/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 270 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 64 ms]
        (14) typed CpxTrs
        (15) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 27 ms]
        (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 45 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 224 ms]
        (20) proven lower bound
        (21) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (22) BOUNDS(n^2, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   app(nil, y) -> y
   app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
   low(n, nil) -> nil
   low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
   if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
   if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
   high(n, nil) -> nil
   high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
   if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
   if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
   head(add(n, x)) -> n
   tail(add(n, x)) -> x
   isempty(nil) -> true
   isempty(add(n, x)) -> false
   quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
   if_qs(true, x, n, y) -> nil
   if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0', y) -> true
   le(s(x), 0') -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   app(nil, y) -> y
   app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
   low(n, nil) -> nil
   low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
   if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
   if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
   high(n, nil) -> nil
   high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
   if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
   if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
   head(add(n, x)) -> n
   tail(add(n, x)) -> x
   isempty(nil) -> true
   isempty(add(n, x)) -> false
   quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
   if_qs(true, x, n, y) -> nil
   if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < low
le < high
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(6)
Obligation:
TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < low
le < high
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)

Induction Base:
le(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s4_0(+(n7_0, 1)), gen_0':s4_0(+(n7_0, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < low
le < high
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < quicksort
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add5_0(n318_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n318_0, b)), rt in Omega(1 + n318_0)

Induction Base:
app(gen_nil:add5_0(0), gen_nil:add5_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:add5_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add5_0(+(n318_0, 1)), gen_nil:add5_0(b)) ->_R^Omega(1)
add(0', app(gen_nil:add5_0(n318_0), gen_nil:add5_0(b))) ->_IH
add(0', gen_nil:add5_0(+(b, c319_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(14)
Obligation:
TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
app(gen_nil:add5_0(n318_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n318_0, b)), rt in Omega(1 + n318_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
low, high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
low < quicksort
high < quicksort

----------------------------------------

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1243_0)) -> gen_nil:add5_0(n1243_0), rt in Omega(1 + n1243_0)

Induction Base:
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(0)) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(+(n1243_0, 1))) ->_R^Omega(1)
if_low(le(0', gen_0':s4_0(0)), gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n1243_0))) ->_L^Omega(1)
if_low(true, gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n1243_0))) ->_R^Omega(1)
add(0', low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1243_0))) ->_IH
add(0', gen_nil:add5_0(c1244_0))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(16)
Obligation:
TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
app(gen_nil:add5_0(n318_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n318_0, b)), rt in Omega(1 + n318_0)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1243_0)) -> gen_nil:add5_0(n1243_0), rt in Omega(1 + n1243_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
high, quicksort

They will be analysed ascendingly in the following order:
high < quicksort

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1835_0)) -> gen_nil:add5_0(0), rt in Omega(1 + n1835_0)

Induction Base:
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(0)) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(+(n1835_0, 1))) ->_R^Omega(1)
if_high(le(0', gen_0':s4_0(0)), gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n1835_0))) ->_L^Omega(1)
if_high(true, gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n1835_0))) ->_R^Omega(1)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1835_0)) ->_IH
gen_nil:add5_0(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
app(gen_nil:add5_0(n318_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n318_0, b)), rt in Omega(1 + n318_0)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1243_0)) -> gen_nil:add5_0(n1243_0), rt in Omega(1 + n1243_0)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1835_0)) -> gen_nil:add5_0(0), rt in Omega(1 + n1835_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
quicksort
----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
quicksort(gen_nil:add5_0(n2423_0)) -> gen_nil:add5_0(n2423_0), rt in Omega(1 + n2423_0 + n2423_0^2)

Induction Base:
quicksort(gen_nil:add5_0(0)) ->_R^Omega(1)
if_qs(isempty(gen_nil:add5_0(0)), low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))) ->_R^Omega(1)
if_qs(true, low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
quicksort(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1))) ->_R^Omega(1)
if_qs(isempty(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1))), low(head(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1))), tail(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1)))), head(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1))), high(head(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1))), tail(gen_nil:add5_0(+(n2423_0, 1))))) ->_R^Omega(1)
if_qs(false, low(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0)))), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))))) ->_R^Omega(1)
if_qs(false, low(0', tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0)))), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))))) ->_R^Omega(1)
if_qs(false, low(0', gen_nil:add5_0(n2423_0)), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))))) ->_L^Omega(1 + n2423_0)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2423_0), head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))))) ->_R^Omega(1)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2423_0), 0', high(head(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))), tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))))) ->_R^Omega(1)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2423_0), 0', high(0', tail(gen_nil:add5_0(+(1, n2423_0))))) ->_R^Omega(1)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2423_0), 0', high(0', gen_nil:add5_0(n2423_0))) ->_L^Omega(1 + n2423_0)
if_qs(false, gen_nil:add5_0(n2423_0), 0', gen_nil:add5_0(0)) ->_R^Omega(1)
app(quicksort(gen_nil:add5_0(n2423_0)), add(0', quicksort(gen_nil:add5_0(0)))) ->_IH
app(gen_nil:add5_0(c2424_0), add(0', quicksort(gen_nil:add5_0(0)))) ->_R^Omega(1)
app(gen_nil:add5_0(n2423_0), add(0', if_qs(isempty(gen_nil:add5_0(0)), low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))))) ->_R^Omega(1)
app(gen_nil:add5_0(n2423_0), add(0', if_qs(true, low(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0))), head(gen_nil:add5_0(0)), high(head(gen_nil:add5_0(0)), tail(gen_nil:add5_0(0)))))) ->_R^Omega(1)
app(gen_nil:add5_0(n2423_0), add(0', nil)) ->_L^Omega(1 + n2423_0)
gen_nil:add5_0(+(n2423_0, +(0, 1)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
low(n, nil) -> nil
low(n, add(m, x)) -> if_low(le(m, n), n, add(m, x))
if_low(true, n, add(m, x)) -> add(m, low(n, x))
if_low(false, n, add(m, x)) -> low(n, x)
high(n, nil) -> nil
high(n, add(m, x)) -> if_high(le(m, n), n, add(m, x))
if_high(true, n, add(m, x)) -> high(n, x)
if_high(false, n, add(m, x)) -> add(m, high(n, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
isempty(nil) -> true
isempty(add(n, x)) -> false
quicksort(x) -> if_qs(isempty(x), low(head(x), tail(x)), head(x), high(head(x), tail(x)))
if_qs(true, x, n, y) -> nil
if_qs(false, x, n, y) -> app(quicksort(x), add(n, quicksort(y)))

Types:
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
low :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_low :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
high :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_high :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
isempty :: nil:add -> true:false
quicksort :: nil:add -> nil:add
if_qs :: true:false -> nil:add -> 0':s -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
le(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
app(gen_nil:add5_0(n318_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n318_0, b)), rt in Omega(1 + n318_0)
low(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1243_0)) -> gen_nil:add5_0(n1243_0), rt in Omega(1 + n1243_0)
high(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n1835_0)) -> gen_nil:add5_0(0), rt in Omega(1 + n1835_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
quicksort
----------------------------------------

(21) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(n^2, INF)