/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 282 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 55 ms]
        (14) typed CpxTrs
        (15) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 371 ms]
        (16) BEST
            (17) proven lower bound
                (18) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (19) BOUNDS(n^2, INF)
            (20) typed CpxTrs
                (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 20 ms]
                (22) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   app(nil, k) -> k
   app(l, nil) -> l
   app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
   sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
   sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
   sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   app(nil, k) -> k
   app(l, nil) -> l
   app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
   sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
   sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
   sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, sum, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
plus < sum
gt < plus

----------------------------------------

(6)
Obligation:
TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false


Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) <=> nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) <=> cons(zero, gen_nil:cons3_0(x))
gen_s:zero:true:false4_0(0) <=> zero
gen_s:zero:true:false4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_s:zero:true:false4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, sum, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
plus < sum
gt < plus

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:cons3_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(b)) -> gen_nil:cons3_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)

Induction Base:
app(gen_nil:cons3_0(0), gen_nil:cons3_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:cons3_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:cons3_0(+(n6_0, 1)), gen_nil:cons3_0(b)) ->_R^Omega(1)
cons(zero, app(gen_nil:cons3_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(b))) ->_IH
cons(zero, gen_nil:cons3_0(+(b, c7_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false


Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) <=> nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) <=> cons(zero, gen_nil:cons3_0(x))
gen_s:zero:true:false4_0(0) <=> zero
gen_s:zero:true:false4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_s:zero:true:false4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, sum, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < sum
plus < sum
gt < plus

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false


Lemmas:
app(gen_nil:cons3_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(b)) -> gen_nil:cons3_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)


Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) <=> nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) <=> cons(zero, gen_nil:cons3_0(x))
gen_s:zero:true:false4_0(0) <=> zero
gen_s:zero:true:false4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_s:zero:true:false4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
gt, sum, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < sum
gt < plus

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n798_0)), gen_s:zero:true:false4_0(n798_0)) -> true, rt in Omega(1 + n798_0)

Induction Base:
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, 0)), gen_s:zero:true:false4_0(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, +(n798_0, 1))), gen_s:zero:true:false4_0(+(n798_0, 1))) ->_R^Omega(1)
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n798_0)), gen_s:zero:true:false4_0(n798_0)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(14)
Obligation:
TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false


Lemmas:
app(gen_nil:cons3_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(b)) -> gen_nil:cons3_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n798_0)), gen_s:zero:true:false4_0(n798_0)) -> true, rt in Omega(1 + n798_0)


Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) <=> nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) <=> cons(zero, gen_nil:cons3_0(x))
gen_s:zero:true:false4_0(0) <=> zero
gen_s:zero:true:false4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_s:zero:true:false4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, sum

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < sum

----------------------------------------

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))) -> *5_0, rt in Omega(n1097_0 + n1097_0^2)

Induction Base:
plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, 0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, 0)))

Induction Step:
plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, +(n1097_0, 1))), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, +(n1097_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(if(gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))), gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))), if(not(gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0)))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_L^Omega(2 + n1097_0)
s(s(plus(if(true, gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))), if(not(gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0)))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), if(not(gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0)))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_L^Omega(2 + n1097_0)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), if(not(true), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), if(if(true, false, true), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), if(false, id(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0))), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), if(false, gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), id(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), if(false, gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0)))))) ->_R^Omega(1)
s(s(plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))))) ->_IH
s(s(*5_0))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(16)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(17)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false


Lemmas:
app(gen_nil:cons3_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(b)) -> gen_nil:cons3_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n798_0)), gen_s:zero:true:false4_0(n798_0)) -> true, rt in Omega(1 + n798_0)


Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) <=> nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) <=> cons(zero, gen_nil:cons3_0(x))
gen_s:zero:true:false4_0(0) <=> zero
gen_s:zero:true:false4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_s:zero:true:false4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, sum

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < sum

----------------------------------------

(18) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(19)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(20)
Obligation:
TRS:
Rules:
app(nil, k) -> k
app(l, nil) -> l
app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k))
sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil)
sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l))
sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k)))))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
app :: nil:cons -> nil:cons -> nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:zero:true:false -> nil:cons -> nil:cons
sum :: nil:cons -> nil:cons
plus :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
s :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
if :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
gt :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false -> s:zero:true:false
not :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
id :: s:zero:true:false -> s:zero:true:false
zero :: s:zero:true:false
true :: s:zero:true:false
false :: s:zero:true:false
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:zero:true:false2_0 :: s:zero:true:false
gen_nil:cons3_0 :: Nat -> nil:cons
gen_s:zero:true:false4_0 :: Nat -> s:zero:true:false


Lemmas:
app(gen_nil:cons3_0(n6_0), gen_nil:cons3_0(b)) -> gen_nil:cons3_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)
gt(gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n798_0)), gen_s:zero:true:false4_0(n798_0)) -> true, rt in Omega(1 + n798_0)
plus(gen_s:zero:true:false4_0(+(2, n1097_0)), gen_s:zero:true:false4_0(+(1, n1097_0))) -> *5_0, rt in Omega(n1097_0 + n1097_0^2)


Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) <=> nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) <=> cons(zero, gen_nil:cons3_0(x))
gen_s:zero:true:false4_0(0) <=> zero
gen_s:zero:true:false4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_s:zero:true:false4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
sum
----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
sum(gen_nil:cons3_0(+(1, n7328_0))) -> gen_nil:cons3_0(1), rt in Omega(1 + n7328_0)

Induction Base:
sum(gen_nil:cons3_0(+(1, 0))) ->_R^Omega(1)
cons(zero, nil)

Induction Step:
sum(gen_nil:cons3_0(+(1, +(n7328_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
sum(cons(plus(zero, zero), gen_nil:cons3_0(n7328_0))) ->_R^Omega(1)
sum(cons(zero, gen_nil:cons3_0(n7328_0))) ->_IH
gen_nil:cons3_0(1)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(1, INF)