/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 195 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 294 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 72 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 43 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 52 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0) -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0, 0) -> x gcd(0, y, 0) -> y gcd(0, 0, z) -> z S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0) -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0, 0) -> x gcd(0, y, 0) -> y gcd(0, 0, z) -> z The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0) -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0, 0) -> x gcd(0, y, 0) -> y gcd(0, 0, z) -> z The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd - :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd1_4 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: min, max, -, gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < gcd min < encArg max < gcd max < encArg - < gcd - < encArg gcd < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd - :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd1_4 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: min, max, -, gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < gcd min < encArg max < gcd max < encArg - < gcd - < encArg gcd < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) Induction Base: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n4_4, 1)), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1) s(min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(c5_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd - :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd1_4 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: min, max, -, gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: min < gcd min < encArg max < gcd max < encArg - < gcd - < encArg gcd < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd - :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd1_4 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: max, -, gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: max < gcd max < encArg - < gcd - < encArg gcd < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), rt in Omega(1 + n587_4) Induction Base: max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) Induction Step: max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n587_4, 1)), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n587_4, 1))) ->_R^Omega(1) s(max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(c588_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd - :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd1_4 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), rt in Omega(1 + n587_4) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: -, gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: - < gcd - < encArg gcd < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: -(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n1332_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n1332_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0), rt in Omega(1 + n1332_4) Induction Base: -(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) Induction Step: -(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n1332_4, 1)), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n1332_4, 1))) ->_R^Omega(1) -(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n1332_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n1332_4)) ->_IH gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) -(x, 0') -> x -(s(x), s(y)) -> -(x, y) gcd(s(x), s(y), z) -> gcd(-(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y)), z) gcd(x, s(y), s(z)) -> gcd(x, -(max(y, z), min(y, z)), s(min(y, z))) gcd(s(x), y, s(z)) -> gcd(-(max(x, z), min(x, z)), y, s(min(x, z))) gcd(x, 0', 0') -> x gcd(0', y, 0') -> y gcd(0', 0', z) -> z encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_min(x_1, x_2)) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_max(x_1, x_2)) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_min(x_1, x_2) -> min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_max(x_1, x_2) -> max(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gcd(x_1, x_2, x_3) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd 0' :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd - :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encArg :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd cons_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_min :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_0 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_s :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_max :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_- :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd encode_gcd :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd hole_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd1_4 :: 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4 :: Nat -> 0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd Lemmas: min(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n4_4), rt in Omega(1 + n4_4) max(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n587_4), rt in Omega(1 + n587_4) -(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n1332_4), gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n1332_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0), rt in Omega(1 + n1332_4) Generator Equations: gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0) <=> 0' gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gcd, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gcd < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n2300_4)) -> gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n2300_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(+(n2300_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(n2300_4))) ->_IH s(gen_0':s:cons_min:cons_max:cons_-:cons_gcd2_4(c2301_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)