/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) SlicingProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(4) CpxTRS
(5) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 254 ms]
(10) BEST
    (11) proven lower bound
        (12) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (13) BOUNDS(n^1, INF)
    (14) typed CpxTrs
        (15) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 65 ms]
        (16) typed CpxTrs


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
   if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
   averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
   ifIter(true, x, y, z) -> z
   ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0)))), plus(y, s(0)), plus(z, s(0)))
   append(nil, y) -> y
   append(cons(n, x), y) -> cons(n, app(x, y))
   low(n, nil) -> nil
   low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
   if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
   if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
   high(n, nil) -> nil
   high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
   if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
   if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
   quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
   ifquick(true, x) -> nil
   ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   isempty(nil) -> true
   isempty(cons(n, x)) -> false
   head(nil) -> error
   head(cons(n, x)) -> n
   tail(nil) -> nil
   tail(cons(n, x)) -> x
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   a -> b
   a -> c

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
   if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
   averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
   ifIter(true, x, y, z) -> z
   ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
   append(nil, y) -> y
   append(cons(n, x), y) -> cons(n, app(x, y))
   low(n, nil) -> nil
   low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
   if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
   if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
   high(n, nil) -> nil
   high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
   if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
   if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
   quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
   ifquick(true, x) -> nil
   ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
   plus(0', y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   isempty(nil) -> true
   isempty(cons(n, x)) -> false
   head(nil) -> error
   head(cons(n, x)) -> n
   tail(nil) -> nil
   tail(cons(n, x)) -> x
   ge(x, 0') -> true
   ge(0', s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   a -> b
   a -> c

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SlicingProof (LOWER BOUND(ID))
Sliced the following arguments:
app/0
app/1

----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
   if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
   if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
   averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
   ifIter(true, x, y, z) -> z
   ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
   append(nil, y) -> y
   append(cons(n, x), y) -> cons(n, app)
   low(n, nil) -> nil
   low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
   if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
   if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
   high(n, nil) -> nil
   high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
   if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
   if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
   quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
   ifquick(true, x) -> nil
   ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
   plus(0', y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   isempty(nil) -> true
   isempty(cons(n, x)) -> false
   head(nil) -> error
   head(cons(n, x)) -> n
   tail(nil) -> nil
   tail(cons(n, x)) -> x
   ge(x, 0') -> true
   ge(0', s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   a -> b
   a -> c

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
ifIter(true, x, y, z) -> z
ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
append(nil, y) -> y
append(cons(n, x), y) -> cons(n, app)
low(n, nil) -> nil
low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
ifquick(true, x) -> nil
ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
isempty(nil) -> true
isempty(cons(n, x)) -> false
head(nil) -> error
head(cons(n, x)) -> n
tail(nil) -> nil
tail(cons(n, x)) -> x
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
a -> b
a -> c

Types:
average :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ge :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
true :: true:false
averIter :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
false :: true:false
ifIter :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
plus :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
s :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
0' :: 0':s:nil:cons:app:error
append :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
nil :: 0':s:nil:cons:app:error
cons :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
app :: 0':s:nil:cons:app:error
low :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_low :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
high :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_high :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
quicksort :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ifquick :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
isempty :: 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
head :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
tail :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
error :: 0':s:nil:cons:app:error
a :: b:c
b :: b:c
c :: b:c
hole_0':s:nil:cons:app:error1_0 :: 0':s:nil:cons:app:error
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_b:c3_0 :: b:c
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0 :: Nat -> 0':s:nil:cons:app:error

----------------------------------------

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
ge, averIter, plus, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < averIter
ge < low
ge < high
plus < averIter
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
ifIter(true, x, y, z) -> z
ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
append(nil, y) -> y
append(cons(n, x), y) -> cons(n, app)
low(n, nil) -> nil
low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
ifquick(true, x) -> nil
ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
isempty(nil) -> true
isempty(cons(n, x)) -> false
head(nil) -> error
head(cons(n, x)) -> n
tail(nil) -> nil
tail(cons(n, x)) -> x
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
a -> b
a -> c

Types:
average :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ge :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
true :: true:false
averIter :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
false :: true:false
ifIter :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
plus :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
s :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
0' :: 0':s:nil:cons:app:error
append :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
nil :: 0':s:nil:cons:app:error
cons :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
app :: 0':s:nil:cons:app:error
low :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_low :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
high :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_high :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
quicksort :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ifquick :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
isempty :: 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
head :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
tail :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
error :: 0':s:nil:cons:app:error
a :: b:c
b :: b:c
c :: b:c
hole_0':s:nil:cons:app:error1_0 :: 0':s:nil:cons:app:error
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_b:c3_0 :: b:c
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0 :: Nat -> 0':s:nil:cons:app:error


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ge, averIter, plus, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < averIter
ge < low
ge < high
plus < averIter
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
ge(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0)) -> true, rt in Omega(1 + n6_0)

