/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 328 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 257 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 708 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 834 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 56 ms]
                (26) typed CpxTrs
                (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 422 ms]
                (28) typed CpxTrs
                (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 190 ms]
                (30) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__plus(N, 0) -> mark(N)
   a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__x(N, 0) -> 0
   a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
   mark(tt) -> tt
   mark(0) -> 0
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__plus(N, 0) -> mark(N)
   a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__x(N, 0) -> 0
   a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
   mark(tt) -> tt
   mark(0) -> 0
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__plus(N, 0) -> mark(N)
   a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__x(N, 0) -> 0
   a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
   mark(tt) -> tt
   mark(0) -> 0
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__plus(N, 0') -> mark(N)
   a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__x(N, 0') -> 0'
   a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
   mark(tt) -> tt
   mark(0') -> 0'
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__and, mark, a__plus, a__x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__and, a__plus, a__x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3))) ->_IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(c5_3))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__and, a__plus, a__x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__plus, a__x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n1352_3 + n1352_3 + n1352_3^2)

Induction Base:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, +(n1352_3, 1)))) ->_R^Omega(1)
s(a__plus(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3))))) ->_L^Omega(1 + a)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3))))) ->_L^Omega(2 + n1352_3)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3)))) ->_IH
s(*3_3)

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__x, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n1352_3 + n1352_3 + n1352_3^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__x, a__and, mark, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n5180_3 + n5180_3 + n5180_3^2)

Induction Base:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, +(n5180_3, 1)))) ->_R^Omega(1)
a__plus(a__x(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a))) ->_L^Omega(1 + a)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a))) ->_L^Omega(2 + n5180_3)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a))) ->_IH
a__plus(*3_3, mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a))) ->_L^Omega(1 + a)
a__plus(*3_3, gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n1352_3 + n1352_3 + n1352_3^2)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n5180_3 + n5180_3 + n5180_3^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__and, a__plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3), rt in Omega(1 + n15445_3)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(n15445_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3))) ->_IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(c15446_3))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3), rt in Omega(1 + n15445_3)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n1352_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n1352_3 + n1352_3 + n1352_3^2)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n5180_3 + n5180_3 + n5180_3^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__plus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__and = mark
a__and = a__plus
a__and = a__x
a__and < encArg
mark = a__plus
mark = a__x
mark < encArg
a__plus = a__x
a__plus < encArg
a__x < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n17023_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n17023_3 + n17023_3 + n17023_3^2)

Induction Base:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, +(n17023_3, 1)))) ->_R^Omega(1)
s(a__plus(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n17023_3))))) ->_L^Omega(1 + a)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n17023_3))))) ->_L^Omega(2 + n17023_3)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n17023_3)))) ->_IH
s(*3_3)

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(28)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)
encArg(tt) -> tt
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(x(x_1, x_2)) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__and(x_1, x_2)) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__x(x_1, x_2)) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__and(x_1, x_2) -> a__and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_a__x(x_1, x_2) -> a__x(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_x(x_1, x_2) -> x(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
0' :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encArg :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
cons_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_tt :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_mark :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_0 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_s :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_a__x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_and :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_plus :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
encode_x :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
hole_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark1_3 :: tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n15445_3), rt in Omega(1 + n15445_3)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n17023_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n17023_3 + n17023_3 + n17023_3^2)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(a), gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(1, n5180_3))) -> *3_3, rt in Omega(a*n5180_3 + n5180_3 + n5180_3^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n21461_3)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n21461_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(0)
tt

Induction Step:
encArg(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(+(n21461_3, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(n21461_3))) ->_IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x:cons_a__and:cons_a__plus:cons_a__x:cons_mark2_3(c21462_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(30)
BOUNDS(1, INF)