/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 311 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 156 ms]
        (14) BEST
            (15) proven lower bound
                (16) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (17) BOUNDS(n^2, INF)
            (18) typed CpxTrs
                (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 71 ms]
                (20) typed CpxTrs


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0), s(0)))
   a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__sel(0, cons(X, XS)) -> mark(X)
   a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
   mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
   mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
   mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
   a__fib(X) -> fib(X)
   a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
   a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
   a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
   a__add(0', X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
   a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
   mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
   mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
   mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0') -> 0'
   mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
   a__fib(X) -> fib(X)
   a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
   a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__fib, a__sel, mark, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

----------------------------------------

(6)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__sel, a__fib, mark, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0), rt in Omega(1 + n26_0)

Induction Base:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n26_0, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(c27_0))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__fib, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0), rt in Omega(1 + n26_0)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib, a__sel, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4941_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4941_0, b)), rt in Omega(1 + b + b*n4941_0 + n4941_0 + n4941_0^2)

Induction Base:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) ->_R^Omega(1)
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) ->_L^Omega(1 + b)
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)

Induction Step:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4941_0, 1)), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) ->_R^Omega(1)
s(a__add(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4941_0)), mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)))) ->_L^Omega(1 + n4941_0)
s(a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4941_0), mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)))) ->_L^Omega(1 + b)
s(a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4941_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(b, c4942_0)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(14)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(15)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0), rt in Omega(1 + n26_0)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__add, a__sel

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

----------------------------------------

(16) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(17)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n26_0), rt in Omega(1 + n26_0)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4941_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4941_0, b)), rt in Omega(1 + b + b*n4941_0 + n4941_0 + n4941_0^2)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__sel, a__fib, mark, a__fib1

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n6310_0)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n6310_0), rt in Omega(1 + n6310_0)

Induction Base:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n6310_0, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n6310_0))) ->_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(c6311_0))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fib(N) -> a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) -> cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) -> mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) -> a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) -> a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) -> a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) -> a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) -> fib(X)
a__sel(X1, X2) -> sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) -> fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat -> 0':s:add:fib1:cons:fib:sel


Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n6310_0)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n6310_0), rt in Omega(1 + n6310_0)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4941_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) -> gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4941_0, b)), rt in Omega(1 + b + b*n4941_0 + n4941_0 + n4941_0^2)


Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib, a__fib1

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add