/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^1)) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^1). (0) CpxTRS (1) NestedDefinedSymbolProof [UPPER BOUND(ID), 13 ms] (2) CpxTRS (3) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (4) CpxTRS (5) CpxTrsMatchBoundsTAProof [FINISHED, 848 ms] (6) BOUNDS(1, n^1) (7) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) CpxTRS (9) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (12) typed CpxTrs (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 474 ms] (14) BEST (15) proven lower bound (16) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (17) BOUNDS(n^1, INF) (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 125 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 123 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 95 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 112 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 122 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 36 ms] (30) typed CpxTrs (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 147 ms] (32) typed CpxTrs (33) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 67 ms] (34) typed CpxTrs (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 139 ms] (36) typed CpxTrs (37) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 122 ms] (38) typed CpxTrs (39) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 140 ms] (40) typed CpxTrs (41) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 212 ms] (42) typed CpxTrs (43) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 118 ms] (44) typed CpxTrs (45) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 136 ms] (46) typed CpxTrs (47) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 163 ms] (48) typed CpxTrs (49) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 145 ms] (50) typed CpxTrs (51) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 140 ms] (52) typed CpxTrs (53) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 151 ms] (54) typed CpxTrs ---------------------------------------- (0) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^1). The TRS R consists of the following rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) NestedDefinedSymbolProof (UPPER BOUND(ID)) The following defined symbols can occur below the 0th argument of top: proper, active The following defined symbols can occur below the 0th argument of proper: proper, active The following defined symbols can occur below the 0th argument of active: proper, active Hence, the left-hand sides of the following rules are not basic-reachable and can be removed: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1). The TRS R consists of the following rules: __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(tt) -> ok(tt) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, n^1). The TRS R consists of the following rules: __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(tt) -> ok(tt) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) CpxTrsMatchBoundsTAProof (FINISHED) A linear upper bound on the runtime complexity of the TRS R could be shown with a Match-Bound[TAB_LEFTLINEAR,TAB_NONLEFTLINEAR] (for contructor-based start-terms) of 2. The compatible tree automaton used to show the Match-Boundedness (for constructor-based start-terms) is represented by: final states : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27] transitions: mark0(0) -> 0 nil0() -> 0 ok0(0) -> 0 tt0() -> 0 a0() -> 0 e0() -> 0 i0() -> 0 o0() -> 0 u0() -> 0 active0(0) -> 0 __0(0, 0) -> 1 U110(0, 0) -> 2 U120(0) -> 3 U210(0, 0, 0) -> 4 U220(0, 0) -> 5 U230(0) -> 6 U310(0, 0) -> 7 U320(0) -> 8 U410(0, 0, 0) -> 9 U420(0, 0) -> 10 U430(0) -> 11 U510(0, 0, 0) -> 12 U520(0, 0) -> 13 U530(0) -> 14 U610(0, 0) -> 15 U620(0) -> 16 U710(0, 0) -> 17 U720(0) -> 18 and0(0, 0) -> 19 proper0(0) -> 20 isNeList0(0) -> 21 isList0(0) -> 22 isQid0(0) -> 23 isNePal0(0) -> 24 isPalListKind0(0) -> 25 isPal0(0) -> 26 top0(0) -> 27 __1(0, 0) -> 28 mark1(28) -> 1 U111(0, 0) -> 29 mark1(29) -> 2 U121(0) -> 30 mark1(30) -> 3 U211(0, 0, 0) -> 31 mark1(31) -> 4 U221(0, 0) -> 32 mark1(32) -> 5 U231(0) -> 33 mark1(33) -> 6 U311(0, 0) -> 34 mark1(34) -> 7 U321(0) -> 35 mark1(35) -> 8 U411(0, 0, 0) -> 36 mark1(36) -> 9 U421(0, 0) -> 37 mark1(37) -> 10 U431(0) -> 38 mark1(38) -> 11 U511(0, 0, 0) -> 39 mark1(39) -> 12 U521(0, 0) -> 40 mark1(40) -> 13 U531(0) -> 41 mark1(41) -> 14 U611(0, 0) -> 42 mark1(42) -> 15 U621(0) -> 43 mark1(43) -> 16 U711(0, 0) -> 44 mark1(44) -> 17 U721(0) -> 45 mark1(45) -> 18 and1(0, 0) -> 46 mark1(46) -> 19 nil1() -> 47 ok1(47) -> 20 tt1() -> 48 ok1(48) -> 20 a1() -> 49 ok1(49) -> 20 e1() -> 50 ok1(50) -> 20 i1() -> 51 ok1(51) -> 20 o1() -> 52 ok1(52) -> 20 u1() -> 53 ok1(53) -> 20 __1(0, 0) -> 54 ok1(54) -> 1 U111(0, 0) -> 55 ok1(55) -> 2 U121(0) -> 56 ok1(56) -> 3 isNeList1(0) -> 57 ok1(57) -> 21 U211(0, 0, 0) -> 58 ok1(58) -> 4 U221(0, 0) -> 59 ok1(59) -> 5 isList1(0) -> 60 ok1(60) -> 22 U231(0) -> 61 ok1(61) -> 6 U311(0, 0) -> 62 ok1(62) -> 7 U321(0) -> 63 ok1(63) -> 8 isQid1(0) -> 64 ok1(64) -> 23 U411(0, 0, 0) -> 65 ok1(65) -> 9 U421(0, 0) -> 66 ok1(66) -> 10 U431(0) -> 67 ok1(67) -> 11 U511(0, 0, 0) -> 68 ok1(68) -> 12 U521(0, 0) -> 69 ok1(69) -> 13 U531(0) -> 70 ok1(70) -> 14 U611(0, 0) -> 71 ok1(71) -> 15 U621(0) -> 72 ok1(72) -> 16 U711(0, 0) -> 73 ok1(73) -> 17 U721(0) -> 74 ok1(74) -> 18 isNePal1(0) -> 75 ok1(75) -> 24 and1(0, 0) -> 76 ok1(76) -> 19 isPalListKind1(0) -> 77 ok1(77) -> 25 isPal1(0) -> 78 ok1(78) -> 26 proper1(0) -> 79 top1(79) -> 27 active1(0) -> 80 top1(80) -> 27 mark1(28) -> 28 mark1(28) -> 54 mark1(29) -> 29 mark1(29) -> 55 mark1(30) -> 30 mark1(30) -> 56 mark1(31) -> 31 mark1(31) -> 58 mark1(32) -> 32 mark1(32) -> 59 mark1(33) -> 33 mark1(33) -> 61 mark1(34) -> 34 mark1(34) -> 62 mark1(35) -> 35 mark1(35) -> 63 mark1(36) -> 36 mark1(36) -> 65 mark1(37) -> 37 mark1(37) -> 66 mark1(38) -> 38 mark1(38) -> 67 mark1(39) -> 39 mark1(39) -> 68 mark1(40) -> 40 mark1(40) -> 69 mark1(41) -> 41 mark1(41) -> 70 