/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


YES

Problem 1: 

(VAR v_NonEmpty:S N:S X:S XS:S Y:S YS:S ZS:S)
(RULES
U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
activate(X:S) -> X:S
afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
s(X:S) -> n__s(X:S)
sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
)

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 U11#(tt,N:S,XS:S) -> U12#(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U11#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U11#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> SND(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 U21#(tt,X:S) -> U22#(tt,activate(X:S))
 U21#(tt,X:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U22#(tt,X:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U31#(tt,N:S) -> U32#(tt,activate(N:S))
 U31#(tt,N:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U32#(tt,N:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U41#(tt,N:S,XS:S) -> U42#(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U41#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U41#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> AFTERNTH(activate(N:S),activate(XS:S))
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> HEAD(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51#(tt,Y:S) -> U52#(tt,activate(Y:S))
 U51#(tt,Y:S) -> ACTIVATE(Y:S)
 U52#(tt,Y:S) -> ACTIVATE(Y:S)
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64#(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 U64#(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U71#(tt,XS:S) -> U72#(tt,activate(XS:S))
 U71#(tt,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U72#(tt,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U81#(tt,N:S,XS:S) -> U82#(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U81#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U81#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> FST(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 ACTIVATE(n__natsFrom(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
 ACTIVATE(n__natsFrom(X:S)) -> NATSFROM(activate(X:S))
 ACTIVATE(n__s(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
 ACTIVATE(n__s(X:S)) -> S(activate(X:S))
 AFTERNTH(N:S,XS:S) -> U11#(tt,N:S,XS:S)
 FST(pair(X:S,Y:S)) -> U21#(tt,X:S)
 HEAD(cons(N:S,XS:S)) -> U31#(tt,N:S)
 SEL(N:S,XS:S) -> U41#(tt,N:S,XS:S)
 SND(pair(X:S,Y:S)) -> U51#(tt,Y:S)
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61#(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> ACTIVATE(XS:S)
 TAIL(cons(N:S,XS:S)) -> U71#(tt,activate(XS:S))
 TAIL(cons(N:S,XS:S)) -> ACTIVATE(XS:S)
 TAKE(N:S,XS:S) -> U81#(tt,N:S,XS:S)
-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U11#(tt,N:S,XS:S) -> U12#(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U11#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U11#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> SND(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U12#(tt,N:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 U21#(tt,X:S) -> U22#(tt,activate(X:S))
 U21#(tt,X:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U22#(tt,X:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U31#(tt,N:S) -> U32#(tt,activate(N:S))
 U31#(tt,N:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U32#(tt,N:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U41#(tt,N:S,XS:S) -> U42#(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U41#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U41#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> AFTERNTH(activate(N:S),activate(XS:S))
 U42#(tt,N:S,XS:S) -> HEAD(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51#(tt,Y:S) -> U52#(tt,activate(Y:S))
 U51#(tt,Y:S) -> ACTIVATE(Y:S)
 U52#(tt,Y:S) -> ACTIVATE(Y:S)
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64#(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 U64#(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> ACTIVATE(X:S)
 U71#(tt,XS:S) -> U72#(tt,activate(XS:S))
 U71#(tt,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U72#(tt,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U81#(tt,N:S,XS:S) -> U82#(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U81#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U81#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(N:S)
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> ACTIVATE(XS:S)
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> FST(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U82#(tt,N:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 ACTIVATE(n__natsFrom(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
 ACTIVATE(n__natsFrom(X:S)) -> NATSFROM(activate(X:S))
 ACTIVATE(n__s(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
 ACTIVATE(n__s(X:S)) -> S(activate(X:S))
 AFTERNTH(N:S,XS:S) -> U11#(tt,N:S,XS:S)
 FST(pair(X:S,Y:S)) -> U21#(tt,X:S)
 HEAD(cons(N:S,XS:S)) -> U31#(tt,N:S)
 SEL(N:S,XS:S) -> U41#(tt,N:S,XS:S)
 SND(pair(X:S,Y:S)) -> U51#(tt,Y:S)
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61#(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> ACTIVATE(XS:S)
 TAIL(cons(N:S,XS:S)) -> U71#(tt,activate(XS:S))
 TAIL(cons(N:S,XS:S)) -> ACTIVATE(XS:S)
 TAKE(N:S,XS:S) -> U81#(tt,N:S,XS:S)
-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 ACTIVATE(n__natsFrom(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
 ACTIVATE(n__s(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
->->-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61#(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
->->-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)


The problem is decomposed in 2 subproblems.

