/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 342 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 543 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 96 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 95 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 228 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0)))), plus(s(0), x), double(y)) gt(0, v) -> false gt(s(u), 0) -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0)))), plus(s(0), x), double(y)) gt(0, v) -> false gt(s(u), 0) -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0)))), plus(s(0), x), double(y)) gt(0, v) -> false gt(s(u), 0) -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double 0' :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encArg :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_0 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double hole_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double1_4 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4 :: Nat -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: f, gt, plus, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gt < f plus < f double < f f < encArg gt < encArg plus < encArg double < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double 0' :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encArg :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_0 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double hole_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double1_4 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4 :: Nat -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double Generator Equations: gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(0) <=> true gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gt, f, plus, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gt < f plus < f double < f f < encArg gt < encArg plus < encArg double < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, 0)), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, 0))) Induction Step: gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double 0' :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encArg :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_0 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double hole_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double1_4 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4 :: Nat -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double Generator Equations: gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(0) <=> true gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gt, f, plus, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gt < f plus < f double < f f < encArg gt < encArg plus < encArg double < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double 0' :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encArg :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_0 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double hole_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double1_4 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4 :: Nat -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double Lemmas: gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(0) <=> true gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, f, double, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < f double < f f < encArg plus < encArg double < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(a), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n1266_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1266_4) Induction Base: plus(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(a), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, 0))) Induction Step: plus(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(a), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, +(n1266_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(a), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n1266_4)))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double 0' :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encArg :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_0 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double hole_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double1_4 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4 :: Nat -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double Lemmas: gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(a), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n1266_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1266_4) Generator Equations: gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(0) <=> true gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: double, f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: double < f f < encArg double < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: double(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n2422_4))) -> *3_4, rt in Omega(n2422_4) Induction Base: double(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, 0))) Induction Step: double(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, +(n2422_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(s(double(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n2422_4))))) ->_IH s(s(*3_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: f(true, x, y) -> f(and(gt(x, y), gt(y, s(s(0')))), plus(s(0'), x), double(y)) gt(0', v) -> false gt(s(u), 0') -> true gt(s(u), s(v)) -> gt(u, v) and(x, true) -> x and(x, false) -> false plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gt(x_1, x_2)) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gt(x_1, x_2) -> gt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_false -> false Types: f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double 0' :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encArg :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double cons_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_f :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_true :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_and :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_gt :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_s :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_0 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_plus :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_double :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double encode_false :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double hole_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double1_4 :: true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4 :: Nat -> true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double Lemmas: gt(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) plus(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(a), gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n1266_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1266_4) double(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(1, n2422_4))) -> *3_4, rt in Omega(n2422_4) Generator Equations: gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(0) <=> true gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: f < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(n4679_4)) -> gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(n4679_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(+(n4679_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(n4679_4))) ->_IH s(gen_true:0':s:false:cons_f:cons_gt:cons_and:cons_plus:cons_double2_4(c4680_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)