/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 269 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 275 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 61 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 927 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0) d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0 ge(u, 0) -> true ge(0, s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0) d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0 ge(u, 0) -> true ge(0, s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0) d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0 ge(u, 0) -> true ge(0, s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0') d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0' ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0') d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0' ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Types: div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus 0' :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encArg :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_0 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus hole_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus1_5 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5 :: Nat -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: d, cond, ge, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: d = cond ge < d d < encArg plus < cond cond < encArg ge < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0') d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0' ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Types: div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus 0' :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encArg :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_0 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus hole_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus1_5 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5 :: Nat -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, d, cond, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: d = cond ge < d d < encArg plus < cond cond < encArg ge < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: ge(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: ge(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: ge(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(n4_5, 1)), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1) ge(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0') d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0' ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Types: div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus 0' :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encArg :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_0 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus hole_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus1_5 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5 :: Nat -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, d, cond, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: d = cond ge < d d < encArg plus < cond cond < encArg ge < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0') d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0' ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Types: div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus 0' :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encArg :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_0 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus hole_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus1_5 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5 :: Nat -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus Lemmas: ge(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, d, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: d = cond d < encArg plus < cond cond < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(a), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n514_5)) -> gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(n514_5, a)), rt in Omega(1 + n514_5) Induction Base: plus(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(a), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0)) ->_R^Omega(1) gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(a) Induction Step: plus(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(a), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(n514_5, 1))) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(a), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n514_5))) ->_IH s(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(a, c515_5))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: div(x, s(y)) -> d(x, s(y), 0') d(x, s(y), z) -> cond(ge(x, z), x, y, z) cond(true, x, y, z) -> s(d(x, s(y), plus(s(y), z))) cond(false, x, y, z) -> 0' ge(u, 0') -> true ge(0', s(v)) -> false ge(s(u), s(v)) -> ge(u, v) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_d(x_1, x_2, x_3)) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_d(x_1, x_2, x_3) -> d(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0' encode_cond(x_1, x_2, x_3, x_4) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false Types: div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus 0' :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encArg :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus cons_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_div :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_s :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_d :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_0 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_cond :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_ge :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_true :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_plus :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus encode_false :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus hole_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus1_5 :: s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5 :: Nat -> s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus Lemmas: ge(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) plus(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(a), gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n514_5)) -> gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(n514_5, a)), rt in Omega(1 + n514_5) Generator Equations: gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0) <=> 0' gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cond, d, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: d = cond d < encArg cond < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n2826_5)) -> gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n2826_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(+(n2826_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(n2826_5))) ->_IH s(gen_s:0':true:false:cons_div:cons_d:cons_cond:cons_ge:cons_plus2_5(c2827_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)