Problem 1.1: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 ACTIVATE(n__natsFrom(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
 ACTIVATE(n__s(X:S)) -> ACTIVATE(X:S)
-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
->Projection:
 pi(ACTIVATE) = 1

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.2: 

Reduction Pair Processor:
-> Pairs:
 U61#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61#(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
-> Usable rules:
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 Natural Numbers
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[activate](X) = X
[natsFrom](X) = 2.X + 2
[s](X) = 2.X + 2
[cons](X1,X2) = 2.X1 + 2
[n__natsFrom](X) = 2.X + 2
[n__s](X) = 2.X + 2
[tt] = 2
[U61#](X1,X2,X3,X4) = 2.X1 + 2.X2
[U62#](X1,X2,X3,X4) = 2.X2 + 2
[U63#](X1,X2,X3,X4) = 2.X2 + 2
[SPLITAT](X1,X2) = 2.X1 + 1

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 U62#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63#(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63#(tt,N:S,X:S,XS:S) -> SPLITAT(activate(N:S),activate(XS:S))
 SPLITAT(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61#(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
-> Rules:
 U11(tt,N:S,XS:S) -> U12(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U12(tt,N:S,XS:S) -> snd(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U21(tt,X:S) -> U22(tt,activate(X:S))
 U22(tt,X:S) -> activate(X:S)
 U31(tt,N:S) -> U32(tt,activate(N:S))
 U32(tt,N:S) -> activate(N:S)
 U41(tt,N:S,XS:S) -> U42(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U42(tt,N:S,XS:S) -> head(afterNth(activate(N:S),activate(XS:S)))
 U51(tt,Y:S) -> U52(tt,activate(Y:S))
 U52(tt,Y:S) -> activate(Y:S)
 U61(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U62(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U62(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U63(tt,activate(N:S),activate(X:S),activate(XS:S))
 U63(tt,N:S,X:S,XS:S) -> U64(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)),activate(X:S))
 U64(pair(YS:S,ZS:S),X:S) -> pair(cons(activate(X:S),YS:S),ZS:S)
 U71(tt,XS:S) -> U72(tt,activate(XS:S))
 U72(tt,XS:S) -> activate(XS:S)
 U81(tt,N:S,XS:S) -> U82(tt,activate(N:S),activate(XS:S))
 U82(tt,N:S,XS:S) -> fst(splitAt(activate(N:S),activate(XS:S)))
 activate(n__natsFrom(X:S)) -> natsFrom(activate(X:S))
 activate(n__s(X:S)) -> s(activate(X:S))
 activate(X:S) -> X:S
 afterNth(N:S,XS:S) -> U11(tt,N:S,XS:S)
 fst(pair(X:S,Y:S)) -> U21(tt,X:S)
 head(cons(N:S,XS:S)) -> U31(tt,N:S)
 natsFrom(N:S) -> cons(N:S,n__natsFrom(n__s(N:S)))
 natsFrom(X:S) -> n__natsFrom(X:S)
 s(X:S) -> n__s(X:S)
 sel(N:S,XS:S) -> U41(tt,N:S,XS:S)
 snd(pair(X:S,Y:S)) -> U51(tt,Y:S)
 splitAt(s(N:S),cons(X:S,XS:S)) -> U61(tt,N:S,X:S,activate(XS:S))
 splitAt(0,XS:S) -> pair(nil,XS:S)
 tail(cons(N:S,XS:S)) -> U71(tt,activate(XS:S))
 take(N:S,XS:S) -> U81(tt,N:S,XS:S)
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.