mark1(42) -> 42 mark1(42) -> 71 mark1(43) -> 43 mark1(43) -> 72 mark1(44) -> 44 mark1(44) -> 73 mark1(45) -> 45 mark1(45) -> 74 mark1(46) -> 46 mark1(46) -> 76 ok1(47) -> 79 ok1(48) -> 79 ok1(49) -> 79 ok1(50) -> 79 ok1(51) -> 79 ok1(52) -> 79 ok1(53) -> 79 ok1(54) -> 28 ok1(54) -> 54 ok1(55) -> 29 ok1(55) -> 55 ok1(56) -> 30 ok1(56) -> 56 ok1(57) -> 57 ok1(58) -> 31 ok1(58) -> 58 ok1(59) -> 32 ok1(59) -> 59 ok1(60) -> 60 ok1(61) -> 33 ok1(61) -> 61 ok1(62) -> 34 ok1(62) -> 62 ok1(63) -> 35 ok1(63) -> 63 ok1(64) -> 64 ok1(65) -> 36 ok1(65) -> 65 ok1(66) -> 37 ok1(66) -> 66 ok1(67) -> 38 ok1(67) -> 67 ok1(68) -> 39 ok1(68) -> 68 ok1(69) -> 40 ok1(69) -> 69 ok1(70) -> 41 ok1(70) -> 70 ok1(71) -> 42 ok1(71) -> 71 ok1(72) -> 43 ok1(72) -> 72 ok1(73) -> 44 ok1(73) -> 73 ok1(74) -> 45 ok1(74) -> 74 ok1(75) -> 75 ok1(76) -> 46 ok1(76) -> 76 ok1(77) -> 77 ok1(78) -> 78 active2(47) -> 81 top2(81) -> 27 active2(48) -> 81 active2(49) -> 81 active2(50) -> 81 active2(51) -> 81 active2(52) -> 81 active2(53) -> 81 ---------------------------------------- (6) BOUNDS(1, n^1) ---------------------------------------- (7) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (8) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (9) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ---------------------------------------- (11) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, __, U12, isNeList, U22, isList, U23, U32, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: __ < active U12 < active isNeList < active U22 < active isList < active U23 < active U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top __ < proper U12 < proper isNeList < proper U22 < proper isList < proper U23 < proper U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (12) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: __, active, U12, isNeList, U22, isList, U23, U32, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: __ < active U12 < active isNeList < active U22 < active isList < active U23 < active U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top __ < proper U12 < proper isNeList < proper U22 < proper isList < proper U23 < proper U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) Induction Base: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(__(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (14) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (15) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: __, active, U12, isNeList, U22, isList, U23, U32, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: __ < active U12 < active isNeList < active U22 < active isList < active U23 < active U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top __ < proper U12 < proper isNeList < proper U22 < proper isList < proper U23 < proper U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (16) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (17) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U12, active, isNeList, U22, isList, U23, U32, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U12 < active isNeList < active U22 < active isList < active U23 < active U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U12 < proper isNeList < proper U22 < proper isList < proper U23 < proper U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) Induction Base: U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n2627_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isNeList, active, U22, isList, U23, U32, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: isNeList < active U22 < active isList < active U23 < active U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top isNeList < proper U22 < proper isList < proper U23 < proper U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) Induction Base: U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n3482_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isList, active, U23, U32, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: isList < active U23 < active U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top isList < proper U23 < proper U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) Induction Base: U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n6436_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U32, active, isQid, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U32 < active isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U32 < proper isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) Induction Base: U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n7530_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isQid, active, U42, U43, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: isQid < active U42 < active U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top isQid < proper U42 < proper U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) Induction Base: U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n8748_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U43, active, U52, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U43 < active U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U43 < proper U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) Induction Base: U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n12407_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (30) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U52, active, U53, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U52 < active U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U52 < proper U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) Induction Base: U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n13853_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (32) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U53, active, U62, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U53 < active U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U53 < proper U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) Induction Base: U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n18026_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (34) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U62, active, U72, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U62 < active U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U62 < proper U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) Induction Base: U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n19723_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (36) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U72, active, isNePal, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U72 < active isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U72 < proper isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (37) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) Induction Base: U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0))) Induction Step: U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n21521_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0)))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (38) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isNePal, active, U11, isPalListKind, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: isNePal < active U11 < active isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top isNePal < proper U11 < proper isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) Induction Base: U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n23465_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (40) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isPalListKind, active, U21, and, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: isPalListKind < active U21 < active and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top isPalListKind < proper U21 < proper and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (41) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) Induction Base: U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) Induction Step: U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n28618_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) ->_R^Omega(1) mark(U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (42) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: and, active, U31, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: and < active U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top and < proper U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (43) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) Induction Base: and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n37286_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (44) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U31, active, U41, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U31 < active U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U31 < proper U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (45) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n43099_0) Induction Base: U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n43099_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (46) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n43099_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U41, active, U51, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U41 < active U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U41 < proper U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (47) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n49218_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n49218_0) Induction Base: U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) Induction Step: U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n49218_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) ->_R^Omega(1) mark(U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n49218_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (48) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n43099_0) U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n49218_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n49218_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U51, active, U61, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U51 < active U61 < active isPal < active U71 < active active < top U51 < proper U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (49) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n59419_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n59419_0) Induction Base: U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) Induction Step: U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n59419_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) ->_R^Omega(1) mark(U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n59419_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (50) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n43099_0) U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n49218_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n49218_0) U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n59419_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n59419_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U61, active, isPal, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: U61 < active isPal < active U71 < active active < top U61 < proper isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (51) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U61(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n70229_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n70229_0) Induction Base: U61(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U61(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n70229_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U61(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n70229_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (52) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n43099_0) U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n49218_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n49218_0) U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n59419_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n59419_0) U61(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n70229_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n70229_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: isPal, active, U71, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: isPal < active U71 < active active < top isPal < proper U71 < proper proper < top ---------------------------------------- (53) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U71(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n77548_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n77548_0) Induction Base: U71(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, 0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) Induction Step: U71(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, +(n77548_0, 1))), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(U71(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n77548_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b))) ->_IH mark(*4_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (54) Obligation: TRS: Rules: active(__(__(X, Y), Z)) -> mark(__(X, __(Y, Z))) active(__(X, nil)) -> mark(X) active(__(nil, X)) -> mark(X) active(U11(tt, V)) -> mark(U12(isNeList(V))) active(U12(tt)) -> mark(tt) active(U21(tt, V1, V2)) -> mark(U22(isList(V1), V2)) active(U22(tt, V2)) -> mark(U23(isList(V2))) active(U23(tt)) -> mark(tt) active(U31(tt, V)) -> mark(U32(isQid(V))) active(U32(tt)) -> mark(tt) active(U41(tt, V1, V2)) -> mark(U42(isList(V1), V2)) active(U42(tt, V2)) -> mark(U43(isNeList(V2))) active(U43(tt)) -> mark(tt) active(U51(tt, V1, V2)) -> mark(U52(isNeList(V1), V2)) active(U52(tt, V2)) -> mark(U53(isList(V2))) active(U53(tt)) -> mark(tt) active(U61(tt, V)) -> mark(U62(isQid(V))) active(U62(tt)) -> mark(tt) active(U71(tt, V)) -> mark(U72(isNePal(V))) active(U72(tt)) -> mark(tt) active(and(tt, X)) -> mark(X) active(isList(V)) -> mark(U11(isPalListKind(V), V)) active(isList(nil)) -> mark(tt) active(isList(__(V1, V2))) -> mark(U21(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(V)) -> mark(U31(isPalListKind(V), V)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U41(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNeList(__(V1, V2))) -> mark(U51(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2)), V1, V2)) active(isNePal(V)) -> mark(U61(isPalListKind(V), V)) active(isNePal(__(I, __(P, I)))) -> mark(and(and(isQid(I), isPalListKind(I)), and(isPal(P), isPalListKind(P)))) active(isPal(V)) -> mark(U71(isPalListKind(V), V)) active(isPal(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(a)) -> mark(tt) active(isPalListKind(e)) -> mark(tt) active(isPalListKind(i)) -> mark(tt) active(isPalListKind(nil)) -> mark(tt) active(isPalListKind(o)) -> mark(tt) active(isPalListKind(u)) -> mark(tt) active(isPalListKind(__(V1, V2))) -> mark(and(isPalListKind(V1), isPalListKind(V2))) active(isQid(a)) -> mark(tt) active(isQid(e)) -> mark(tt) active(isQid(i)) -> mark(tt) active(isQid(o)) -> mark(tt) active(isQid(u)) -> mark(tt) active(__(X1, X2)) -> __(active(X1), X2) active(__(X1, X2)) -> __(X1, active(X2)) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X)) -> U12(active(X)) active(U21(X1, X2, X3)) -> U21(active(X1), X2, X3) active(U22(X1, X2)) -> U22(active(X1), X2) active(U23(X)) -> U23(active(X)) active(U31(X1, X2)) -> U31(active(X1), X2) active(U32(X)) -> U32(active(X)) active(U41(X1, X2, X3)) -> U41(active(X1), X2, X3) active(U42(X1, X2)) -> U42(active(X1), X2) active(U43(X)) -> U43(active(X)) active(U51(X1, X2, X3)) -> U51(active(X1), X2, X3) active(U52(X1, X2)) -> U52(active(X1), X2) active(U53(X)) -> U53(active(X)) active(U61(X1, X2)) -> U61(active(X1), X2) active(U62(X)) -> U62(active(X)) active(U71(X1, X2)) -> U71(active(X1), X2) active(U72(X)) -> U72(active(X)) active(and(X1, X2)) -> and(active(X1), X2) __(mark(X1), X2) -> mark(__(X1, X2)) __(X1, mark(X2)) -> mark(__(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X)) -> mark(U12(X)) U21(mark(X1), X2, X3) -> mark(U21(X1, X2, X3)) U22(mark(X1), X2) -> mark(U22(X1, X2)) U23(mark(X)) -> mark(U23(X)) U31(mark(X1), X2) -> mark(U31(X1, X2)) U32(mark(X)) -> mark(U32(X)) U41(mark(X1), X2, X3) -> mark(U41(X1, X2, X3)) U42(mark(X1), X2) -> mark(U42(X1, X2)) U43(mark(X)) -> mark(U43(X)) U51(mark(X1), X2, X3) -> mark(U51(X1, X2, X3)) U52(mark(X1), X2) -> mark(U52(X1, X2)) U53(mark(X)) -> mark(U53(X)) U61(mark(X1), X2) -> mark(U61(X1, X2)) U62(mark(X)) -> mark(U62(X)) U71(mark(X1), X2) -> mark(U71(X1, X2)) U72(mark(X)) -> mark(U72(X)) and(mark(X1), X2) -> mark(and(X1, X2)) proper(__(X1, X2)) -> __(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X)) -> U12(proper(X)) proper(isNeList(X)) -> isNeList(proper(X)) proper(U21(X1, X2, X3)) -> U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U22(X1, X2)) -> U22(proper(X1), proper(X2)) proper(isList(X)) -> isList(proper(X)) proper(U23(X)) -> U23(proper(X)) proper(U31(X1, X2)) -> U31(proper(X1), proper(X2)) proper(U32(X)) -> U32(proper(X)) proper(isQid(X)) -> isQid(proper(X)) proper(U41(X1, X2, X3)) -> U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U42(X1, X2)) -> U42(proper(X1), proper(X2)) proper(U43(X)) -> U43(proper(X)) proper(U51(X1, X2, X3)) -> U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3)) proper(U52(X1, X2)) -> U52(proper(X1), proper(X2)) proper(U53(X)) -> U53(proper(X)) proper(U61(X1, X2)) -> U61(proper(X1), proper(X2)) proper(U62(X)) -> U62(proper(X)) proper(U71(X1, X2)) -> U71(proper(X1), proper(X2)) proper(U72(X)) -> U72(proper(X)) proper(isNePal(X)) -> isNePal(proper(X)) proper(and(X1, X2)) -> and(proper(X1), proper(X2)) proper(isPalListKind(X)) -> isPalListKind(proper(X)) proper(isPal(X)) -> isPal(proper(X)) proper(a) -> ok(a) proper(e) -> ok(e) proper(i) -> ok(i) proper(o) -> ok(o) proper(u) -> ok(u) __(ok(X1), ok(X2)) -> ok(__(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X)) -> ok(U12(X)) isNeList(ok(X)) -> ok(isNeList(X)) U