/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^3))
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 207 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 249 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 505 ms]
    (18) CdtProblem
    (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 419 ms]
    (20) CdtProblem
    (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 405 ms]
    (22) CdtProblem
    (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 339 ms]
    (24) CdtProblem
    (25) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^3)), 352 ms]
    (26) CdtProblem
    (27) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (28) BOUNDS(1, 1)
(29) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(30) CpxRelTRS
    (31) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (32) typed CpxTrs
    (33) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (34) typed CpxTrs
    (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 467 ms]
    (36) BEST
        (37) proven lower bound
            (38) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
            (39) BOUNDS(n^1, INF)
        (40) typed CpxTrs
            (41) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 162 ms]
            (42) BOUNDS(1, INF)


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(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).


The TRS R consists of the following rules:

   f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
   if(true, X, Y) -> X
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   f(X) -> n__f(X)
   true -> n__true
   activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
   activate(n__true) -> true
   activate(X) -> X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_c -> c
   encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).


The TRS R consists of the following rules:

   f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
   if(true, X, Y) -> X
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   f(X) -> n__f(X)
   true -> n__true
   activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
   activate(n__true) -> true
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_c -> c
   encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^3).


The TRS R consists of the following rules:

   f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
   if(true, X, Y) -> X
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   f(X) -> n__f(X)
   true -> n__true
   activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
   activate(n__true) -> true
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_c -> c
   encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_c -> c
   encode_n__f(z0) -> n__f(encArg(z0))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(true, z0, z1) -> z0
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(c) -> c1
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(n__true) -> c3
   ENCARG(false) -> c4
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0) -> c9(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c10(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_C -> c11
   ENCODE_N__F(z0) -> c12(ENCARG(z0))
   ENCODE_N__TRUE -> c13
   ENCODE_TRUE -> c14(TRUE)
   ENCODE_FALSE -> c15
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c16(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(true, z0, z1) -> c19
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(true, z0, z1) -> c19
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_1, if_3, true, activate_1, encArg_1, encode_f_1, encode_if_3, encode_c, encode_n__f_1, encode_n__true, encode_true, encode_false, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_C, ENCODE_N__F_1, ENCODE_N__TRUE, ENCODE_TRUE, ENCODE_FALSE, ENCODE_ACTIVATE_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c1, c2_1, c3, c4, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c9_2, c10_4, c11, c12_1, c13, c14_1, c15, c16_2, c17_1, c18, c19, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 2 leading nodes:
   ENCODE_N__F(z0) -> c12(ENCARG(z0))
   ENCODE_TRUE -> c14(TRUE)
Removed 7 trailing nodes:
   IF(true, z0, z1) -> c19
   ENCODE_N__TRUE -> c13
   ENCODE_FALSE -> c15
   ENCODE_C -> c11
   ENCARG(false) -> c4
   ENCARG(c) -> c1
   ENCARG(n__true) -> c3

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_c -> c
   encode_n__f(z0) -> n__f(encArg(z0))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(true, z0, z1) -> z0
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_F(z0) -> c9(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c10(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c16(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_1, if_3, true, activate_1, encArg_1, encode_f_1, encode_if_3, encode_c, encode_n__f_1, encode_n__true, encode_true, encode_false, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c9_2, c10_4, c16_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_c -> c
   encode_n__f(z0) -> n__f(encArg(z0))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(true, z0, z1) -> z0
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_F(z0) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ENCARG(z0))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_1, if_3, true, activate_1, encArg_1, encode_f_1, encode_if_3, encode_c, encode_n__f_1, encode_n__true, encode_true, encode_false, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 5 leading nodes:
   ENCODE_F(z0) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(ENCARG(z2))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ENCARG(z0))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_c -> c
   encode_n__f(z0) -> n__f(encArg(z0))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(true, z0, z1) -> z0
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   f_1, if_3, true, activate_1, encArg_1, encode_f_1, encode_if_3, encode_c, encode_n__f_1, encode_n__true, encode_true, encode_false, encode_activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_f(z0) -> f(encArg(z0))
   encode_if(z0, z1, z2) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_c -> c
   encode_n__f(z0) -> n__f(encArg(z0))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(z0) -> activate(encArg(z0))
   if(true, z0, z1) -> z0

