/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 320 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 293 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 337 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0), s(0))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0, X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0, cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0), s(0))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0, X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0, cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0), s(0))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0, X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0, cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0'), s(0'))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0', X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0', cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0'), s(0'))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0', X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0', cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Types: fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate 0' :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encArg :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_0 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate hole_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate1_3 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3 :: Nat -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: sel, add, activate, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < sel sel < encArg add < activate add < encArg activate < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0'), s(0'))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0', X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0', cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Types: fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate 0' :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encArg :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_0 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate hole_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate1_3 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3 :: Nat -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate Generator Equations: gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(0) <=> 0' gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: add, sel, activate, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < sel sel < encArg add < activate add < encArg activate < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: add(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(n4_3), gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(b)) -> gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: add(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(0), gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(b) Induction Step: add(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(b)) ->_R^Omega(1) s(add(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(n4_3), gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(b))) ->_IH s(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(b, c5_3))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0'), s(0'))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0', X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0', cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Types: fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate 0' :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encArg :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_0 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate hole_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate1_3 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3 :: Nat -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate Generator Equations: gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(0) <=> 0' gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: add, sel, activate, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < sel sel < encArg add < activate add < encArg activate < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: fib(N) -> sel(N, fib1(s(0'), s(0'))) fib1(X, Y) -> cons(X, n__fib1(Y, n__add(X, Y))) add(0', X) -> X add(s(X), Y) -> s(add(X, Y)) sel(0', cons(X, XS)) -> X sel(s(N), cons(X, XS)) -> sel(N, activate(XS)) fib1(X1, X2) -> n__fib1(X1, X2) add(X1, X2) -> n__add(X1, X2) activate(n__fib1(X1, X2)) -> fib1(activate(X1), activate(X2)) activate(n__add(X1, X2)) -> add(activate(X1), activate(X2)) activate(X) -> X encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__fib1(x_1, x_2)) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(n__add(x_1, x_2)) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__fib1(x_1, x_2) -> n__fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_n__add(x_1, x_2) -> n__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1)) Types: fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate 0' :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encArg :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate cons_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_sel :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_s :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_0 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_cons :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__fib1 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_n__add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_add :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate encode_activate :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate hole_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate1_3 :: 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3 :: Nat -> 0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate Lemmas: add(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(n4_3), gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(b)) -> gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(0) <=> 0' gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: activate, sel, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: activate < sel sel < encArg activate < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(n1860_3)) -> gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(n1860_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(+(n1860_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(n1860_3))) ->_IH s(gen_0':s:n__add:n__fib1:cons:cons_fib:cons_fib1:cons_add:cons_sel:cons_activate2_3(c1861_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)