/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 2246 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 255 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U21(tt, X) -> activate(X) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N)))) U51(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U61(tt, Y) -> activate(Y) U71(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U81(tt, N, X, XS) -> U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U82(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U91(tt, XS) -> activate(XS) afterNth(N, XS) -> U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__fst(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) natsFrom(N) -> U41(isNatural(N), N) sel(N, XS) -> U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y) splitAt(0, XS) -> U71(isLNat(XS), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U81(and(isNatural(N), n__and(isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS)) take(N, XS) -> U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) isLNat(X) -> n__isLNat(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) s(X) -> n__s(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__fst(X)) -> fst(X) activate(n__snd(X)) -> snd(X) activate(n__tail(X)) -> tail(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2) activate(n__and(X1, X2)) -> and(X1, X2) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U81(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U21(tt, X) -> activate(X) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N)))) U51(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U61(tt, Y) -> activate(Y) U71(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U81(tt, N, X, XS) -> U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U82(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U91(tt, XS) -> activate(XS) afterNth(N, XS) -> U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__fst(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) natsFrom(N) -> U41(isNatural(N), N) sel(N, XS) -> U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y) splitAt(0, XS) -> U71(isLNat(XS), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U81(and(isNatural(N), n__and(isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS)) take(N, XS) -> U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) isLNat(X) -> n__isLNat(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) s(X) -> n__s(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__fst(X)) -> fst(X) activate(n__snd(X)) -> snd(X) activate(n__tail(X)) -> tail(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2) activate(n__and(X1, X2)) -> and(X1, X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U81(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U21(tt, X) -> activate(X) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N)))) U51(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U61(tt, Y) -> activate(Y) U71(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U81(tt, N, X, XS) -> U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U82(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U91(tt, XS) -> activate(XS) afterNth(N, XS) -> U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__fst(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) natsFrom(N) -> U41(isNatural(N), N) sel(N, XS) -> U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y) splitAt(0, XS) -> U71(isLNat(XS), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U81(and(isNatural(N), n__and(isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS)) take(N, XS) -> U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) isLNat(X) -> n__isLNat(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) s(X) -> n__s(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__fst(X)) -> fst(X) activate(n__snd(X)) -> snd(X) activate(n__tail(X)) -> tail(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2) activate(n__and(X1, X2)) -> and(X1, X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U81(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U21(tt, X) -> activate(X) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N)))) U51(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U61(tt, Y) -> activate(Y) U71(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U81(tt, N, X, XS) -> U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U82(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U91(tt, XS) -> activate(XS) afterNth(N, XS) -> U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__fst(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) natsFrom(N) -> U41(isNatural(N), N) sel(N, XS) -> U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y) splitAt(0, XS) -> U71(isLNat(XS), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U81(and(isNatural(N), n__and(isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS)) take(N, XS) -> U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) isLNat(X) -> n__isLNat(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) s(X) -> n__s(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__fst(X)) -> fst(X) activate(n__snd(X)) -> snd(X) activate(n__tail(X)) -> tail(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2) activate(n__and(X1, X2)) -> and(X1, X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U81(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence isLNat(n__natsFrom(n__isLNat(X1_0))) ->^+ isNatural(isLNat(X1_0)) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [X1_0 / n__natsFrom(n__isLNat(X1_0))]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U21(tt, X) -> activate(X) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N)))) U51(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U61(tt, Y) -> activate(Y) U71(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U81(tt, N, X, XS) -> U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U82(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U91(tt, XS) -> activate(XS) afterNth(N, XS) -> U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__fst(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) natsFrom(N) -> U41(isNatural(N), N) sel(N, XS) -> U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y) splitAt(0, XS) -> U71(isLNat(XS), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U81(and(isNatural(N), n__and(isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS)) take(N, XS) -> U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) isLNat(X) -> n__isLNat(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) s(X) -> n__s(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__fst(X)) -> fst(X) activate(n__snd(X)) -> snd(X) activate(n__tail(X)) -> tail(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2) activate(n__and(X1, X2)) -> and(X1, X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U81(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: