/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 279 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 42 ms]
        (14) typed CpxTrs
        (15) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 38 ms]
        (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 22 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 40 ms]
        (20) typed CpxTrs


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(x)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   app(nil, y) -> y
   app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
   min(add(n, nil)) -> n
   min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
   if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
   if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
   head(add(n, x)) -> n
   tail(add(n, x)) -> x
   tail(nil) -> nil
   null(nil) -> true
   null(add(n, x)) -> false
   rm(n, nil) -> nil
   rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
   if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
   if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
   minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
   mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
   if(true, x, y, z) -> z
   if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
   if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
   if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   eq(0', 0') -> true
   eq(0', s(x)) -> false
   eq(s(x), 0') -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   le(0', y) -> true
   le(s(x), 0') -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   app(nil, y) -> y
   app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
   min(add(n, nil)) -> n
   min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
   if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
   if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
   head(add(n, x)) -> n
   tail(add(n, x)) -> x
   tail(nil) -> nil
   null(nil) -> true
   null(add(n, x)) -> false
   rm(n, nil) -> nil
   rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
   if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
   if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
   minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
   mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
   if(true, x, y, z) -> z
   if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
   if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
   if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
eq, le, app, min, rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < rm
eq < mins
le < min
app < mins
min < mins
rm < mins

----------------------------------------

(6)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, le, app, min, rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < rm
eq < mins
le < min
app < mins
min < mins
rm < mins

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)

Induction Base:
eq(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s4_0(+(n7_0, 1)), gen_0':s4_0(+(n7_0, 1))) ->_R^Omega(1)
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, le, app, min, rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
eq < rm
eq < mins
le < min
app < mins
min < mins
rm < mins

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, app, min, rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < min
app < mins
min < mins
rm < mins

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':s4_0(n578_0), gen_0':s4_0(n578_0)) -> true, rt in Omega(1 + n578_0)

Induction Base:
le(gen_0':s4_0(0), gen_0':s4_0(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':s4_0(+(n578_0, 1)), gen_0':s4_0(+(n578_0, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':s4_0(n578_0), gen_0':s4_0(n578_0)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(14)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
le(gen_0':s4_0(n578_0), gen_0':s4_0(n578_0)) -> true, rt in Omega(1 + n578_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
app, min, rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
app < mins
min < mins
rm < mins

----------------------------------------

(15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
app(gen_nil:add5_0(n943_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n943_0, b)), rt in Omega(1 + n943_0)

Induction Base:
app(gen_nil:add5_0(0), gen_nil:add5_0(b)) ->_R^Omega(1)
gen_nil:add5_0(b)

Induction Step:
app(gen_nil:add5_0(+(n943_0, 1)), gen_nil:add5_0(b)) ->_R^Omega(1)
add(0', app(gen_nil:add5_0(n943_0), gen_nil:add5_0(b))) ->_IH
add(0', gen_nil:add5_0(+(b, c944_0)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(16)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
le(gen_0':s4_0(n578_0), gen_0':s4_0(n578_0)) -> true, rt in Omega(1 + n578_0)
app(gen_nil:add5_0(n943_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n943_0, b)), rt in Omega(1 + n943_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
min, rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
min < mins
rm < mins

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
min(gen_nil:add5_0(+(1, n2030_0))) -> gen_0':s4_0(0), rt in Omega(1 + n2030_0)

Induction Base:
min(gen_nil:add5_0(+(1, 0))) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
min(gen_nil:add5_0(+(1, +(n2030_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
if_min(le(0', 0'), add(0', add(0', gen_nil:add5_0(n2030_0)))) ->_L^Omega(1)
if_min(true, add(0', add(0', gen_nil:add5_0(n2030_0)))) ->_R^Omega(1)
min(add(0', gen_nil:add5_0(n2030_0))) ->_IH
gen_0':s4_0(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
le(gen_0':s4_0(n578_0), gen_0':s4_0(n578_0)) -> true, rt in Omega(1 + n578_0)
app(gen_nil:add5_0(n943_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n943_0, b)), rt in Omega(1 + n943_0)
min(gen_nil:add5_0(+(1, n2030_0))) -> gen_0':s4_0(0), rt in Omega(1 + n2030_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
rm, mins

