/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 344 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 305 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 49 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1254 ms]
        (20) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   double(0) -> 0
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   first(nil) -> 0
   first(cons(x, xs)) -> x
   doublelist(nil) -> nil
   doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
   encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
   encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   double(0) -> 0
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   first(nil) -> 0
   first(cons(x, xs)) -> x
   doublelist(nil) -> nil
   doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
   encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
   encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   double(0) -> 0
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   first(nil) -> 0
   first(cons(x, xs)) -> x
   doublelist(nil) -> nil
   doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
   encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
   encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   double(0') -> 0'
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0', 0') -> true
   eq(0', s(y)) -> false
   eq(s(x), 0') -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   first(nil) -> 0'
   first(cons(x, xs)) -> x
   doublelist(nil) -> nil
   doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
   encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
   encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
first(nil) -> 0'
first(cons(x, xs)) -> x
doublelist(nil) -> nil
doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Types:
double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist1_5 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
double, del, if, eq, doublelist, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
double < doublelist
double < encArg
del = if
eq < del
del < doublelist
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
doublelist < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
first(nil) -> 0'
first(cons(x, xs)) -> x
doublelist(nil) -> nil
doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Types:
double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist1_5 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
double, del, if, eq, doublelist, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
double < doublelist
double < encArg
del = if
eq < del
del < doublelist
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
doublelist < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
double(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n4_5)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(*(2, n4_5)), rt in Omega(1 + n4_5)

Induction Base:
double(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
double(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1)
s(s(double(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n4_5)))) ->_IH
s(s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(*(2, c5_5))))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
first(nil) -> 0'
first(cons(x, xs)) -> x
doublelist(nil) -> nil
doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Types:
double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist1_5 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
double, del, if, eq, doublelist, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
double < doublelist
double < encArg
del = if
eq < del
del < doublelist
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
doublelist < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
first(nil) -> 0'
first(cons(x, xs)) -> x
doublelist(nil) -> nil
doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Types:
double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist1_5 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist


Lemmas:
double(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n4_5)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(*(2, n4_5)), rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, del, if, doublelist, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
del = if
eq < del
del < doublelist
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
doublelist < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n512_5), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n512_5)) -> true, rt in Omega(1 + n512_5)

Induction Base:
eq(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(n512_5, 1)), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(n512_5, 1))) ->_R^Omega(1)
eq(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n512_5), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n512_5)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
first(nil) -> 0'
first(cons(x, xs)) -> x
doublelist(nil) -> nil
doublelist(cons(x, xs)) -> cons(double(x), doublelist(del(first(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_first(x_1)) -> first(encArg(x_1))
encArg(cons_doublelist(x_1)) -> doublelist(encArg(x_1))
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_first(x_1) -> first(encArg(x_1))
encode_doublelist(x_1) -> doublelist(encArg(x_1))

Types:
double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
0' :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encArg :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
cons_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_double :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_0 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_s :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_del :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_nil :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_cons :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_if :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_eq :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_true :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_false :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_first :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
encode_doublelist :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
hole_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist1_5 :: 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5 :: Nat -> 0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist


Lemmas:
double(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n4_5)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(*(2, n4_5)), rt in Omega(1 + n4_5)
eq(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n512_5), gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n512_5)) -> true, rt in Omega(1 + n512_5)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, del, doublelist, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
del = if
del < doublelist
del < encArg
if < encArg
doublelist < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n1405_5)) -> gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n1405_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(+(n1405_5, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(n1405_5))) ->_IH
s(gen_0':s:nil:cons:true:false:cons_double:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_first:cons_doublelist2_5(c1406_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(20)
BOUNDS(1, INF)