/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 433 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 261 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 125 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 209 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 59 ms]
                (26) typed CpxTrs
                (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 91 ms]
                (28) typed CpxTrs
                (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1929 ms]
                (30) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(n__0, Y) -> 0
   minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
   geq(X, n__0) -> true
   geq(n__0, n__s(Y)) -> false
   geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
   div(0, n__s(Y)) -> 0
   div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
   if(true, X, Y) -> activate(X)
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   0 -> n__0
   s(X) -> n__s(X)
   div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
   minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
   activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
   activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
   activate(X) -> X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_0) -> 0
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_0 -> 0
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(n__0, Y) -> 0
   minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
   geq(X, n__0) -> true
   geq(n__0, n__s(Y)) -> false
   geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
   div(0, n__s(Y)) -> 0
   div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
   if(true, X, Y) -> activate(X)
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   0 -> n__0
   s(X) -> n__s(X)
   div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
   minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
   activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
   activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_0) -> 0
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_0 -> 0
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(n__0, Y) -> 0
   minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
   geq(X, n__0) -> true
   geq(n__0, n__s(Y)) -> false
   geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
   div(0, n__s(Y)) -> 0
   div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
   if(true, X, Y) -> activate(X)
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   0 -> n__0
   s(X) -> n__s(X)
   div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
   minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0
   activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
   activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
   activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_0) -> 0
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_0 -> 0
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(n__0, Y) -> 0'
   minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
   geq(X, n__0) -> true
   geq(n__0, n__s(Y)) -> false
   geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
   div(0', n__s(Y)) -> 0'
   div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
   if(true, X, Y) -> activate(X)
   if(false, X, Y) -> activate(Y)
   0' -> n__0
   s(X) -> n__s(X)
   div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
   minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
   activate(n__0) -> 0'
   activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
   activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
   activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
   activate(X) -> X

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(n__0) -> n__0
   encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_0) -> 0'
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__0 -> n__0
   encode_0 -> 0'
   encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
   encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
   encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
minus, activate, geq, div, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
activate, minus, geq, div, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(1)
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)

Induction Step:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4))) ->_IH
s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(c5_4)) ->_R^Omega(1)
n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
activate, minus, geq, div, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
div, minus, geq, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4)) -> true, rt in Omega(1 + n1781_4 + n1781_4^2)

Induction Base:
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n1781_4, 1)), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n1781_4, 1))) ->_R^Omega(1)
geq(activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4)), activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4))) ->_L^Omega(1 + n1781_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4), activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4))) ->_L^Omega(1 + n1781_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
geq, minus, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4)) -> true, rt in Omega(1 + n1781_4 + n1781_4^2)


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, activate, div, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), rt in Omega(1 + n4001_4 + n4001_4^2)

Induction Base:
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(1)
0' ->_R^Omega(1)
n__0

Induction Step:
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n4001_4, 1)), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n4001_4, 1))) ->_R^Omega(1)
minus(activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4)), activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4))) ->_L^Omega(1 + n4001_4)
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4), activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4))) ->_L^Omega(1 + n4001_4)
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4)) ->_IH
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4)) -> true, rt in Omega(1 + n1781_4 + n1781_4^2)
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), rt in Omega(1 + n4001_4 + n4001_4^2)


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
activate, geq, div, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4), rt in Omega(1 + n8306_4)

Induction Base:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(1)
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)

Induction Step:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n8306_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4))) ->_IH
s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(c8307_4)) ->_R^Omega(1)
n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4), rt in Omega(1 + n8306_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n1781_4)) -> true, rt in Omega(1 + n1781_4 + n1781_4^2)
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), rt in Omega(1 + n4001_4 + n4001_4^2)


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
div, geq, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus = activate
minus = geq
minus = div
minus = if
minus < encArg
activate = geq
activate = div
activate = if
activate < encArg
geq = div
geq = if
geq < encArg
div = if
div < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4)) -> true, rt in Omega(1 + n10109_4 + n10109_4^2)

Induction Base:
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n10109_4, 1)), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n10109_4, 1))) ->_R^Omega(1)
geq(activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4)), activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4))) ->_L^Omega(1 + n10109_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4), activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4))) ->_L^Omega(1 + n10109_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(28)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
minus(n__0, Y) -> 0'
minus(n__s(X), n__s(Y)) -> minus(activate(X), activate(Y))
geq(X, n__0) -> true
geq(n__0, n__s(Y)) -> false
geq(n__s(X), n__s(Y)) -> geq(activate(X), activate(Y))
div(0', n__s(Y)) -> 0'
div(s(X), n__s(Y)) -> if(geq(X, activate(Y)), n__s(n__div(n__minus(X, activate(Y)), n__s(activate(Y)))), n__0)
if(true, X, Y) -> activate(X)
if(false, X, Y) -> activate(Y)
0' -> n__0
s(X) -> n__s(X)
div(X1, X2) -> n__div(X1, X2)
minus(X1, X2) -> n__minus(X1, X2)
activate(n__0) -> 0'
activate(n__s(X)) -> s(activate(X))
activate(n__div(X1, X2)) -> div(activate(X1), X2)
activate(n__minus(X1, X2)) -> minus(X1, X2)
activate(X) -> X
encArg(n__0) -> n__0
encArg(n__s(x_1)) -> n__s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(n__div(x_1, x_2)) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(n__minus(x_1, x_2)) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_geq(x_1, x_2)) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_0) -> 0'
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_activate(x_1)) -> activate(encArg(x_1))
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__0 -> n__0
encode_0 -> 0'
encode_n__s(x_1) -> n__s(encArg(x_1))
encode_activate(x_1) -> activate(encArg(x_1))
encode_geq(x_1, x_2) -> geq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_n__div(x_1, x_2) -> n__div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_n__minus(x_1, x_2) -> n__minus(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
0' :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encArg :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
cons_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_0 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_activate :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_geq :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_true :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_false :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_s :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_if :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__div :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
encode_n__minus :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
hole_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate1_4 :: n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4 :: Nat -> n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate


Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n8306_4), rt in Omega(1 + n8306_4)
geq(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n10109_4)) -> true, rt in Omega(1 + n10109_4 + n10109_4^2)
minus(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4), gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n4001_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0), rt in Omega(1 + n4001_4 + n4001_4^2)


Generator Equations:
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0) <=> n__0
gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(x, 1)) <=> n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n12352_4)) -> gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n12352_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(0)) ->_R^Omega(0)
n__0

Induction Step:
encArg(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(+(n12352_4, 1))) ->_R^Omega(0)
n__s(encArg(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(n12352_4))) ->_IH
n__s(gen_n__0:n__s:true:false:n__minus:n__div:cons_minus:cons_geq:cons_div:cons_if:cons_0:cons_s:cons_activate2_4(c12353_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(30)
BOUNDS(1, INF)