IH
f(*3_0, hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(34)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(35)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
g(X) -> n__g(X)
activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
activate(X) -> X
encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encArg :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0 :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0 :: Nat -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate


Generator Equations:
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(0) <=> hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(x, 1)) <=> n__f(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(x), hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0)


The following defined symbols remain to be analysed:
activate, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = activate
f < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(36) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(37)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(38)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(g(X), Y) -> f(X, n__f(n__g(X), activate(Y)))
f(X1, X2) -> n__f(X1, X2)
g(X) -> n__g(X)
activate(n__f(X1, X2)) -> f(activate(X1), X2)
activate(n__g(X)) -> g(activate(X))
activate(X) -> X
encArg(n__f(x_1, x_2)) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__g(x_1)) -> n__g(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))
encode_n__f(x_1, x_2) -> n__f(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__g(x_1) -> n__g(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encArg :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
cons_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__f :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_n__g :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
encode_activate :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0 :: n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0 :: Nat -> n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0)


Generator Equations:
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(0) <=> hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0
gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(x, 1)) <=> n__f(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(x), hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0)


The following defined symbols remain to be analysed:
f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = activate
f < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, n784_0))) -> *3_0, rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
encArg(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, +(n784_0, 1)))) ->_R^Omega(0)
n__f(encArg(gen_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate2_0(+(1, n784_0))), encArg(hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0)) ->_IH
n__f(*3_0, encArg(hole_n__g:n__f:cons_f:cons_g:cons_activate1_0))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(40)
BOUNDS(1, INF)