/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 634 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 4 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 413 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 197 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 120 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 125 ms]
        (22) typed CpxTrs
        (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 124 ms]
        (24) typed CpxTrs
        (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 97 ms]
        (26) typed CpxTrs
        (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 123 ms]
        (28) typed CpxTrs
        (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 176 ms]
        (30) typed CpxTrs
        (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 27.5 s]
        (32) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
   active(U12(tt)) -> mark(tt)
   active(U21(tt)) -> mark(tt)
   active(U31(tt, N)) -> mark(N)
   active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
   active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
   active(isNat(0)) -> mark(tt)
   active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
   active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
   active(plus(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N), N))
   active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
   active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
   active(U12(X)) -> U12(active(X))
   active(U21(X)) -> U21(active(X))
   active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
   active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
   active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
   active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
   U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
   U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
   U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
   U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
   U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
   U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
   plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
   proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
   proper(tt) -> ok(tt)
   proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
   proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
   proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
   proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
   proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
   proper(0) -> ok(0)
   U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
   U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
   isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
   U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
   U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
   U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
   U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
   encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
   encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
   active(U12(tt)) -> mark(tt)
   active(U21(tt)) -> mark(tt)
   active(U31(tt, N)) -> mark(N)
   active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
   active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
   active(isNat(0)) -> mark(tt)
   active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
   active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
   active(plus(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N), N))
   active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
   active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
   active(U12(X)) -> U12(active(X))
   active(U21(X)) -> U21(active(X))
   active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
   active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
   active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
   active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
   U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
   U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
   U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
   U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
   U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
   U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
   plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
   proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
   proper(tt) -> ok(tt)
   proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
   proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
   proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
   proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
   proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
   proper(0) -> ok(0)
   U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
   U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
   isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
   U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
   U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
   U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
   U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
   encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
   encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
   active(U12(tt)) -> mark(tt)
   active(U21(tt)) -> mark(tt)
   active(U31(tt, N)) -> mark(N)
   active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
   active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
   active(isNat(0)) -> mark(tt)
   active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
   active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
   active(plus(N, 0)) -> mark(U31(isNat(N), N))
   active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
   active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
   active(U12(X)) -> U12(active(X))
   active(U21(X)) -> U21(active(X))
   active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
   active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
   active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
   active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
   U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
   U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
   U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
   U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
   U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
   U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
   plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
   proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
   proper(tt) -> ok(tt)
   proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
   proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
   proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
   proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
   proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
   proper(0) -> ok(0)
   U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
   U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
   isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
   U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
   U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
   U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
   U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
   encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
   encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
   active(U12(tt)) -> mark(tt)
   active(U21(tt)) -> mark(tt)
   active(U31(tt, N)) -> mark(N)
   active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
   active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
   active(isNat(0')) -> mark(tt)
   active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
   active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
   active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
   active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
   active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
   active(U12(X)) -> U12(active(X))
   active(U21(X)) -> U21(active(X))
   active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
   active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
   active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
   active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
   U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
   U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
   U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
   U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
   U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
   U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
   plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
   proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
   proper(tt) -> ok(tt)
   proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
   proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
   proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
   proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
   proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
   proper(0') -> ok(0')
   U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
   U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
   isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
   U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
   U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
   U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
   U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(tt) -> tt
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
   encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
   encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_tt -> tt
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
   encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
   encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
   encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, U12, isNat, U42, s, plus, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
isNat < active
U42 < active
s < active
plus < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
U12 < proper
U12 < encArg
isNat < proper
isNat < encArg
U42 < proper
U42 < encArg
s < proper
s < encArg
plus < proper
plus < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U12, active, isNat, U42, s, plus, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
isNat < active
U42 < active
s < active
plus < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
U12 < proper
U12 < encArg
isNat < proper
isNat < encArg
U42 < proper
U42 < encArg
s < proper
s < encArg
plus < proper
plus < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)

Induction Base:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U12, active, isNat, U42, s, plus, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
isNat < active
U42 < active
s < active
plus < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
U12 < proper
U12 < encArg
isNat < proper
isNat < encArg
U42 < proper
U42 < encArg
s < proper
s < encArg
plus < proper
plus < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, active, U42, s, plus, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat < active
U42 < active
s < active
plus < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
isNat < proper
isNat < encArg
U42 < proper
U42 < encArg
s < proper
s < encArg
plus < proper
plus < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)

Induction Base:
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c))

Induction Step:
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n778_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1)
mark(U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, plus, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
plus < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
s < proper
s < encArg
plus < proper
plus < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)

Induction Base:
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n4520_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, active, U11, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
plus < proper
plus < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5587_4)

