/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 501 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isList(V) -> a__isNeList(V) a__isList(nil) -> tt a__isList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isList(V2)) a__isNeList(V) -> a__isQid(V) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isNeList(V2)) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isNeList(V1), isList(V2)) a__isNePal(V) -> a__isQid(V) a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__and(a__isQid(I), isPal(P)) a__isPal(V) -> a__isNePal(V) a__isPal(nil) -> tt a__isQid(a) -> tt a__isQid(e) -> tt a__isQid(i) -> tt a__isQid(o) -> tt a__isQid(u) -> tt mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isList(X)) -> a__isList(X) mark(isNeList(X)) -> a__isNeList(X) mark(isQid(X)) -> a__isQid(X) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(X) mark(isPal(X)) -> a__isPal(X) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt mark(a) -> a mark(e) -> e mark(i) -> i mark(o) -> o mark(u) -> u a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isList(X) -> isList(X) a__isNeList(X) -> isNeList(X) a__isQid(X) -> isQid(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) a__isPal(X) -> isPal(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(isNeList(x_1)) -> isNeList(encArg(x_1)) encArg(isPal(x_1)) -> isPal(encArg(x_1)) encArg(a) -> a encArg(e) -> e encArg(i) -> i encArg(o) -> o encArg(u) -> u encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isQid(x_1)) -> isQid(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isList(x_1)) -> a__isList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNeList(x_1)) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPal(x_1)) -> a__isPal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isQid(x_1)) -> a__isQid(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__isList(x_1) -> a__isList(encArg(x_1)) encode_a__isNeList(x_1) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_a__isQid(x_1) -> a__isQid(encArg(x_1)) encode_isNeList(x_1) -> isNeList(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_isPal(x_1) -> isPal(encArg(x_1)) encode_a__isPal(x_1) -> a__isPal(encArg(x_1)) encode_a -> a encode_e -> e encode_i -> i encode_o -> o encode_u -> u encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isQid(x_1) -> isQid(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isList(V) -> a__isNeList(V) a__isList(nil) -> tt a__isList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isList(V2)) a__isNeList(V) -> a__isQid(V) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isNeList(V2)) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isNeList(V1), isList(V2)) a__isNePal(V) -> a__isQid(V) a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__and(a__isQid(I), isPal(P)) a__isPal(V) -> a__isNePal(V) a__isPal(nil) -> tt a__isQid(a) -> tt a__isQid(e) -> tt a__isQid(i) -> tt a__isQid(o) -> tt a__isQid(u) -> tt mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isList(X)) -> a__isList(X) mark(isNeList(X)) -> a__isNeList(X) mark(isQid(X)) -> a__isQid(X) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(X) mark(isPal(X)) -> a__isPal(X) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt mark(a) -> a mark(e) -> e mark(i) -> i mark(o) -> o mark(u) -> u a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isList(X) -> isList(X) a__isNeList(X) -> isNeList(X) a__isQid(X) -> isQid(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) a__isPal(X) -> isPal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(isNeList(x_1)) -> isNeList(encArg(x_1)) encArg(isPal(x_1)) -> isPal(encArg(x_1)) encArg(a) -> a encArg(e) -> e encArg(i) -> i encArg(o) -> o encArg(u) -> u encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isQid(x_1)) -> isQid(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isList(x_1)) -> a__isList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNeList(x_1)) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPal(x_1)) -> a__isPal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isQid(x_1)) -> a__isQid(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__isList(x_1) -> a__isList(encArg(x_1)) encode_a__isNeList(x_1) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_a__isQid(x_1) -> a__isQid(encArg(x_1)) encode_isNeList(x_1) -> isNeList(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_isPal(x_1) -> isPal(encArg(x_1)) encode_a__isPal(x_1) -> a__isPal(encArg(x_1)) encode_a -> a encode_e -> e encode_i -> i encode_o -> o encode_u -> u encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isQid(x_1) -> isQid(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isList(V) -> a__isNeList(V) a__isList(nil) -> tt