/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^2), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). (0) CpxTRS (1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxTRS (3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (4) typed CpxTrs (5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) typed CpxTrs (7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 636 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) typed CpxTrs (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 95 ms] (14) BEST (15) proven lower bound (16) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (17) BOUNDS(n^2, INF) (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 50 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 113 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 15 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 115 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 116 ms] (28) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0) -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (4) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus ---------------------------------------- (5) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__U11, a__U12, a__plus, mark They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (6) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U12, a__U11, a__plus, mark They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0), rt in Omega(1 + n7802_0) Induction Base: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0)) ->_R^Omega(1) tt Induction Step: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n7802_0, 1))) ->_R^Omega(1) s(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0))) ->_IH s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c7803_0)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__U11 They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0), rt in Omega(1 + n7802_0) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U12, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n8498_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n8498_0 + n8498_0 + n8498_0^2) Induction Base: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) Induction Step: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n8498_0, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) ->_R^Omega(1) a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n8498_0, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n8498_0))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n8498_0))))) ->_L^Omega(2 + n8498_0) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n8498_0)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n8498_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c))) ->_IH s(*3_0) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (14) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (15) Obligation: Proved the lower bound n^2 for the following obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0), rt in Omega(1 + n7802_0) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U12, a__plus They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (16) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (17) BOUNDS(n^2, INF) ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0), rt in Omega(1 + n7802_0) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n8498_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n8498_0 + n8498_0 + n8498_0^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U12, a__plus, mark They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n10562_0 + n10562_0 + n10562_0^2) Induction Base: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) Induction Step: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n10562_0, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n10562_0, 1))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n10562_0))))) ->_L^Omega(2 + n10562_0) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n10562_0)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c))) ->_R^Omega(1) s(a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c))) ->_IH s(*3_0) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0), rt in Omega(1 + n7802_0) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n8498_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n8498_0 + n8498_0 + n8498_0^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n10562_0 + n10562_0 + n10562_0^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__plus, a__U11, mark They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12888_0 + n12888_0 + n12888_0^2) Induction Base: a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, 0))) Induction Step: a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, +(n12888_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a)) ->_R^Omega(1) a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0))))) ->_L^Omega(1 + a) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0))))) ->_L^Omega(2 + n12888_0) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0)))) ->_IH s(*3_0) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n7802_0), rt in Omega(1 + n7802_0) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n8498_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n8498_0 + n8498_0 + n8498_0^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n10562_0 + n10562_0 + n10562_0^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12888_0 + n12888_0 + n12888_0^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__U11, a__U12 They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0), rt in Omega(1 + n15871_0) Induction Base: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0)) ->_R^Omega(1) tt Induction Step: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n15871_0, 1))) ->_R^Omega(1) s(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0))) ->_IH s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c15872_0)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0), rt in Omega(1 + n15871_0) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n8498_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n8498_0 + n8498_0 + n8498_0^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n10562_0 + n10562_0 + n10562_0^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12888_0 + n12888_0 + n12888_0^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U12 They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n16876_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n16876_0 + n16876_0 + n16876_0^2) Induction Base: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) Induction Step: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n16876_0, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) ->_R^Omega(1) a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n16876_0, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n16876_0))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n16876_0))))) ->_L^Omega(2 + n16876_0) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n16876_0)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n16876_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c))) ->_IH s(*3_0) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (26) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus tt :: tt:s:0':U11:U12:plus a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus s :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus mark :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus plus :: tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus -> tt:s:0':U11:U12:plus hole_tt:s:0':U11:U12:plus1_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n15871_0), rt in Omega(1 + n15871_0) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n16876_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n16876_0 + n16876_0 + n16876_0^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n10562_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n10562_0 + n10562_0 + n10562_0^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n12888_0))) -> *3_0, rt in Omega(a*n12888_0 + n12888_0 + n12888_0^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U12 They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__plus = mark ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n20155_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) -> *3_0, rt in Omega(c*n20155_0 + n20155_0 + n20155_0^2) Induction Base: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) Induction Step: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n20155_0, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(n20155_0, 1))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n20155_0))))) ->_L^Omega(2 + n20155_0) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(+(1, n20155_0)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n20155_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c))) ->_R^Omega(1) s(a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(n20155_0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus2_0(c))) ->_IH s(*3_0) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (28) BOUNDS(1, INF)