They will be analysed ascendingly in the following order:
rm < mins

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
rm(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2506_0)) -> gen_nil:add5_0(0), rt in Omega(1 + n2506_0)

Induction Base:
rm(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(0)) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
rm(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(+(n2506_0, 1))) ->_R^Omega(1)
if_rm(eq(gen_0':s4_0(0), 0'), gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n2506_0))) ->_L^Omega(1)
if_rm(true, gen_0':s4_0(0), add(0', gen_nil:add5_0(n2506_0))) ->_R^Omega(1)
rm(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2506_0)) ->_IH
gen_nil:add5_0(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
TRS:
Rules:
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(x)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
app(nil, y) -> y
app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
min(add(n, nil)) -> n
min(add(n, add(m, x))) -> if_min(le(n, m), add(n, add(m, x)))
if_min(true, add(n, add(m, x))) -> min(add(n, x))
if_min(false, add(n, add(m, x))) -> min(add(m, x))
head(add(n, x)) -> n
tail(add(n, x)) -> x
tail(nil) -> nil
null(nil) -> true
null(add(n, x)) -> false
rm(n, nil) -> nil
rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x)
if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
minsort(x) -> mins(x, nil, nil)
mins(x, y, z) -> if(null(x), x, y, z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> if2(eq(head(x), min(x)), x, y, z)
if2(true, x, y, z) -> mins(app(rm(head(x), tail(x)), y), nil, app(z, add(head(x), nil)))
if2(false, x, y, z) -> mins(tail(x), add(head(x), y), z)

Types:
eq :: 0':s -> 0':s -> true:false
0' :: 0':s
true :: true:false
s :: 0':s -> 0':s
false :: true:false
le :: 0':s -> 0':s -> true:false
app :: nil:add -> nil:add -> nil:add
nil :: nil:add
add :: 0':s -> nil:add -> nil:add
min :: nil:add -> 0':s
if_min :: true:false -> nil:add -> 0':s
head :: nil:add -> 0':s
tail :: nil:add -> nil:add
null :: nil:add -> true:false
rm :: 0':s -> nil:add -> nil:add
if_rm :: true:false -> 0':s -> nil:add -> nil:add
minsort :: nil:add -> nil:add
mins :: nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
if2 :: true:false -> nil:add -> nil:add -> nil:add -> nil:add
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_0':s2_0 :: 0':s
hole_nil:add3_0 :: nil:add
gen_0':s4_0 :: Nat -> 0':s
gen_nil:add5_0 :: Nat -> nil:add


Lemmas:
eq(gen_0':s4_0(n7_0), gen_0':s4_0(n7_0)) -> true, rt in Omega(1 + n7_0)
le(gen_0':s4_0(n578_0), gen_0':s4_0(n578_0)) -> true, rt in Omega(1 + n578_0)
app(gen_nil:add5_0(n943_0), gen_nil:add5_0(b)) -> gen_nil:add5_0(+(n943_0, b)), rt in Omega(1 + n943_0)
min(gen_nil:add5_0(+(1, n2030_0))) -> gen_0':s4_0(0), rt in Omega(1 + n2030_0)
rm(gen_0':s4_0(0), gen_nil:add5_0(n2506_0)) -> gen_nil:add5_0(0), rt in Omega(1 + n2506_0)


Generator Equations:
gen_0':s4_0(0) <=> 0'
gen_0':s4_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s4_0(x))
gen_nil:add5_0(0) <=> nil
gen_nil:add5_0(+(x, 1)) <=> add(0', gen_nil:add5_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mins