a__isList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isList(V2)) a__isNeList(V) -> a__isQid(V) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isNeList(V2)) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isNeList(V1), isList(V2)) a__isNePal(V) -> a__isQid(V) a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__and(a__isQid(I), isPal(P)) a__isPal(V) -> a__isNePal(V) a__isPal(nil) -> tt a__isQid(a) -> tt a__isQid(e) -> tt a__isQid(i) -> tt a__isQid(o) -> tt a__isQid(u) -> tt mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isList(X)) -> a__isList(X) mark(isNeList(X)) -> a__isNeList(X) mark(isQid(X)) -> a__isQid(X) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(X) mark(isPal(X)) -> a__isPal(X) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt mark(a) -> a mark(e) -> e mark(i) -> i mark(o) -> o mark(u) -> u a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isList(X) -> isList(X) a__isNeList(X) -> isNeList(X) a__isQid(X) -> isQid(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) a__isPal(X) -> isPal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(isNeList(x_1)) -> isNeList(encArg(x_1)) encArg(isPal(x_1)) -> isPal(encArg(x_1)) encArg(a) -> a encArg(e) -> e encArg(i) -> i encArg(o) -> o encArg(u) -> u encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isQid(x_1)) -> isQid(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isList(x_1)) -> a__isList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNeList(x_1)) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPal(x_1)) -> a__isPal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isQid(x_1)) -> a__isQid(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__isList(x_1) -> a__isList(encArg(x_1)) encode_a__isNeList(x_1) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_a__isQid(x_1) -> a__isQid(encArg(x_1)) encode_isNeList(x_1) -> isNeList(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_isPal(x_1) -> isPal(encArg(x_1)) encode_a__isPal(x_1) -> a__isPal(encArg(x_1)) encode_a -> a encode_e -> e encode_i -> i encode_o -> o encode_u -> u encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isQid(x_1) -> isQid(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isList(V) -> a__isNeList(V) a__isList(nil) -> tt a__isList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isList(V2)) a__isNeList(V) -> a__isQid(V) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isNeList(V2)) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isNeList(V1), isList(V2)) a__isNePal(V) -> a__isQid(V) a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__and(a__isQid(I), isPal(P)) a__isPal(V) -> a__isNePal(V) a__isPal(nil) -> tt a__isQid(a) -> tt a__isQid(e) -> tt a__isQid(i) -> tt a__isQid(o) -> tt a__isQid(u) -> tt mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isList(X)) -> a__isList(X) mark(isNeList(X)) -> a__isNeList(X) mark(isQid(X)) -> a__isQid(X) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(X) mark(isPal(X)) -> a__isPal(X) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt mark(a) -> a mark(e) -> e mark(i) -> i mark(o) -> o mark(u) -> u a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isList(X) -> isList(X) a__isNeList(X) -> isNeList(X) a__isQid(X) -> isQid(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) a__isPal(X) -> isPal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(isNeList(x_1)) -> isNeList(encArg(x_1)) encArg(isPal(x_1)) -> isPal(encArg(x_1)) encArg(a) -> a encArg(e) -> e encArg(i) -> i encArg(o) -> o encArg(u) -> u encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isQid(x_1)) -> isQid(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isList(x_1)) -> a__isList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNeList(x_1)) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPal(x_1)) -> a__isPal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isQid(x_1)) -> a__isQid(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__isList(x_1) -> a__isList(encArg(x_1)) encode_a__isNeList(x_1) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_a__isQid(x_1) -> a__isQid(encArg(x_1)) encode_isNeList(x_1) -> isNeList(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_isPal(x_1) -> isPal(encArg(x_1)) encode_a__isPal(x_1) -> a__isPal(encArg(x_1)) encode_a -> a encode_e -> e encode_i -> i encode_o -> o encode_u -> u encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isQid(x_1) -> isQid(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence mark(and(X1, X2)) ->^+ a__and(mark(X1), X2) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X1 / and(X1, X2)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isList(V) -> a__isNeList(V) a__isList(nil) -> tt a__isList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isList(V2)) a__isNeList(V) -> a__isQid(V) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isNeList(V2)) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isNeList(V1), isList(V2)) a__isNePal(V) -> a__isQid(V) a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__and(a__isQid(I), isPal(P)) a__isPal(V) -> a__isNePal(V) a__isPal(nil) -> tt