Induction Base:
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))

Induction Step:
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n5587_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5587_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, U21, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
U11 < proper
U11 < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8529_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8529_4)

Induction Base:
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))

Induction Step:
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n8529_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8529_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5587_4)
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8529_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8529_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U21, active, U31, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 < active
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
U21 < proper
U21 < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n11752_4))) -> *3_4, rt in Omega(n11752_4)

Induction Base:
U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n11752_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n11752_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5587_4)
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8529_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8529_4)
U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n11752_4))) -> *3_4, rt in Omega(n11752_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U31, active, U41, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U31 < active
U41 < active
active < top
active < encArg
U31 < proper
U31 < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n13220_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n13220_4)

Induction Base:
U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))

Induction Step:
U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n13220_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n13220_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(28)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5587_4)
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8529_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8529_4)
U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n11752_4))) -> *3_4, rt in Omega(n11752_4)
U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n13220_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n13220_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
U41, active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
U41 < active
active < top
active < encArg
U41 < proper
U41 < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n16957_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n16957_4)

Induction Base:
U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c))

Induction Step:
U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, +(n16957_4, 1))), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1)
mark(U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n16957_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(30)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(U11(tt, V2)) -> mark(U12(isNat(V2)))
active(U12(tt)) -> mark(tt)
active(U21(tt)) -> mark(tt)
active(U31(tt, N)) -> mark(N)
active(U41(tt, M, N)) -> mark(U42(isNat(N), M, N))
active(U42(tt, M, N)) -> mark(s(plus(N, M)))
active(isNat(0')) -> mark(tt)
active(isNat(plus(V1, V2))) -> mark(U11(isNat(V1), V2))
active(isNat(s(V1))) -> mark(U21(isNat(V1)))
active(plus(N, 0')) -> mark(U31(isNat(N), N))
active(plus(N, s(M))) -> mark(U41(isNat(M), M, N))
active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) -> U12(active(X))
active(U21(X)) -> U21(active(X))
active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2)
active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2, X3)) -> U42(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) -> s(active(X))
active(plus(X1, X2)) -> plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) -> plus(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) -> mark(U12(X))
U21(mark(X)) -> mark(U21(X))
U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2))
U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2, X3) -> mark(U42(X1, X2, X3))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) -> mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) -> mark(plus(X1, X2))
proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) -> ok(tt)
proper(U12(X)) -> U12(proper(X))
proper(isNat(X)) -> isNat(proper(X))
proper(U21(X)) -> U21(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2, X3)) -> U42(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) -> plus(proper(X1), proper(X2))
proper(0') -> ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) -> ok(U12(X))
isNat(ok(X)) -> ok(isNat(X))
U21(ok(X)) -> ok(U21(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U42(X1, X2, X3))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) -> ok(plus(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(tt) -> tt
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U12(x_1)) -> U12(encArg(x_1))
encArg(cons_U21(x_1)) -> U21(encArg(x_1))
encArg(cons_U31(x_1, x_2)) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_U41(x_1, x_2, x_3)) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_U42(x_1, x_2, x_3)) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_isNat(x_1)) -> isNat(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_tt -> tt
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_U12(x_1) -> U12(encArg(x_1))
encode_isNat(x_1) -> isNat(encArg(x_1))
encode_U21(x_1) -> U21(encArg(x_1))
encode_U31(x_1, x_2) -> U31(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_U41(x_1, x_2, x_3) -> U41(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_U42(x_1, x_2, x_3) -> U42(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
0' :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encArg :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
cons_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_active :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U11 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_tt :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_mark :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U12 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_isNat :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U21 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U31 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U41 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_U42 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_s :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_plus :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_0 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_proper :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_ok :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
encode_top :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
hole_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top1_4 :: tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4 :: Nat -> tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top


Lemmas:
U12(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
U42(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n778_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n778_4)
s(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n4520_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4520_4)
plus(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n5587_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n5587_4)
U11(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n8529_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n8529_4)
U21(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n11752_4))) -> *3_4, rt in Omega(n11752_4)
U31(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n13220_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n13220_4)
U41(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(1, n16957_4)), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(b), gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n16957_4)


Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0) <=> tt
gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
active < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(n3343949_4)) -> gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(n3343949_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(0)) ->_R^Omega(0)
tt

Induction Step:
encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(+(n3343949_4, 1))) ->_R^Omega(0)
mark(encArg(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(n3343949_4))) ->_IH
mark(gen_tt:mark:0':ok:cons_active:cons_U11:cons_U12:cons_U21:cons_U31:cons_U41:cons_U42:cons_s:cons_plus:cons_proper:cons_isNat:cons_top2_4(c3343950_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(32)
BOUNDS(1, INF)