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U21(X1, X2, X3)) U22(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U22(X1, X2)) isList(ok(X)) -> ok(isList(X)) U23(ok(X)) -> ok(U23(X)) U31(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U31(X1, X2)) U32(ok(X)) -> ok(U32(X)) isQid(ok(X)) -> ok(isQid(X)) U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U41(X1, X2, X3)) U42(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U42(X1, X2)) U43(ok(X)) -> ok(U43(X)) U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(U51(X1, X2, X3)) U52(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U52(X1, X2)) U53(ok(X)) -> ok(U53(X)) U61(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U61(X1, X2)) U62(ok(X)) -> ok(U62(X)) U71(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U71(X1, X2)) U72(ok(X)) -> ok(U72(X)) isNePal(ok(X)) -> ok(isNePal(X)) and(ok(X1), ok(X2)) -> ok(and(X1, X2)) isPalListKind(ok(X)) -> ok(isPalListKind(X)) isPal(ok(X)) -> ok(isPal(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) Types: active :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok __ :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok mark :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok nil :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U11 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok tt :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U12 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNeList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U21 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U22 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isList :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U23 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U31 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U32 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isQid :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U41 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U42 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U43 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U51 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U52 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U53 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U61 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U62 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U71 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok U72 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isNePal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok and :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPalListKind :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok isPal :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok a :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok e :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok i :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok o :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok u :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok proper :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok ok :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok top :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok -> top hole_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok1_0 :: mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok hole_top2_0 :: top gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0 :: Nat -> mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok Lemmas: __(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n5_0) U12(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n2627_0))) -> *4_0, rt in Omega(n2627_0) U22(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n3482_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n3482_0) U23(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n6436_0))) -> *4_0, rt in Omega(n6436_0) U32(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n7530_0))) -> *4_0, rt in Omega(n7530_0) U42(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n8748_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n8748_0) U43(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n12407_0))) -> *4_0, rt in Omega(n12407_0) U52(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n13853_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n13853_0) U53(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n18026_0))) -> *4_0, rt in Omega(n18026_0) U62(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n19723_0))) -> *4_0, rt in Omega(n19723_0) U72(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n21521_0))) -> *4_0, rt in Omega(n21521_0) U11(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n23465_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n23465_0) U21(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n28618_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n28618_0) and(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n37286_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n37286_0) U31(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n43099_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n43099_0) U41(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n49218_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n49218_0) U51(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n59419_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(c)) -> *4_0, rt in Omega(n59419_0) U61(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n70229_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n70229_0) U71(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(1, n77548_0)), gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(b)) -> *4_0, rt in Omega(n77548_0) Generator Equations: gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(0) <=> nil gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:nil:tt:a:e:i:o:u:ok3_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top They will be analysed ascendingly in the following order: active < top proper < top