/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 326 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 404 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 143 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 108 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 281 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0)) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0)) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0)) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top1_3 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, s, plus, and, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active plus < active and < active active < top active < encArg s < proper s < encArg plus < proper plus < encArg and < proper and < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top1_3 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, plus, and, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active plus < active and < active active < top active < encArg s < proper s < encArg plus < proper plus < encArg and < proper and < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top1_3 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, plus, and, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active plus < active and < active active < top active < encArg s < proper s < encArg plus < proper plus < encArg and < proper and < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top1_3 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, active, and, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < active and < active active < top active < encArg plus < proper plus < encArg and < proper and < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n519_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n519_3) Induction Base: plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n519_3, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n519_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top1_3 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n519_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n519_3) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: and, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: and < active active < top active < encArg and < proper and < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2097_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n2097_3) Induction Base: and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2097_3, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2097_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(and(tt, X)) -> mark(X) active(plus(N, 0')) -> mark(N) active(plus(N, s(M))) -> mark(s(plus(N, M))) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2) active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2)) plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(s(X)) -> s(proper(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(tt) -> tt encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top 0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_and :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top1_3 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top Lemmas: s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3))) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n519_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n519_3) and(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2097_3)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n2097_3) Generator Equations: gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> tt gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(n4344_3)) -> gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(n4344_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) tt Induction Step: encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(+(n4344_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(n4344_3))) ->_IH mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_and:cons_plus:cons_s:cons_proper:cons_top2_3(c4345_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)