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   F(z0) -> c18
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(n__true) -> n__true
   f(z0) -> n__f(z0)
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   activate(z0) -> z0
   activate(n__true) -> true
   true -> n__true
   encArg(false) -> false
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   encArg(c) -> c
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + [2]x_1 + x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1^2 + x_1*x_2 + x_2^2
   POL(F(x_1)) = [1]
   POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(TRUE) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c) = 0
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c23(x_1)) = x_1
   POL(c24) = 0
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_true) = 0
   POL(encArg(x_1)) = [2]x_1
   POL(f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = 0
   POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(n__f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__true) = 0
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:
   F(z0) -> c18
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(n__true) -> n__true
   f(z0) -> n__f(z0)
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   activate(z0) -> z0
   activate(n__true) -> true
   true -> n__true
   encArg(false) -> false
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   encArg(c) -> c
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_3^2
   POL(F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_3^2
   POL(TRUE) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c) = 0
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c23(x_1)) = x_1
   POL(c24) = 0
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_true) = [1]
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = [1]
   POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(n__f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__true) = 0
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(n__true) -> n__true
   f(z0) -> n__f(z0)
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   activate(z0) -> z0
   activate(n__true) -> true
   true -> n__true
   encArg(false) -> false
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   encArg(c) -> c
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1*x_3^2
   POL(F(x_1)) = x_1
   POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1*x_3^2
   POL(TRUE) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c) = 0
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c23(x_1)) = x_1
   POL(c24) = 0
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_true) = [1]
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = [1]
   POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(n__f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__true) = 0
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
K tuples:
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(z0) -> c24
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(n__true) -> n__true
   f(z0) -> n__f(z0)
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   activate(z0) -> z0
   activate(n__true) -> true
   true -> n__true
   encArg(false) -> false
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   encArg(c) -> c
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1*x_3^2
   POL(F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1*x_3^2
   POL(TRUE) = [1]
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c) = 0
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c23(x_1)) = x_1
   POL(c24) = 0
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_true) = [1]
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = [1]
   POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(n__f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__true) = 0
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
K tuples:
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(z0) -> c24
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(n__true) -> n__true
   f(z0) -> n__f(z0)
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   activate(z0) -> z0
   activate(n__true) -> true
   true -> n__true
   encArg(false) -> false
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   encArg(c) -> c
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1*x_3^2
   POL(F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1*x_3^2
   POL(TRUE) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c) = 0
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c23(x_1)) = x_1
   POL(c24) = 0
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_true) = [1]
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = [1]
   POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(n__f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__true) = 0
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
K tuples:
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(z0) -> c24
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(25) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^3)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
We considered the (Usable) Rules:
   encArg(n__true) -> n__true
   f(z0) -> n__f(z0)
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   activate(z0) -> z0
   activate(n__true) -> true
   true -> n__true
   encArg(false) -> false
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   encArg(c) -> c
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
And the Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^3
   POL(ENCODE_ACTIVATE(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(ENCODE_F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(ENCODE_IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_3^2
   POL(F(x_1)) = [1] + x_1
   POL(IF(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_3^2
   POL(TRUE) = 0
   POL(activate(x_1)) = x_1
   POL(c) = 0
   POL(c1(x_1)) = x_1
   POL(c17(x_1)) = x_1
   POL(c18) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c23(x_1)) = x_1
   POL(c24) = 0
   POL(c5(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c6(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(c7(x_1)) = x_1
   POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(cons_activate(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(cons_if(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_true) = [1]
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = [1]
   POL(if(x_1, x_2, x_3)) = x_3
   POL(n__f(x_1)) = [1] + x_1
   POL(n__true) = 0
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(26)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(z0)) -> n__f(encArg(z0))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(z0)) -> f(encArg(z0))
   encArg(cons_if(z0, z1, z2)) -> if(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(z0)) -> activate(encArg(z0))
   f(z0) -> if(z0, c, n__f(n__true))
   f(z0) -> n__f(z0)
   if(false, z0, z1) -> activate(z1)
   true -> n__true
   activate(n__f(z0)) -> f(activate(z0))
   activate(n__true) -> true
   activate(z0) -> z0
Tuples:
   ENCARG(n__f(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_f(z0)) -> c5(F(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_if(z0, z1, z2)) -> c6(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCARG(cons_true) -> c7(TRUE)
   ENCARG(cons_activate(z0)) -> c8(ACTIVATE(encArg(z0)), ENCARG(z0))
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
   ACTIVATE(z0) -> c24
   ENCODE_F(z0) -> c1(F(encArg(z0)))
   ENCODE_IF(z0, z1, z2) -> c1(IF(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_ACTIVATE(z0) -> c1(ACTIVATE(encArg(z0)))
S tuples:none
K tuples:
   F(z0) -> c18
   IF(false, z0, z1) -> c20(ACTIVATE(z1))
   ACTIVATE(n__f(z0)) -> c22(F(activate(z0)), ACTIVATE(z0))
   TRUE -> c21
   ACTIVATE(z0) -> c24
   F(z0) -> c17(IF(z0, c, n__f(n__true)))
   ACTIVATE(n__true) -> c23(TRUE)
Defined Rule Symbols:   encArg_1, f_1, if_3, true, activate_1

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, F_1, IF_3, TRUE, ACTIVATE_1, ENCODE_F_1, ENCODE_IF_3, ENCODE_ACTIVATE_1

Compound Symbols:   c2_1, c5_2, c6_4, c7_1, c8_2, c17_1, c18, c20_1, c21, c22_2, c23_1, c24, c1_1


----------------------------------------

(27) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(29) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(30)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
   if(true, X, Y) -> X
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   f(X) -> n__f(X)
   true -> n__true
   activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
   activate(n__true) -> true
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(c) -> c
   encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
   encArg(n__true) -> n__true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_true) -> true
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_c -> c
   encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
   encode_n__true -> n__true
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(31) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
if(true, X, Y) -> X
if(false, X, Y) -> activate(Y)
f(X) -> n__f(X)
true -> n__true
activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
activate(n__true) -> true
activate(X) -> X
encArg(c) -> c
encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
encArg(n__true) -> n__true
encArg(false) -> false
encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_true) -> true
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_c -> c
encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
encode_n__true -> n__true
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encArg :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
hole_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate1_0 :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0 :: Nat -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate

----------------------------------------

(33) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
f, if, activate, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = if
f = activate
f < encArg
if = activate
if < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(34)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
if(true, X, Y) -> X
if(false, X, Y) -> activate(Y)
f(X) -> n__f(X)
true -> n__true
activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
activate(n__true) -> true
activate(X) -> X
encArg(c) -> c
encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
encArg(n__true) -> n__true
encArg(false) -> false
encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_true) -> true
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_c -> c
encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
encode_n__true -> n__true
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encArg :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
hole_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate1_0 :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0 :: Nat -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate


Generator Equations:
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(0) <=> c
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(x, 1)) <=> n__f(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, f, activate, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = if
f = activate
f < encArg
if = activate
if < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(1, n14_0))) -> *3_0, rt in Omega(n14_0)

Induction Base:
activate(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(1, +(n14_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
f(activate(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(1, n14_0)))) ->_IH
f(*3_0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(36)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(37)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
if(true, X, Y) -> X
if(false, X, Y) -> activate(Y)
f(X) -> n__f(X)
true -> n__true
activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
activate(n__true) -> true
activate(X) -> X
encArg(c) -> c
encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
encArg(n__true) -> n__true
encArg(false) -> false
encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_true) -> true
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_c -> c
encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
encode_n__true -> n__true
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encArg :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
hole_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate1_0 :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0 :: Nat -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate


Generator Equations:
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(0) <=> c
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(x, 1)) <=> n__f(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
activate, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = if
f = activate
f < encArg
if = activate
if < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(38) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(39)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(40)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
f(X) -> if(X, c, n__f(n__true))
if(true, X, Y) -> X
if(false, X, Y) -> activate(Y)
f(X) -> n__f(X)
true -> n__true
activate(n__f(X)) -> f(activate(X))
activate(n__true) -> true
activate(X) -> X
encArg(c) -> c
encArg(n__f(x_1)) -> n__f(encArg(x_1))
encArg(n__true) -> n__true
encArg(false) -> false
encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_true) -> true
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_c -> c
encode_n__f(x_1) -> n__f(encArg(x_1))
encode_n__true -> n__true
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))

Types:
f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encArg :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
cons_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_if :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_c :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__f :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_n__true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_true :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_false :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
encode_activate :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
hole_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate1_0 :: c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0 :: Nat -> c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(1, n14_0))) -> *3_0, rt in Omega(n14_0)


Generator Equations:
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(0) <=> c
gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(x, 1)) <=> n__f(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
f, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f = if
f = activate
f < encArg
if = activate
if < encArg
activate < encArg

----------------------------------------

(41) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(n1107_0)) -> gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(n1107_0), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(0)) ->_R^Omega(0)
c

Induction Step:
encArg(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(+(n1107_0, 1))) ->_R^Omega(0)
n__f(encArg(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(n1107_0))) ->_IH
n__f(gen_c:n__true:n__f:false:cons_f:cons_if:cons_true:cons_activate2_0(c1108_0))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(42)
BOUNDS(1, INF)