a__isQid(a) -> tt a__isQid(e) -> tt a__isQid(i) -> tt a__isQid(o) -> tt a__isQid(u) -> tt mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isList(X)) -> a__isList(X) mark(isNeList(X)) -> a__isNeList(X) mark(isQid(X)) -> a__isQid(X) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(X) mark(isPal(X)) -> a__isPal(X) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt mark(a) -> a mark(e) -> e mark(i) -> i mark(o) -> o mark(u) -> u a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isList(X) -> isList(X) a__isNeList(X) -> isNeList(X) a__isQid(X) -> isQid(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) a__isPal(X) -> isPal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(isNeList(x_1)) -> isNeList(encArg(x_1)) encArg(isPal(x_1)) -> isPal(encArg(x_1)) encArg(a) -> a encArg(e) -> e encArg(i) -> i encArg(o) -> o encArg(u) -> u encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isQid(x_1)) -> isQid(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isList(x_1)) -> a__isList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNeList(x_1)) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPal(x_1)) -> a__isPal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isQid(x_1)) -> a__isQid(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__isList(x_1) -> a__isList(encArg(x_1)) encode_a__isNeList(x_1) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_a__isQid(x_1) -> a__isQid(encArg(x_1)) encode_isNeList(x_1) -> isNeList(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_isPal(x_1) -> isPal(encArg(x_1)) encode_a__isPal(x_1) -> a__isPal(encArg(x_1)) encode_a -> a encode_e -> e encode_i -> i encode_o -> o encode_u -> u encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isQid(x_1) -> isQid(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a____(__(X, Y), Z) -> a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z))) a____(X, nil) -> mark(X) a____(nil, X) -> mark(X) a__and(tt, X) -> mark(X) a__isList(V) -> a__isNeList(V) a__isList(nil) -> tt a__isList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isList(V2)) a__isNeList(V) -> a__isQid(V) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isList(V1), isNeList(V2)) a__isNeList(__(V1, V2)) -> a__and(a__isNeList(V1), isList(V2)) a__isNePal(V) -> a__isQid(V) a__isNePal(__(I, __(P, I))) -> a__and(a__isQid(I), isPal(P)) a__isPal(V) -> a__isNePal(V) a__isPal(nil) -> tt a__isQid(a) -> tt a__isQid(e) -> tt a__isQid(i) -> tt a__isQid(o) -> tt a__isQid(u) -> tt mark(__(X1, X2)) -> a____(mark(X1), mark(X2)) mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2) mark(isList(X)) -> a__isList(X) mark(isNeList(X)) -> a__isNeList(X) mark(isQid(X)) -> a__isQid(X) mark(isNePal(X)) -> a__isNePal(X) mark(isPal(X)) -> a__isPal(X) mark(nil) -> nil mark(tt) -> tt mark(a) -> a mark(e) -> e mark(i) -> i mark(o) -> o mark(u) -> u a____(X1, X2) -> __(X1, X2) a__and(X1, X2) -> and(X1, X2) a__isList(X) -> isList(X) a__isNeList(X) -> isNeList(X) a__isQid(X) -> isQid(X) a__isNePal(X) -> isNePal(X) a__isPal(X) -> isPal(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(__(x_1, x_2)) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(tt) -> tt encArg(isList(x_1)) -> isList(encArg(x_1)) encArg(isNeList(x_1)) -> isNeList(encArg(x_1)) encArg(isPal(x_1)) -> isPal(encArg(x_1)) encArg(a) -> a encArg(e) -> e encArg(i) -> i encArg(o) -> o encArg(u) -> u encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(isQid(x_1)) -> isQid(encArg(x_1)) encArg(isNePal(x_1)) -> isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a____(x_1, x_2)) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__isList(x_1)) -> a__isList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNeList(x_1)) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isNePal(x_1)) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isPal(x_1)) -> a__isPal(encArg(x_1)) encArg(cons_a__isQid(x_1)) -> a__isQid(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a____(x_1, x_2) -> a____(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode___(x_1, x_2) -> __(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_a__isList(x_1) -> a__isList(encArg(x_1)) encode_a__isNeList(x_1) -> a__isNeList(encArg(x_1)) encode_isList(x_1) -> isList(encArg(x_1)) encode_a__isQid(x_1) -> a__isQid(encArg(x_1)) encode_isNeList(x_1) -> isNeList(encArg(x_1)) encode_a__isNePal(x_1) -> a__isNePal(encArg(x_1)) encode_isPal(x_1) -> isPal(encArg(x_1)) encode_a__isPal(x_1) -> a__isPal(encArg(x_1)) encode_a -> a encode_e -> e encode_i -> i encode_o -> o encode_u -> u encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isQid(x_1) -> isQid(encArg(x_1)) encode_isNePal(x_1) -> isNePal(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST