/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(?, O(1)) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, 1). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 159 ms] (4) CpxRelTRS (5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (6) CdtProblem (7) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) CdtProblem (9) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1 ms] (10) CdtProblem (11) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (12) CdtProblem (13) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (14) CdtProblem (15) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (16) CdtProblem (17) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (18) CdtProblem (19) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (20) CdtProblem (21) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (22) CdtProblem (23) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (24) CdtProblem (25) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) CdtProblem (27) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (28) CdtProblem (29) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1 ms] (30) CdtProblem (31) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (32) CdtProblem (33) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (34) CdtProblem (35) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (36) CdtProblem (37) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (38) CdtProblem (39) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (40) CdtProblem (41) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (42) CdtProblem (43) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (44) CdtProblem (45) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (46) CdtProblem (47) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (48) CdtProblem (49) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (52) CdtProblem (53) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (54) CdtProblem (55) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (56) CdtProblem (57) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (62) CdtProblem (63) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (64) CdtProblem (65) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) BOUNDS(1, 1) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, 1). The TRS R consists of the following rules: f(a, f(b, f(a, x))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, x)))) f(b, f(b, f(b, x))) -> f(b, f(b, x)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a -> a encode_b -> b ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, 1). The TRS R consists of the following rules: f(a, f(b, f(a, x))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, x)))) f(b, f(b, f(b, x))) -> f(b, f(b, x)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a -> a encode_b -> b Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, 1). The TRS R consists of the following rules: f(a, f(b, f(a, x))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, x)))) f(b, f(b, f(b, x))) -> f(b, f(b, x)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(x_1, x_2)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f(x_1, x_2) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a -> a encode_b -> b Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (6) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_a -> a encode_b -> b f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(a) -> c ENCARG(b) -> c1 ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_F(z0, z1) -> c3(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_A -> c4 ENCODE_B -> c5 F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, f(b, f(b, f(a, z0)))), F(b, f(b, f(a, z0))), F(b, f(a, z0)), F(a, z0)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) S tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, f(b, f(b, f(a, z0)))), F(b, f(b, f(a, z0))), F(b, f(a, z0)), F(a, z0)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_2, encArg_1, encode_f_2, encode_a, encode_b Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_F_2, ENCODE_A, ENCODE_B, F_2 Compound Symbols: c, c1, c2_3, c3_3, c4, c5, c6_4, c7_2 ---------------------------------------- (7) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing nodes: ENCODE_B -> c5 ENCODE_A -> c4 ENCARG(a) -> c ENCARG(b) -> c1 ---------------------------------------- (8) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_a -> a encode_b -> b f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_F(z0, z1) -> c3(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, f(b, f(b, f(a, z0)))), F(b, f(b, f(a, z0))), F(b, f(a, z0)), F(a, z0)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) S tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, f(b, f(b, f(a, z0)))), F(b, f(b, f(a, z0))), F(b, f(a, z0)), F(a, z0)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_2, encArg_1, encode_f_2, encode_a, encode_b Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_F_2, F_2 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c6_4, c7_2 ---------------------------------------- (9) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 3 trailing tuple parts ---------------------------------------- (10) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_a -> a encode_b -> b f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_F(z0, z1) -> c3(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_2, encArg_1, encode_f_2, encode_a, encode_b Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_F_2, F_2 Compound Symbols: c2_3, c3_3, c7_2, c6_1 ---------------------------------------- (11) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (12) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_a -> a encode_b -> b f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_2, encArg_1, encode_f_2, encode_a, encode_b Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c2_3, c7_2, c6_1, c_1 ---------------------------------------- (13) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ---------------------------------------- (14) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_a -> a encode_b -> b f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: f_2, encArg_1, encode_f_2, encode_a, encode_b Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c2_3, c7_2, c6_1, c_1 ---------------------------------------- (15) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_f(z0, z1) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) encode_a -> a encode_b -> b ---------------------------------------- (16) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, F_2, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c2_3, c7_2, c6_1, c_1 ---------------------------------------- (17) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(z0, z1)) -> c2(F(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(F(encArg(x0), a), ENCARG(x0), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(F(encArg(x0), b), ENCARG(x0), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(a), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(b), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) ---------------------------------------- (18) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(F(encArg(x0), a), ENCARG(x0), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(F(encArg(x0), b), ENCARG(x0), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(a), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(b), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCODE_F_2, ENCARG_1 