/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_complexity /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) CpxTRS
(1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxTRS
(3) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(4) typed CpxTrs
(5) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(6) typed CpxTrs
(7) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 499 ms]
(8) BEST
    (9) proven lower bound
        (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (11) BOUNDS(n^1, INF)
    (12) typed CpxTrs
        (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 229 ms]
        (14) typed CpxTrs


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   quot(0, s(y)) -> 0
   quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
   minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   minus(x, 0') -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   quot(0', s(y)) -> 0'
   quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
   minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
   plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
   plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
   plus(zero, y) -> y
   plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
   id(x) -> x
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   not(x) -> if(x, false, true)
   gt(s(x), zero) -> true
   gt(zero, y) -> false
   gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
----------------------------------------

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat -> 0':s:zero:true:false

----------------------------------------

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
minus, quot, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
gt < plus

----------------------------------------

(6)
Obligation:
TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat -> 0':s:zero:true:false


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
gt, minus, quot, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
gt < plus

----------------------------------------

(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
gt(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0)

Induction Base:
gt(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, 0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
gt(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, +(n4_0, 1))), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, +(n4_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
gt(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) ->_IH
*3_0

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(8)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(9)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat -> 0':s:zero:true:false


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
gt, minus, quot, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus
gt < plus

----------------------------------------

(10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(11)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(12)
Obligation:
TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat -> 0':s:zero:true:false


Lemmas:
gt(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0)


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, minus, quot

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
plus < minus

----------------------------------------

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n2196_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n2196_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2196_0)

Induction Base:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, 0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, +(n2196_0, 1))), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, +(n2196_0, 1)))) ->_R^Omega(1)
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n2196_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n2196_0))) ->_IH
*3_0

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(14)
Obligation:
TRS:
Rules:
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
quot(0', s(y)) -> 0'
quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y)))
minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z))
plus(s(x), s(y)) -> s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) -> plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) -> y
plus(id(x), s(y)) -> s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) -> x
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
not(x) -> if(x, false, true)
gt(s(x), zero) -> true
gt(zero, y) -> false
gt(s(x), s(y)) -> gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false -> 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat -> 0':s:zero:true:false


Lemmas:
gt(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n4_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0)
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n2196_0)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(1, n2196_0))) -> *3_0, rt in Omega(n2196_0)


Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) <=> 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
quot