/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 247 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 482 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 793 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0 length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0) -> true ge(0, s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0 length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0) -> true ge(0, s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0 length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0) -> true ge(0, s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0' length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0' length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Types: nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge 0' :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encArg :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_0 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge hole_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge1_4 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4 :: Nat -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: nthtail, cond, ge, length, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: nthtail = cond ge < nthtail length < nthtail nthtail < encArg cond < encArg ge < encArg length < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0' length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Types: nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge 0' :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encArg :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_0 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge hole_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge1_4 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4 :: Nat -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge Generator Equations: gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(0) <=> true gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, nthtail, cond, length, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: nthtail = cond ge < nthtail length < nthtail nthtail < encArg cond < encArg ge < encArg length < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: ge(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, n4_4)), gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: ge(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, 0)), gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, 0))) Induction Step: ge(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) ge(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, n4_4)), gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, n4_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0' length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Types: nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge 0' :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encArg :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_0 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge hole_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge1_4 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4 :: Nat -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge Generator Equations: gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(0) <=> true gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, nthtail, cond, length, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: nthtail = cond ge < nthtail length < nthtail nthtail < encArg cond < encArg ge < encArg length < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: nthtail(n, l) -> cond(ge(n, length(l)), n, l) cond(true, n, l) -> l cond(false, n, l) -> tail(nthtail(s(n), l)) tail(nil) -> nil tail(cons(x, l)) -> l length(nil) -> 0' length(cons(x, l)) -> s(length(l)) ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(cons_nthtail(x_1, x_2)) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nthtail(x_1, x_2) -> nthtail(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' Types: nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge 0' :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encArg :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge cons_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nthtail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cond :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_ge :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_length :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_true :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_false :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_tail :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_s :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_nil :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_cons :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge encode_0 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge hole_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge1_4 :: true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4 :: Nat -> true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge Lemmas: ge(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, n4_4)), gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(0) <=> true gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: length, nthtail, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: nthtail = cond length < nthtail nthtail < encArg cond < encArg length < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(n1437_4)) -> gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(n1437_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(+(n1437_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(n1437_4))) ->_IH s(gen_true:false:s:nil:cons:0':cons_nthtail:cons_cond:cons_tail:cons_length:cons_ge2_4(c1438_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)