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c_1, c2_3 ---------------------------------------- (19) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (20) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCODE_F_2, ENCARG_1 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c_1, c2_3, c2_1, c2_2 ---------------------------------------- (21) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(z0, z1) -> c(F(encArg(z0), encArg(z1))) by ENCODE_F(x0, a) -> c(F(encArg(x0), a)) ENCODE_F(x0, b) -> c(F(encArg(x0), b)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ---------------------------------------- (22) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, a) -> c(F(encArg(x0), a)) ENCODE_F(x0, b) -> c(F(encArg(x0), b)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_3, c2_1, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (23) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_F(x0, b) -> c(F(encArg(x0), b)) ENCODE_F(x0, a) -> c(F(encArg(x0), a)) ---------------------------------------- (24) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_3, c2_1, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (25) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(z0, z1))) by ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), a)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), b)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(a), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(b), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), a)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), b)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(a), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(b), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_3, c2_1, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (27) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing tuple parts ---------------------------------------- (28) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_3, c2_1, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (29) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(x1)) by ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), a), ENCARG(cons_f(x0, x1)), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), b), ENCARG(cons_f(x0, x1)), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), cons_f(z0, z1))) -> c2(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_f(x0, x1)), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), a), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), b), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ---------------------------------------- (30) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), a), ENCARG(cons_f(x0, x1)), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), b), ENCARG(cons_f(x0, x1)), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), a), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), b), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c2_2, c_1, c2_3 ---------------------------------------- (31) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c2_2, c_1, c2_3 ---------------------------------------- (33) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(a, x1)) -> c2(F(a, encArg(x1)), ENCARG(x1)) by ENCARG(cons_f(a, a)) -> c2(F(a, a), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(a, b)) -> c2(F(a, b), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(a, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(a, f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ---------------------------------------- (34) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(a, a)) -> c2(F(a, a), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(a, b)) -> c2(F(a, b), ENCARG(b)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c2_2, c_1, c2_3 ---------------------------------------- (35) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_f(a, a)) -> c2(F(a, a), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(a, b)) -> c2(F(a, b), ENCARG(b)) ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c2_2, c_1, c2_3 ---------------------------------------- (37) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_f(b, x1)) -> c2(F(b, encArg(x1)), ENCARG(x1)) by ENCARG(cons_f(b, a)) -> c2(F(b, a), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(b, b)) -> c2(F(b, b), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(b, cons_f(z0, z1))) -> c2(F(b, f(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_f(z0, z1))) ---------------------------------------- (38) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(b, a)) -> c2(F(b, a), ENCARG(a)) ENCARG(cons_f(b, b)) -> c2(F(b, b), ENCARG(b)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (39) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCARG(cons_f(b, b)) -> c2(F(b, b), ENCARG(b)) ENCARG(cons_f(b, a)) -> c2(F(b, a), ENCARG(a)) ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (41) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(x0, cons_f(z0, z1)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1)))) by ENCODE_F(x0, cons_f(x1, a)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), a))) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, b)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), b))) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, a)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), a))) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, b)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), b))) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (43) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_F(x0, cons_f(x1, b)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), b))) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, a)) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), a))) ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (45) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(a, x1) -> c(F(a, encArg(x1))) by ENCODE_F(a, a) -> c(F(a, a)) ENCODE_F(a, b) -> c(F(a, b)) ENCODE_F(a, cons_f(z0, z1)) -> c(F(a, f(encArg(z0), encArg(z1)))) ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, a) -> c(F(a, a)) ENCODE_F(a, b) -> c(F(a, b)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (47) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_F(a, b) -> c(F(a, b)) ENCODE_F(a, a) -> c(F(a, a)) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (49) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(b, x1) -> c(F(b, encArg(x1))) by ENCODE_F(b, a) -> c(F(b, a)) ENCODE_F(b, b) -> c(F(b, b)) ENCODE_F(b, cons_f(z0, z1)) -> c(F(b, f(encArg(z0), encArg(z1)))) ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, a) -> c(F(b, a)) ENCODE_F(b, b) -> c(F(b, b)) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (51) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: ENCODE_F(b, a) -> c(F(b, a)) ENCODE_F(b, b) -> c(F(b, b)) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (53) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_F(cons_f(z0, z1), x1) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) by