/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 451 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 436 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 182 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 117 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 107 ms]
        (22) typed CpxTrs
        (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 89 ms]
        (24) typed CpxTrs
        (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1047 ms]
        (26) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(filter(cons(X, Y), 0, M)) -> mark(cons(0, filter(Y, M, M)))
   active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
   active(sieve(cons(0, Y))) -> mark(cons(0, sieve(Y)))
   active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
   active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
   active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0)))))
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(nats(X)) -> nats(active(X))
   filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
   proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
   proper(zprimes) -> ok(zprimes)
   filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(zprimes) -> zprimes
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
   encode_zprimes -> zprimes
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(filter(cons(X, Y), 0, M)) -> mark(cons(0, filter(Y, M, M)))
   active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
   active(sieve(cons(0, Y))) -> mark(cons(0, sieve(Y)))
   active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
   active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
   active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0)))))
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(nats(X)) -> nats(active(X))
   filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
   proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
   proper(zprimes) -> ok(zprimes)
   filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(zprimes) -> zprimes
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
   encode_zprimes -> zprimes
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(filter(cons(X, Y), 0, M)) -> mark(cons(0, filter(Y, M, M)))
   active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
   active(sieve(cons(0, Y))) -> mark(cons(0, sieve(Y)))
   active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
   active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
   active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0)))))
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(nats(X)) -> nats(active(X))
   filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
   proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
   proper(zprimes) -> ok(zprimes)
   filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(zprimes) -> zprimes
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
   encode_zprimes -> zprimes
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
   active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
   active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
   active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
   active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
   active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
   active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(nats(X)) -> nats(active(X))
   filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
   proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(0') -> ok(0')
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
   proper(zprimes) -> ok(zprimes)
   filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(zprimes) -> zprimes
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
   encode_zprimes -> zprimes
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, cons, filter, sieve, s, nats, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
filter < proper
filter < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
s < proper
s < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, filter, sieve, s, nats, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
filter < proper
filter < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
s < proper
s < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)

Induction Base:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b))

Induction Step:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, filter, sieve, s, nats, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
filter < proper
filter < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
s < proper
s < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
filter, active, sieve, s, nats, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
filter < active
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
active < encArg
filter < proper
filter < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
s < proper
s < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1601_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n1601_4)

Induction Base:
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c))

Induction Step:
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n1601_4, 1))), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1)
mark(filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1601_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1601_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n1601_4)


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
sieve, active, s, nats, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
sieve < active
s < active
nats < active
active < top
active < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
s < proper
s < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5141_4))) -> *3_4, rt in Omega(n5141_4)

Induction Base:
sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n5141_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5141_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1601_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n1601_4)
sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5141_4))) -> *3_4, rt in Omega(n5141_4)


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, nats, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
nats < active
active < top
active < encArg
s < proper
s < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
s(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n6107_4))) -> *3_4, rt in Omega(n6107_4)

Induction Base:
s(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
s(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n6107_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(s(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n6107_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1601_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n1601_4)
sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5141_4))) -> *3_4, rt in Omega(n5141_4)
s(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n6107_4))) -> *3_4, rt in Omega(n6107_4)


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
nats, active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
nats < active
active < top
active < encArg
nats < proper
nats < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
nats(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n7174_4))) -> *3_4, rt in Omega(n7174_4)

Induction Base:
nats(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
nats(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n7174_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(nats(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n7174_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(filter(cons(X, Y), 0', M)) -> mark(cons(0', filter(Y, M, M)))
active(filter(cons(X, Y), s(N), M)) -> mark(cons(X, filter(Y, N, M)))
active(sieve(cons(0', Y))) -> mark(cons(0', sieve(Y)))
active(sieve(cons(s(N), Y))) -> mark(cons(s(N), sieve(filter(Y, N, N))))
active(nats(N)) -> mark(cons(N, nats(s(N))))
active(zprimes) -> mark(sieve(nats(s(s(0')))))
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, active(X2), X3)
active(filter(X1, X2, X3)) -> filter(X1, X2, active(X3))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(nats(X)) -> nats(active(X))
filter(mark(X1), X2, X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, mark(X2), X3) -> mark(filter(X1, X2, X3))
filter(X1, X2, mark(X3)) -> mark(filter(X1, X2, X3))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
nats(mark(X)) -> mark(nats(X))
proper(filter(X1, X2, X3)) -> filter(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(nats(X)) -> nats(proper(X))
proper(zprimes) -> ok(zprimes)
filter(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(filter(X1, X2, X3))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
nats(ok(X)) -> ok(nats(X))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(0') -> 0'
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(zprimes) -> zprimes
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_filter(x_1, x_2, x_3)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_nats(x_1)) -> nats(encArg(x_1))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_filter(x_1, x_2, x_3) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_nats(x_1) -> nats(encArg(x_1))
encode_zprimes -> zprimes
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
0' :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encArg :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
cons_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_active :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_filter :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_cons :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_0 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_mark :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_s :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_nats :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_zprimes :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_proper :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_ok :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
encode_top :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
hole_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top1_4 :: 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> 0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top


Lemmas:
cons(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
filter(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1601_4)), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n1601_4)
sieve(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5141_4))) -> *3_4, rt in Omega(n5141_4)
s(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n6107_4))) -> *3_4, rt in Omega(n6107_4)
nats(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n7174_4))) -> *3_4, rt in Omega(n7174_4)


Generator Equations:
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> 0'
gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
active < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(n19196_4)) -> gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(n19196_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(+(n19196_4, 1))) ->_R^Omega(0)
mark(encArg(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(n19196_4))) ->_IH
mark(gen_0':mark:zprimes:ok:cons_active:cons_filter:cons_cons:cons_s:cons_sieve:cons_nats:cons_proper:cons_top2_4(c19197_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(26)
BOUNDS(1, INF)