Induction Base:
ge(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
ge(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(n6_0, 1)), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(n6_0, 1))) ->_R^Omega(1)
ge(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(10)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(11)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
ifIter(true, x, y, z) -> z
ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
append(nil, y) -> y
append(cons(n, x), y) -> cons(n, app)
low(n, nil) -> nil
low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
ifquick(true, x) -> nil
ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
isempty(nil) -> true
isempty(cons(n, x)) -> false
head(nil) -> error
head(cons(n, x)) -> n
tail(nil) -> nil
tail(cons(n, x)) -> x
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
a -> b
a -> c

Types:
average :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ge :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
true :: true:false
averIter :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
false :: true:false
ifIter :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
plus :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
s :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
0' :: 0':s:nil:cons:app:error
append :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
nil :: 0':s:nil:cons:app:error
cons :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
app :: 0':s:nil:cons:app:error
low :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_low :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
high :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_high :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
quicksort :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ifquick :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
isempty :: 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
head :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
tail :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
error :: 0':s:nil:cons:app:error
a :: b:c
b :: b:c
c :: b:c
hole_0':s:nil:cons:app:error1_0 :: 0':s:nil:cons:app:error
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_b:c3_0 :: b:c
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0 :: Nat -> 0':s:nil:cons:app:error


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ge, averIter, plus, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < averIter
ge < low
ge < high
plus < averIter
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(12) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(13)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
ifIter(true, x, y, z) -> z
ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
append(nil, y) -> y
append(cons(n, x), y) -> cons(n, app)
low(n, nil) -> nil
low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
ifquick(true, x) -> nil
ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
isempty(nil) -> true
isempty(cons(n, x)) -> false
head(nil) -> error
head(cons(n, x)) -> n
tail(nil) -> nil
tail(cons(n, x)) -> x
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
a -> b
a -> c

Types:
average :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ge :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
true :: true:false
averIter :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
false :: true:false
ifIter :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
plus :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
s :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
0' :: 0':s:nil:cons:app:error
append :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
nil :: 0':s:nil:cons:app:error
cons :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
app :: 0':s:nil:cons:app:error
low :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_low :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
high :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_high :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
quicksort :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ifquick :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
isempty :: 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
head :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
tail :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
error :: 0':s:nil:cons:app:error
a :: b:c
b :: b:c
c :: b:c
hole_0':s:nil:cons:app:error1_0 :: 0':s:nil:cons:app:error
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_b:c3_0 :: b:c
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0 :: Nat -> 0':s:nil:cons:app:error


Lemmas:
ge(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0)) -> true, rt in Omega(1 + n6_0)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, averIter, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < averIter
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n534_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(b)) -> gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(n534_0, b)), rt in Omega(1 + n534_0)

Induction Base:
plus(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(b)

Induction Step:
plus(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(n534_0, 1)), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(b)) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n534_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(b))) ->_IH
s(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(b, c535_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
average(x, y) -> if(ge(x, y), x, y)
if(true, x, y) -> averIter(y, x, y)
if(false, x, y) -> averIter(x, y, x)
averIter(x, y, z) -> ifIter(ge(x, y), x, y, z)
ifIter(true, x, y, z) -> z
ifIter(false, x, y, z) -> averIter(plus(x, s(s(s(0')))), plus(y, s(0')), plus(z, s(0')))
append(nil, y) -> y
append(cons(n, x), y) -> cons(n, app)
low(n, nil) -> nil
low(n, cons(m, x)) -> if_low(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_low(false, n, cons(m, x)) -> cons(m, low(n, x))
if_low(true, n, cons(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, cons(m, x)) -> if_high(ge(m, n), n, cons(m, x))
if_high(false, n, cons(m, x)) -> high(n, x)
if_high(true, n, cons(m, x)) -> cons(average(m, m), high(n, x))
quicksort(x) -> ifquick(isempty(x), x)
ifquick(true, x) -> nil
ifquick(false, x) -> append(quicksort(low(head(x), tail(x))), cons(tail(x), quicksort(high(head(x), tail(x)))))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
isempty(nil) -> true
isempty(cons(n, x)) -> false
head(nil) -> error
head(cons(n, x)) -> n
tail(nil) -> nil
tail(cons(n, x)) -> x
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
a -> b
a -> c

Types:
average :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ge :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
true :: true:false
averIter :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
false :: true:false
ifIter :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
plus :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
s :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
0' :: 0':s:nil:cons:app:error
append :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
nil :: 0':s:nil:cons:app:error
cons :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
app :: 0':s:nil:cons:app:error
low :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_low :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
high :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
if_high :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
quicksort :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
ifquick :: true:false -> 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
isempty :: 0':s:nil:cons:app:error -> true:false
head :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
tail :: 0':s:nil:cons:app:error -> 0':s:nil:cons:app:error
error :: 0':s:nil:cons:app:error
a :: b:c
b :: b:c
c :: b:c
hole_0':s:nil:cons:app:error1_0 :: 0':s:nil:cons:app:error
hole_true:false2_0 :: true:false
hole_b:c3_0 :: b:c
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0 :: Nat -> 0':s:nil:cons:app:error


Lemmas:
ge(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n6_0)) -> true, rt in Omega(1 + n6_0)
plus(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(n534_0), gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(b)) -> gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(n534_0, b)), rt in Omega(1 + n534_0)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:app:error4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
averIter, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
low < quicksort
high < quicksort