/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 267 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 535 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 106 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 153 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 729 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), x, p(y)) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0, x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0) -> 0 p(s(x)) -> x S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), x, p(y)) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0, x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0) -> 0 p(s(x)) -> x The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0), x, p(y)) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0, x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0) -> 0 p(s(x)) -> x The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p 0' :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encArg :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p hole_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p1_4 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: cond1, cond2, gr, add, cond3, eq, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 gr < cond1 cond1 = cond3 cond1 < encArg gr < cond2 add < cond2 cond2 = cond3 eq < cond2 cond2 < encArg gr < cond3 gr < encArg add < cond3 add < encArg cond3 < encArg eq < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p 0' :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encArg :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p hole_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p1_4 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gr, cond1, cond2, add, cond3, eq, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 gr < cond1 cond1 = cond3 cond1 < encArg gr < cond2 add < cond2 cond2 = cond3 eq < cond2 cond2 < encArg gr < cond3 gr < encArg add < cond3 add < encArg cond3 < encArg eq < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, 0)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, 0))) Induction Step: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p 0' :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encArg :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p hole_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p1_4 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gr, cond1, cond2, add, cond3, eq, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 gr < cond1 cond1 = cond3 cond1 < encArg gr < cond2 add < cond2 cond2 = cond3 eq < cond2 cond2 < encArg gr < cond3 gr < encArg add < cond3 add < encArg cond3 < encArg eq < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p 0' :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encArg :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p hole_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p1_4 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p Lemmas: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: add, cond1, cond2, cond3, eq, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 cond1 = cond3 cond1 < encArg add < cond2 cond2 = cond3 eq < cond2 cond2 < encArg add < cond3 add < encArg cond3 < encArg eq < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: add(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n1386_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1386_4) Induction Base: add(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, 0)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(b)) Induction Step: add(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, +(n1386_4, 1))), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(b)) ->_R^Omega(1) s(add(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n1386_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(b))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p 0' :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encArg :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p hole_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p1_4 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p Lemmas: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) add(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n1386_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1386_4) Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, cond1, cond2, cond3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 cond1 = cond3 cond1 < encArg cond2 = cond3 eq < cond2 cond2 < encArg cond3 < encArg eq < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: eq(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n2742_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n2742_4))) -> *3_4, rt in Omega(n2742_4) Induction Base: eq(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, 0)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, 0))) Induction Step: eq(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, +(n2742_4, 1))), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, +(n2742_4, 1)))) ->_R^Omega(1) eq(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n2742_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n2742_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y) cond2(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond2(false, x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y) cond3(true, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), p(x), y) cond3(false, x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0'), x, p(y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond3(x_1, x_2, x_3)) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_cond3(x_1, x_2, x_3) -> cond3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p 0' :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encArg :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p cons_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond1 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_true :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond2 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_add :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_p :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_false :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_cond3 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_eq :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p encode_s :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p hole_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p1_4 :: true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p Lemmas: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) add(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n1386_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1386_4) eq(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n2742_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(1, n2742_4))) -> *3_4, rt in Omega(n2742_4) Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cond2, cond1, cond3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 cond1 = cond3 cond1 < encArg cond2 = cond3 cond2 < encArg cond3 < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(n9407_4)) -> gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(n9407_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(+(n9407_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(n9407_4))) ->_IH s(gen_true:0':false:s:cons_cond1:cons_cond2:cons_cond3:cons_gr:cons_add:cons_eq:cons_p2_4(c9408_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)