U101(tt, N, XS) -> fst(splitAt(activate(N), activate(XS))) U11(tt, N, XS) -> snd(splitAt(activate(N), activate(XS))) U21(tt, X) -> activate(X) U31(tt, N) -> activate(N) U41(tt, N) -> cons(activate(N), n__natsFrom(s(activate(N)))) U51(tt, N, XS) -> head(afterNth(activate(N), activate(XS))) U61(tt, Y) -> activate(Y) U71(tt, XS) -> pair(nil, activate(XS)) U81(tt, N, X, XS) -> U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X)) U82(pair(YS, ZS), X) -> pair(cons(activate(X), YS), ZS) U91(tt, XS) -> activate(XS) afterNth(N, XS) -> U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) and(tt, X) -> activate(X) fst(pair(X, Y)) -> U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X) head(cons(N, XS)) -> U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N) isLNat(n__nil) -> tt isLNat(n__afterNth(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__cons(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isLNat(n__fst(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__natsFrom(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isLNat(n__snd(V1)) -> isPLNat(activate(V1)) isLNat(n__tail(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isLNat(n__take(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isNatural(n__0) -> tt isNatural(n__head(V1)) -> isLNat(activate(V1)) isNatural(n__s(V1)) -> isNatural(activate(V1)) isNatural(n__sel(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__pair(V1, V2)) -> and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) -> and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2))) natsFrom(N) -> U41(isNatural(N), N) sel(N, XS) -> U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) snd(pair(X, Y)) -> U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y) splitAt(0, XS) -> U71(isLNat(XS), XS) splitAt(s(N), cons(X, XS)) -> U81(and(isNatural(N), n__and(isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS)) tail(cons(N, XS)) -> U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS)) take(N, XS) -> U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) isLNat(X) -> n__isLNat(X) nil -> n__nil afterNth(X1, X2) -> n__afterNth(X1, X2) cons(X1, X2) -> n__cons(X1, X2) fst(X) -> n__fst(X) snd(X) -> n__snd(X) tail(X) -> n__tail(X) take(X1, X2) -> n__take(X1, X2) 0 -> n__0 head(X) -> n__head(X) s(X) -> n__s(X) sel(X1, X2) -> n__sel(X1, X2) pair(X1, X2) -> n__pair(X1, X2) splitAt(X1, X2) -> n__splitAt(X1, X2) and(X1, X2) -> n__and(X1, X2) activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) activate(n__isLNat(X)) -> isLNat(X) activate(n__nil) -> nil activate(n__afterNth(X1, X2)) -> afterNth(X1, X2) activate(n__cons(X1, X2)) -> cons(X1, X2) activate(n__fst(X)) -> fst(X) activate(n__snd(X)) -> snd(X) activate(n__tail(X)) -> tail(X) activate(n__take(X1, X2)) -> take(X1, X2) activate(n__0) -> 0 activate(n__head(X)) -> head(X) activate(n__s(X)) -> s(X) activate(n__sel(X1, X2)) -> sel(X1, X2) activate(n__pair(X1, X2)) -> pair(X1, X2) activate(n__splitAt(X1, X2)) -> splitAt(X1, X2) activate(n__and(X1, X2)) -> and(X1, X2) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(n__natsFrom(x_1)) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encArg(n__isLNat(x_1)) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encArg(n__nil) -> n__nil encArg(n__afterNth(x_1, x_2)) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__cons(x_1, x_2)) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fst(x_1)) -> n__fst(encArg(x_1)) encArg(n__snd(x_1)) -> n__snd(encArg(x_1)) encArg(n__tail(x_1)) -> n__tail(encArg(x_1)) encArg(n__take(x_1, x_2)) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__0) -> n__0 encArg(n__head(x_1)) -> n__head(encArg(x_1)) encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1)) encArg(n__sel(x_1, x_2)) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__pair(x_1, x_2)) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__splitAt(x_1, x_2)) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__and(x_1, x_2)) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U101(x_1, x_2, x_3)) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U21(x_1, x_2)) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U41(x_1, x_2)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U51(x_1, x_2, x_3)) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_U61(x_1, x_2)) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U71(x_1, x_2)) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U81(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_U82(x_1, x_2)) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U91(x_1, x_2)) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_afterNth(x_1, x_2)) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fst(x_1)) -> fst(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isLNat(x_1)) -> isLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_isNatural(x_1)) -> isNatural(encArg(x_1)) encArg(cons_isPLNat(x_1)) -> isPLNat(encArg(x_1)) encArg(cons_natsFrom(x_1)) -> natsFrom(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_snd(x_1)) -> snd(encArg(x_1)) encArg(cons_splitAt(x_1, x_2)) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_nil) -> nil encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0) -> 0 encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_U101(x_1, x_2, x_3) -> U101(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_fst(x_1) -> fst(encArg(x_1)) encode_splitAt(x_1, x_2) -> splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_snd(x_1) -> snd(encArg(x_1)) encode_U21(x_1, x_2) -> U21(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U41(x_1, x_2) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__natsFrom(x_1) -> n__natsFrom(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_U51(x_1, x_2, x_3) -> U51(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_afterNth(x_1, x_2) -> afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U61(x_1, x_2) -> U61(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U71(x_1, x_2) -> U71(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_U81(x_1, x_2, x_3, x_4) -> U81(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_U82(x_1, x_2) -> U82(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_U91(x_1, x_2) -> U91(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_isNatural(x_1) -> isNatural(encArg(x_1)) encode_n__isLNat(x_1) -> n__isLNat(encArg(x_1)) encode_isLNat(x_1) -> isLNat(encArg(x_1)) encode_n__nil -> n__nil encode_n__afterNth(x_1, x_2) -> n__afterNth(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__cons(x_1, x_2) -> n__cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fst(x_1) -> n__fst(encArg(x_1)) encode_isPLNat(x_1) -> isPLNat(encArg(x_1)) encode_n__snd(x_1) -> n__snd(encArg(x_1)) encode_n__tail(x_1) -> n__tail(encArg(x_1)) encode_n__take(x_1, x_2) -> n__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__0 -> n__0 encode_n__head(x_1) -> n__head(encArg(x_1)) encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1)) encode_n__sel(x_1, x_2) -> n__sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__pair(x_1, x_2) -> n__pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__splitAt(x_1, x_2) -> n__splitAt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_natsFrom(x_1) -> natsFrom(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_n__and(x_1, x_2) -> n__and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST