/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


YES

Problem 1: 

(VAR v_NonEmpty:S m:S n:S x:S y:S)
(RULES
app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
app(nil,y:S) -> y:S
head(add(n:S,x:S)) -> n:S
high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
high(n:S,nil) -> nil
if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
isempty(nil) -> ttrue
le(0,y:S) -> ttrue
le(s(x:S),0) -> ffalse
le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
low(n:S,nil) -> nil
quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
)

Problem 1: 

Innermost Equivalent Processor:
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
-> The term rewriting system is non-overlaping or locally confluent overlay system. Therefore, innermost termination implies termination.
 

Problem 1: 

Dependency Pairs Processor:
-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> APP(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(x:S)
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 QUICKSORT(x:S) -> HEAD(x:S)
 QUICKSORT(x:S) -> HIGH(head(x:S),tail(x:S))
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 QUICKSORT(x:S) -> ISEMPTY(x:S)
 QUICKSORT(x:S) -> LOW(head(x:S),tail(x:S))
 QUICKSORT(x:S) -> TAIL(x:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S

Problem 1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> APP(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(x:S)
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> LE(m:S,n:S)
 QUICKSORT(x:S) -> HEAD(x:S)
 QUICKSORT(x:S) -> HIGH(head(x:S),tail(x:S))
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 QUICKSORT(x:S) -> ISEMPTY(x:S)
 QUICKSORT(x:S) -> LOW(head(x:S),tail(x:S))
 QUICKSORT(x:S) -> TAIL(x:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(x:S)
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S


The problem is decomposed in 5 subproblems.

Problem 1.1: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 LE(s(x:S),s(y:S)) -> LE(x:S,y:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Projection:
 pi(LE) = 1

Problem 1.1: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.2: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 IF_LOW(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 IF_LOW(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> LOW(n:S,x:S)
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Projection:
 pi(IF_LOW) = 3
 pi(LOW) = 2

Problem 1.2: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 LOW(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_LOW(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.3: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 IF_HIGH(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
 IF_HIGH(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> HIGH(n:S,x:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Projection:
 pi(HIGH) = 2
 pi(IF_HIGH) = 3

Problem 1.3: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 HIGH(n:S,add(m:S,x:S)) -> IF_HIGH(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.4: 

Subterm Processor:
-> Pairs:
 APP(add(n:S,x:S),y:S) -> APP(x:S,y:S)
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Projection:
 pi(APP) = 1

Problem 1.4: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 Empty
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.

Problem 1.5: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(x:S)
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
-> Usable rules:
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 All rationals
->Dimension:
 1
->Bound:
 4
->Interpretation:
 
[app](X1,X2) = 0
[head](X) = 3.X
[high](X1,X2) = 4/3.X2
[if_high](X1,X2,X3) = 4/3.X3
[if_low](X1,X2,X3) = X3
[if_qs](X1,X2,X3,X4) = 0
[isempty](X) = 1/4.X
[le](X1,X2) = 1/2
[low](X1,X2) = X2
[quicksort](X) = 0
[tail](X) = 1/4.X
[0] = 0
[add](X1,X2) = 3.X1 + 4.X2 + 4
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 1/2
[nil] = 3
[s](X) = 3.X + 3/4
[true] = 0
[APP](X1,X2) = 0
[HEAD](X) = 0
[HIGH](X1,X2) = 0
[IF_HIGH](X1,X2,X3) = 0
[IF_LOW](X1,X2,X3) = 0
[IF_QS](X1,X2,X3,X4) = 1/3.X1 + 1/3.X2 + 1/4.X4 + 1/3
[ISEMPTY](X) = 0
[LE](X1,X2) = 0
[LOW](X1,X2) = 0
[QUICKSORT](X) = 1/4.X + 1/3
[TAIL](X) = 0

Problem 1.5: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
->->Cycle:
->->-> Pairs:
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
->->-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S

Problem 1.5: 

Reduction Pairs Processor:
-> Pairs:
 IF_QS(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> QUICKSORT(y:S)
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
-> Usable rules:
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Interpretation type:
 Linear
->Coefficients:
 All rationals
->Dimension:
 1
->Bound:
 2
->Interpretation:
 
[app](X1,X2) = 0
[head](X) = X
[high](X1,X2) = X2
[if_high](X1,X2,X3) = X3
[if_low](X1,X2,X3) = 2.X3 + 2
[if_qs](X1,X2,X3,X4) = 0
[isempty](X) = 1/2.X
[le](X1,X2) = 2.X2
[low](X1,X2) = 2.X2 + 2
[quicksort](X) = 0
[tail](X) = 1/2.X
[0] = 1/2
[add](X1,X2) = X1 + 2.X2 + 2
[fSNonEmpty] = 0
[false] = 1/2
[nil] = 0
[s](X) = X
[true] = 0
[APP](X1,X2) = 0
[HEAD](X) = 0
[HIGH](X1,X2) = 0
[IF_HIGH](X1,X2,X3) = 0
[IF_LOW](X1,X2,X3) = 0
[IF_QS](X1,X2,X3,X4) = 2.X1 + 2.X4 + 2
[ISEMPTY](X) = 0
[LE](X1,X2) = 0
[LOW](X1,X2) = 0
[QUICKSORT](X) = 2.X + 2
[TAIL](X) = 0

Problem 1.5: 

SCC Processor:
-> Pairs:
 QUICKSORT(x:S) -> IF_QS(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
-> Rules:
 app(add(n:S,x:S),y:S) -> add(n:S,app(x:S,y:S))
 app(nil,y:S) -> y:S
 head(add(n:S,x:S)) -> n:S
 high(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_high(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 high(n:S,nil) -> nil
 if_high(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,high(n:S,x:S))
 if_high(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> high(n:S,x:S)
 if_low(ffalse,n:S,add(m:S,x:S)) -> low(n:S,x:S)
 if_low(ttrue,n:S,add(m:S,x:S)) -> add(m:S,low(n:S,x:S))
 if_qs(ffalse,x:S,n:S,y:S) -> app(quicksort(x:S),add(n:S,quicksort(y:S)))
 if_qs(ttrue,x:S,n:S,y:S) -> nil
 isempty(add(n:S,x:S)) -> ffalse
 isempty(nil) -> ttrue
 le(0,y:S) -> ttrue
 le(s(x:S),0) -> ffalse
 le(s(x:S),s(y:S)) -> le(x:S,y:S)
 low(n:S,add(m:S,x:S)) -> if_low(le(m:S,n:S),n:S,add(m:S,x:S))
 low(n:S,nil) -> nil
 quicksort(x:S) -> if_qs(isempty(x:S),low(head(x:S),tail(x:S)),head(x:S),high(head(x:S),tail(x:S)))
 tail(add(n:S,x:S)) -> x:S
->Strongly Connected Components:
 There is no strongly connected component

The problem is finite.