/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 2 ↦ 1, 1 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 1 0 2 1 2 2 2 2 2 3 3 1 3 2 2 ⟶ 1 2 0 2 1 0 2 0 3 0 2 3 1 2 2 2 3 2 , 0 0 2 0 1 0 1 1 3 1 1 2 2 1 2 2 0 1 ⟶ 0 1 2 3 2 1 2 1 0 2 0 1 0 2 1 1 0 1 , 0 0 1 0 2 0 1 0 2 1 3 1 0 3 3 2 2 2 ⟶ 1 1 0 2 0 0 0 2 1 0 3 3 0 3 1 2 2 2 , 0 0 1 3 3 0 0 0 2 2 1 3 2 2 2 1 3 1 ⟶ 1 0 3 1 0 2 0 2 0 2 0 3 3 3 2 1 2 1 , 0 2 0 0 0 0 2 3 3 3 3 2 2 1 2 0 0 1 ⟶ 0 1 3 2 0 2 2 0 0 0 3 0 2 3 0 1 2 3 , 0 2 2 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 0 2 1 3 2 ⟶ 0 2 1 1 0 2 2 2 0 0 2 3 0 2 2 0 1 2 , 0 2 2 1 3 3 1 0 2 2 1 3 3 1 0 3 2 2 ⟶ 1 1 1 0 2 3 3 0 3 3 2 1 2 2 3 0 2 2 , 0 2 1 0 0 0 3 1 0 1 3 0 0 1 0 0 1 1 ⟶ 0 1 0 1 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 0 1 1 1 , 0 1 0 1 2 0 1 2 0 3 0 0 3 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3 0 3 3 1 3 , 1 1 3 0 2 1 3 2 1 0 1 0 2 1 3 3 2 0 ⟶ 0 1 1 1 2 3 0 1 1 3 3 2 2 0 3 1 2 0 , 1 1 3 3 1 0 0 1 0 2 0 0 0 2 1 1 3 3 ⟶ 1 1 1 0 0 1 3 0 2 2 3 0 3 0 1 0 1 3 , 1 3 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3 1 3 1 ⟶ 1 2 3 2 3 2 1 1 2 3 3 3 1 1 1 2 2 1 , 1 3 1 0 2 2 2 0 0 2 0 3 0 1 0 0 0 1 ⟶ 1 0 0 0 0 2 0 2 1 2 0 3 0 1 0 2 3 1 , 1 3 3 0 0 0 0 3 1 0 3 0 0 1 2 1 2 0 ⟶ 1 1 1 0 0 0 0 0 3 1 0 3 2 2 3 0 3 0 , 1 3 3 3 2 1 0 3 3 0 3 3 3 2 0 2 2 1 ⟶ 1 3 2 3 3 0 3 2 3 2 3 0 3 2 3 1 0 1 , 3 0 0 0 2 1 2 1 2 3 0 0 1 3 3 2 0 1 ⟶ 3 0 2 2 3 3 0 0 1 1 0 0 0 2 2 1 3 1 , 3 0 0 0 3 3 3 2 3 0 2 0 0 3 1 3 1 2 ⟶ 3 0 1 0 3 3 0 3 0 2 1 3 3 0 2 3 0 2 , 3 0 0 2 0 0 1 1 2 1 3 3 3 0 0 0 1 0 ⟶ 2 0 3 3 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 3 0 3 0 , 3 0 0 1 3 0 3 3 1 2 3 1 0 0 0 1 3 1 ⟶ 3 1 3 0 0 3 0 1 1 0 0 3 1 2 3 1 0 3 , 3 0 0 1 3 3 1 1 2 1 2 3 3 3 2 3 3 3 ⟶ 3 0 3 3 3 3 2 3 1 1 3 0 1 1 2 3 2 3 , 3 0 1 0 0 3 1 0 3 3 3 2 1 0 1 3 1 0 ⟶ 3 1 3 3 1 0 3 2 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 , 3 0 1 2 1 2 3 0 0 2 2 2 3 1 0 0 1 2 ⟶ 3 1 2 3 0 0 2 2 0 0 3 0 2 1 2 1 1 2 , 3 0 3 0 1 2 2 2 0 3 1 0 1 3 2 1 3 3 ⟶ 3 0 3 0 2 2 0 2 1 0 3 2 3 3 1 3 1 1 , 3 2 0 3 3 0 1 2 1 0 2 3 2 2 0 3 3 3 ⟶ 3 0 2 2 3 1 2 3 0 3 3 3 0 0 2 1 2 3 , 3 2 1 2 0 3 3 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 ⟶ 3 2 2 0 3 2 2 2 2 0 3 0 2 2 1 2 2 2 , 3 2 1 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 0 3 0 1 1 ⟶ 2 3 3 3 0 3 1 1 2 2 2 3 1 2 0 3 1 1 , 3 2 3 3 3 1 3 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 2 ⟶ 3 3 0 0 3 0 3 2 0 1 1 1 0 3 2 0 1 2 , 3 1 0 0 2 2 2 2 0 2 1 3 3 1 1 2 2 2 ⟶ 2 2 1 0 0 3 2 2 3 0 3 2 1 2 2 1 1 2 , 3 1 0 2 3 2 3 3 3 3 3 1 2 3 0 1 3 3 ⟶ 3 0 3 3 3 3 1 1 1 2 0 3 2 3 3 2 3 3 , 3 1 1 1 1 3 0 0 3 1 2 1 3 1 3 3 3 3 ⟶ 3 1 0 3 1 1 3 3 1 1 3 2 3 3 1 1 0 3 , 3 3 0 0 0 0 1 0 2 3 3 3 3 3 0 1 2 2 ⟶ 3 2 3 0 3 1 0 2 3 0 1 0 0 3 0 3 3 2 , 3 3 2 0 2 0 1 3 0 0 3 2 0 0 3 0 3 0 ⟶ 3 0 0 3 2 3 2 2 3 0 0 3 0 0 3 0 1 0 , 3 3 2 2 0 2 2 0 2 2 3 2 0 2 2 1 2 2 ⟶ 3 0 0 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 0 2 , 3 3 2 1 2 2 1 2 0 2 2 0 3 3 1 3 3 3 ⟶ 1 2 3 1 2 2 3 1 3 2 3 2 2 3 0 0 3 3 , 3 3 1 1 1 1 2 1 1 0 1 2 2 1 3 2 3 2 ⟶ 3 1 1 1 3 1 1 3 0 2 2 2 1 1 1 2 3 2 , 3 3 1 3 1 2 3 1 1 2 0 2 1 3 1 1 3 0 ⟶ 3 3 1 0 3 1 1 2 3 2 2 3 1 1 3 1 1 0 , 3 3 3 0 3 2 1 0 0 1 0 0 2 2 3 3 2 2 ⟶ 3 2 2 3 2 1 1 3 0 0 3 2 3 0 3 0 0 2 , 3 3 3 2 0 2 0 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 ⟶ 3 1 1 1 0 2 2 3 2 1 3 2 0 2 2 2 2 3 , 3 3 3 1 2 3 1 0 2 3 1 0 0 1 0 3 3 0 ⟶ 1 2 3 0 3 1 3 0 3 0 3 2 3 1 0 3 1 0 , 3 3 3 3 0 2 3 1 3 3 2 0 0 2 3 3 3 2 ⟶ 3 1 3 3 2 2 3 0 3 3 3 2 3 0 3 0 3 2 , 3 3 3 3 3 2 3 2 0 3 2 2 0 3 1 3 3 3 ⟶ 3 3 2 3 2 3 3 0 3 2 1 3 2 3 3 3 0 3 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,1) ↦ 4, (1,2) ↦ 5, (2,2) ↦ 6, (2,3) ↦ 7, (3,3) ↦ 8, (3,1) ↦ 9, (1,3) ↦ 10, (3,2) ↦ 11, (2,0) ↦ 12, (0,3) ↦ 13, (3,0) ↦ 14, (2,5) ↦ 15, (1,1) ↦ 16, (4,0) ↦ 17, (4,1) ↦ 18, (1,5) ↦ 19, (3,5) ↦ 20, (4,2) ↦ 21, (0,5) ↦ 22, (4,3) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 0 0 1 2 3 12 1 2 3 4 10 9 2 13 8 11 6 6 12 ⟶ 1 16 2 3 12 0 0 3 4 2 13 8 14 13 9 5 6 6 12 , 0 0 1 2 3 12 1 2 3 4 10 9 2 13 8 11 6 6 4 ⟶ 1 16 2 3 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8 8 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1995-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 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14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 15 ⟶ 13 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 15 , 10 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 12 ⟶ 10 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 12 , 10 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 4 ⟶ 10 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 4 , 10 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 6 ⟶ 10 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 6 , 10 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 7 ⟶ 10 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 7 , 10 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 15 ⟶ 10 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 15 , 7 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 12 ⟶ 7 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 12 , 7 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 4 ⟶ 7 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 4 , 7 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 6 ⟶ 7 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 6 , 7 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 7 ⟶ 7 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 7 , 7 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 15 ⟶ 7 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 15 , 8 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 12 ⟶ 8 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 12 , 8 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 4 ⟶ 8 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 4 , 8 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 6 ⟶ 8 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 6 , 8 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 7 ⟶ 8 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 7 , 8 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 15 ⟶ 8 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 15 , 23 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 12 ⟶ 23 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 12 , 23 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 4 ⟶ 23 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 4 , 23 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 6 ⟶ 23 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 6 , 23 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 7 ⟶ 23 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 7 , 23 8 8 8 14 3 7 9 10 8 11 12 0 3 7 8 8 11 15 ⟶ 23 9 10 8 11 6 7 14 13 8 8 11 7 14 13 14 13 11 15 , 13 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 13 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 13 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 13 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 13 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 13 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 13 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 13 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 13 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 13 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1990-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 18 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 0 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 0 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 2 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 2 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 12 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 12 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 14 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 19 ⟶ 14 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 19 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 2 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 2 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 16 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 16 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 5 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 5 , 17 0 3 12 1 2 1 16 10 9 16 5 6 4 5 6 12 1 10 ⟶ 17 1 5 7 11 4 5 4 2 3 12 1 2 3 4 16 2 1 10 , 17 0 3 12 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7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1965-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 1 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 16 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 4 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 6 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 6 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 7 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 7 , 12 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 15 ⟶ 4 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 15 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 12 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 9 5 6 6 7 11 12 , 14 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 7 8 9 10 11 6 4 ⟶ 9 5 12 3 4 2 3 12 13 14 3 7 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11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 10 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 10 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 7 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 7 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 8 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 8 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 14 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 14 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 9 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 9 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 11 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 11 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 8 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 8 , 23 8 8 8 8 11 7 11 12 13 11 6 12 13 9 10 8 8 20 ⟶ 23 8 11 7 11 7 8 14 13 11 4 10 11 7 8 8 14 13 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.