ENCODE_F(cons_f(x0, x1), a) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), a)) ENCODE_F(cons_f(x0, x1), b) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), b)) ENCODE_F(cons_f(x0, x1), cons_f(z0, z1)) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), f(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_F(cons_f(x0, a), x2) -> c(F(f(encArg(x0), a), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(x0, b), x2) -> c(F(f(encArg(x0), b), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(x0, x1), a) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), a)) ENCODE_F(cons_f(x0, x1), b) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), b)) ENCODE_F(cons_f(x0, a), x2) -> c(F(f(encArg(x0), a), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(x0, b), x2) -> c(F(f(encArg(x0), b), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c2_3, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (55) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing nodes: ENCODE_F(cons_f(x0, x1), a) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), a)) ENCODE_F(cons_f(x0, a), x2) -> c(F(f(encArg(x0), a), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(x0, x1), b) -> c(F(f(encArg(x0), encArg(x1)), b)) ENCODE_F(cons_f(x0, b), x2) -> c(F(f(encArg(x0), b), encArg(x2))) ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) S tuples: F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c7_2, c6_1, c2_1, c2_3, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (57) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace F(b, f(b, f(b, z0))) -> c7(F(b, f(b, z0)), F(b, z0)) by F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))) -> c7(F(b, f(b, f(b, y0))), F(b, f(b, y0))) F(b, f(b, f(b, f(b, f(b, y0))))) -> c7(F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))), F(b, f(b, f(b, y0)))) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))) -> c7(F(b, f(b, f(b, y0))), F(b, f(b, y0))) F(b, f(b, f(b, f(b, f(b, y0))))) -> c7(F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))), F(b, f(b, f(b, y0)))) S tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))) -> c7(F(b, f(b, f(b, y0))), F(b, f(b, y0))) F(b, f(b, f(b, f(b, f(b, y0))))) -> c7(F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))), F(b, f(b, f(b, y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c6_1, c2_1, c2_3, c2_2, c_1, c7_2 ---------------------------------------- (59) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 3 trailing nodes: ENCODE_F(b, cons_f(x1, x2)) -> c(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2)))) F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))) -> c7(F(b, f(b, f(b, y0))), F(b, f(b, y0))) F(b, f(b, f(b, f(b, f(b, y0))))) -> c7(F(b, f(b, f(b, f(b, y0)))), F(b, f(b, f(b, y0)))) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(b, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) S tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c6_1, c2_1, c2_3, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(ENCARG(cons_f(x1, x2))) S tuples: F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: F_2, ENCARG_1, ENCODE_F_2 Compound Symbols: c6_1, c2_1, c2_3, c2_2, c_1 ---------------------------------------- (63) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace F(a, f(b, f(a, z0))) -> c6(F(a, z0)) by F(a, f(b, f(a, f(b, f(a, y0))))) -> c6(F(a, f(b, f(a, y0)))) ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(ENCARG(cons_f(x1, x2))) F(a, f(b, f(a, f(b, f(a, y0))))) -> c6(F(a, f(b, f(a, y0)))) S tuples: F(a, f(b, f(a, f(b, f(a, y0))))) -> c6(F(a, f(b, f(a, y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_F_2, F_2 Compound Symbols: c2_1, c2_3, c2_2, c_1, c6_1 ---------------------------------------- (65) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 11 trailing nodes: ENCODE_F(cons_f(b, x1), x2) -> c(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(x0, cons_f(b, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2)))) F(a, f(b, f(a, f(b, f(a, y0))))) -> c6(F(a, f(b, f(a, y0)))) ENCODE_F(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1))) -> c(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_F(x0, cons_f(a, x2)) -> c(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2) -> c(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(a, cons_f(x1, x2)) -> c(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2)) -> c(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_F(cons_f(a, x1), x2) -> c(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_F(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2) -> c(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_F(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2)) -> c(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(a) -> a encArg(b) -> b encArg(cons_f(z0, z1)) -> f(encArg(z0), encArg(z1)) f(a, f(b, f(a, z0))) -> f(a, f(b, f(b, f(a, z0)))) f(b, f(b, f(b, z0))) -> f(b, f(b, z0)) Tuples: ENCARG(cons_f(x0, a)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, b)) -> c2(ENCARG(x0)) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) -> c2(F(encArg(x0), f(encArg(x1), f(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, cons_f(z0, z1)))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(a, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(a, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(a, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(b, x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(b, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(b, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) -> c2(F(encArg(x0), f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), cons_f(x1, x2))) -> c2(F(f(encArg(z0), encArg(z1)), f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(z0, z1)), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, a))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, a))) ENCARG(cons_f(x0, cons_f(x1, b))) -> c2(ENCARG(x0), ENCARG(cons_f(x1, b))) ENCARG(cons_f(a, cons_f(x1, x2))) -> c2(F(a, f(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_f(x1, x2))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, cons_f(z0, z1)), x2)) -> c2(F(f(encArg(x0), f(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(x0, cons_f(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(a, x1), x2)) -> c2(F(f(a, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(a, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(b, x1), x2)) -> c2(F(f(b, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(b, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(cons_f(z0, z1), x1), x2)) -> c2(F(f(f(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_f(cons_f(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), a)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, x1), b)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, x1))) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, a), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, a)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(cons_f(x0, b), x2)) -> c2(ENCARG(cons_f(x0, b)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_f(b, cons_f(x1, x2))) -> c2(ENCARG(cons_f(x1, x2))) S tuples:none K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, f_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1 Compound Symbols: c2_1, c2_3, c2_2 ---------------------------------------- (67) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The set S is empty ---------------------------------------- (68) BOUNDS(1, 1)