/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 568 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1030 ms]
        (14) BEST
            (15) proven lower bound
                (16) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (17) BOUNDS(n^2, INF)
            (18) typed CpxTrs
                (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 309 ms]
                (20) typed CpxTrs
                (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 41 ms]
                (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 393 ms]
                (24) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__plus(N, 0) -> mark(N)
   a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__x(N, 0) -> 0
   a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
   mark(tt) -> tt
   mark(0) -> 0
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__and(tt, X) -> mark(X)
   a__plus(N, 0') -> mark(N)
   a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
   a__x(N, 0') -> 0'
   a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
   mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
   mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
   mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
   mark(tt) -> tt
   mark(0') -> 0'
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
   a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
   a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark, a__plus, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(6)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, mark, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt in Omega(1 + n11447_0)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0)) ->_R^Omega(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(n11447_0, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0))) ->_IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(c11448_0))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt in Omega(1 + n11447_0)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__x, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12608_0 + n12608_0 + n12608_0^2)

Induction Base:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, +(n12608_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
a__plus(a__x(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_L^Omega(1 + a)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_L^Omega(2 + n12608_0)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_IH
a__plus(*3_0, mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_L^Omega(1 + a)
a__plus(*3_0, gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(14)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(15)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt in Omega(1 + n11447_0)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__x, a__plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(16) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(17)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt in Omega(1 + n11447_0)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12608_0 + n12608_0 + n12608_0^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n17144_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n17144_0 + n17144_0 + n17144_0^2)

Induction Base:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, +(n17144_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
s(a__plus(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n17144_0))))) ->_L^Omega(1 + a)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n17144_0))))) ->_L^Omega(2 + n17144_0)
s(a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n17144_0)))) ->_IH
s(*3_0)

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n11447_0), rt in Omega(1 + n11447_0)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12608_0 + n12608_0 + n12608_0^2)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n17144_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n17144_0 + n17144_0 + n17144_0^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n19317_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n19317_0), rt in Omega(1 + n19317_0)

Induction Base:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0)) ->_R^Omega(1)
tt

Induction Step:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(n19317_0, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n19317_0))) ->_IH
s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(c19318_0))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__and(tt, X) -> mark(X)
a__plus(N, 0') -> mark(N)
a__plus(N, s(M)) -> s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__x(N, 0') -> 0'
a__x(N, s(M)) -> a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
mark(and(X1, X2)) -> a__and(mark(X1), X2)
mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(x(X1, X2)) -> a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) -> tt
mark(0') -> 0'
mark(s(X)) -> s(mark(X))
a__and(X1, X2) -> and(X1, X2)
a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2)
a__x(X1, X2) -> x(X1, X2)

Types:
a__and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
tt :: tt:0':s:and:plus:x
mark :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
0' :: tt:0':s:and:plus:x
s :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
a__x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
and :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
plus :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
x :: tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x -> tt:0':s:and:plus:x
hole_tt:0':s:and:plus:x1_0 :: tt:0':s:and:plus:x
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0 :: Nat -> tt:0':s:and:plus:x


Lemmas:
mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n19317_0)) -> gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(n19317_0), rt in Omega(1 + n19317_0)
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n12608_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12608_0 + n12608_0 + n12608_0^2)
a__plus(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n17144_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n17144_0 + n17144_0 + n17144_0^2)


Generator Equations:
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(0) <=> tt
gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__x

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__plus
mark = a__x
a__plus = a__x

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n20684_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n20684_0 + n20684_0 + n20684_0^2)

Induction Base:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, +(n20684_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
a__plus(a__x(mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a)), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n20684_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_L^Omega(1 + a)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n20684_0)))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_L^Omega(2 + n20684_0)
a__plus(a__x(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a), gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(+(1, n20684_0))), mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_IH
a__plus(*3_0, mark(gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))) ->_L^Omega(1 + a)
a__plus(*3_0, gen_tt:0':s:and:plus:x2_0(a))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(24)
BOUNDS(1, INF)