/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 310 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 468 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 189 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0) -> 0 p(s(x)) -> x S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0) -> 0 p(s(x)) -> x The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0) -> 0 p(s(x)) -> x The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p 0' :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encArg :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_0 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p hole_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p1_5 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5 :: Nat -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: cond1, cond2, gr, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 gr < cond1 cond1 < encArg gr < cond2 cond2 < encArg gr < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p 0' :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encArg :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_0 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p hole_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p1_5 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5 :: Nat -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p Generator Equations: gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(0) <=> true gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gr, cond1, cond2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 gr < cond1 cond1 < encArg gr < cond2 cond2 < encArg gr < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: gr(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, n4_5)), gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, n4_5))) -> *3_5, rt in Omega(n4_5) Induction Base: gr(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, 0)), gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, 0))) Induction Step: gr(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, +(n4_5, 1))), gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, +(n4_5, 1)))) ->_R^Omega(1) gr(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, n4_5)), gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, n4_5))) ->_IH *3_5 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p 0' :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encArg :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_0 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p hole_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p1_5 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5 :: Nat -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p Generator Equations: gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(0) <=> true gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gr, cond1, cond2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 gr < cond1 cond1 < encArg gr < cond2 cond2 < encArg gr < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond1(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, y, z) cond2(true, x, y, z) -> cond2(gr(y, z), x, p(y), z) cond2(false, x, y, z) -> cond1(gr(x, z), p(x), y, z) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) p(0') -> 0' p(s(x)) -> x encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encode_cond1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_true -> true encode_cond2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p 0' :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encArg :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p cons_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond1 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_true :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_cond2 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_gr :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_p :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_false :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_0 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p encode_s :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p hole_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p1_5 :: true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5 :: Nat -> true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p Lemmas: gr(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, n4_5)), gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(1, n4_5))) -> *3_5, rt in Omega(n4_5) Generator Equations: gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(0) <=> true gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cond2, cond1, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond1 = cond2 cond1 < encArg cond2 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(n3447_5)) -> gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(n3447_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(+(n3447_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(n3447_5))) ->_IH s(gen_true:false:0':s:cons_cond1:cons_cond2:cons_gr:cons_p2_5(c3448_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)