/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^3), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 279 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 32 ms]
        (14) BEST
            (15) proven lower bound
                (16) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (17) BOUNDS(n^2, INF)
            (18) typed CpxTrs
                (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 664 ms]
                (20) proven lower bound
                (21) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (22) BOUNDS(n^3, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   null(nil) -> true
   null(add(n, x)) -> false
   tail(add(n, x)) -> x
   tail(nil) -> nil
   head(add(n, x)) -> n
   app(nil, y) -> y
   app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
   reverse(nil) -> nil
   reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
   shuffle(x) -> shuff(x, nil)
   shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
   if(true, x, y, z) -> y
   if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   null(nil) -> true
   null(add(n, x)) -> false
   tail(add(n, x)) -> x
   tail(nil) -> nil
   head(add(n, x)) -> n
   app(nil, y) -> y
   app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
   reverse(nil) -> nil
   reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
   shuffle(x) -> shuff(x, nil)
   shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
   if(true, x, y, z) -> y
   if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app, reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
app < shuff
reverse < shuff

----------------------------------------

(6)
Obligation:
TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add


Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) <=> nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) <=> add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
app < shuff
reverse < shuff

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) -> gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)

Induction Base:
app(gen_nil:add4_0(0), gen_nil:add4_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:add4_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add4_0(+(n6_0, 1)), gen_nil:add4_0(b)) ->_R^Omega(1)
add(hole_head3_0, app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b))) ->_IH
add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(+(b, c7_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add


Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) <=> nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) <=> add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < reverse
app < shuff
reverse < shuff

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) -> gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)


Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) <=> nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) <=> add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
reverse < shuff

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) -> gen_nil:add4_0(n585_0), rt in Omega(1 + n585_0 + n585_0^2)

Induction Base:
reverse(gen_nil:add4_0(0)) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
reverse(gen_nil:add4_0(+(n585_0, 1))) ->_R^Omega(1)
app(reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)), add(hole_head3_0, nil)) ->_IH
app(gen_nil:add4_0(c586_0), add(hole_head3_0, nil)) ->_L^Omega(1 + n585_0)
gen_nil:add4_0(+(n585_0, +(0, 1)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(14)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(15)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) -> gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)


Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) <=> nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) <=> add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
reverse, shuff

They will be analysed ascendingly in the following order:
reverse < shuff

----------------------------------------

(16) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(17)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(18)
Obligation:
TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) -> gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) -> gen_nil:add4_0(n585_0), rt in Omega(1 + n585_0 + n585_0^2)


Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) <=> nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) <=> add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
shuff
----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
shuff(gen_nil:add4_0(n822_0), gen_nil:add4_0(b)) -> *5_0, rt in Omega(b*n822_0 + n822_0 + n822_0^2 + n822_0^3)

Induction Base:
shuff(gen_nil:add4_0(0), gen_nil:add4_0(b))

Induction Step:
shuff(gen_nil:add4_0(+(n822_0, 1)), gen_nil:add4_0(b)) ->_R^Omega(1)
if(null(gen_nil:add4_0(+(n822_0, 1))), gen_nil:add4_0(+(n822_0, 1)), gen_nil:add4_0(b), app(gen_nil:add4_0(b), add(head(gen_nil:add4_0(+(n822_0, 1))), nil))) ->_R^Omega(1)
if(false, gen_nil:add4_0(+(1, n822_0)), gen_nil:add4_0(b), app(gen_nil:add4_0(b), add(head(gen_nil:add4_0(+(1, n822_0))), nil))) ->_R^Omega(1)
if(false, gen_nil:add4_0(+(1, n822_0)), gen_nil:add4_0(b), app(gen_nil:add4_0(b), add(hole_head3_0, nil))) ->_L^Omega(1 + b)
if(false, gen_nil:add4_0(+(1, n822_0)), gen_nil:add4_0(+(0, 1)), gen_nil:add4_0(+(b, +(0, 1)))) ->_R^Omega(1)
shuff(reverse(tail(gen_nil:add4_0(+(1, n822_0)))), gen_nil:add4_0(+(1, b))) ->_R^Omega(1)
shuff(reverse(gen_nil:add4_0(n822_0)), gen_nil:add4_0(+(1, b))) ->_L^Omega(1 + n822_0 + n822_0^2)
shuff(gen_nil:add4_0(n822_0), gen_nil:add4_0(+(1, b))) ->_IH
*5_0

We have rt in Omega(n^3) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^3).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Proved the lower bound n^3 for the following obligation:

TRS:
Rules:
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
head(add(n, x)) -> n
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
reverse(nil) -> nil
reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil))
shuffle(x) -> shuff(x, nil)
shuff(x, y) -> if(null(x), x, y, app(y, add(head(x), nil)))
if(true, x, y, z) -> y
if(false, x, y, z) -> shuff(reverse(tail(x)), z)

Types:
null :: nil:add -> true:false
nil :: nil:add
true :: true:false
add :: head -> nil:add -> nil:add
false :: true:false
tail :: nil:add -> nil:add
head :: nil:add -> head
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
reverse :: nil:add -> nil:add
shuffle :: nil:add -> nil:add
shuff :: nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:add2_0 :: nil:add
hole_head3_0 :: head
gen_nil:add4_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
app(gen_nil:add4_0(n6_0), gen_nil:add4_0(b)) -> gen_nil:add4_0(+(n6_0, b)), rt in Omega(1 + n6_0)
reverse(gen_nil:add4_0(n585_0)) -> gen_nil:add4_0(n585_0), rt in Omega(1 + n585_0 + n585_0^2)


Generator Equations:
gen_nil:add4_0(0) <=> nil
gen_nil:add4_0(+(x, 1)) <=> add(hole_head3_0, gen_nil:add4_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
shuff
----------------------------------------

(21) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(n^3, INF)