/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 3 ↦ 2, 2 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 1 2 2 0 1 0 1 0 3 1 3 0 3 3 0 ⟶ 0 0 0 0 1 0 3 3 1 1 3 3 2 0 0 2 1 0 , 0 0 1 0 3 1 0 0 2 0 1 2 0 0 0 2 2 1 ⟶ 0 0 0 2 0 1 0 2 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 , 0 0 3 0 3 0 0 3 1 3 3 1 1 1 0 3 2 3 ⟶ 0 1 0 3 3 1 0 0 0 0 3 3 3 3 1 2 1 3 , 0 0 3 0 2 0 0 3 0 0 1 0 3 3 1 3 3 0 ⟶ 0 0 2 1 3 3 3 3 0 0 0 3 0 1 0 0 3 0 , 0 0 2 2 2 0 3 2 1 0 1 2 2 0 0 0 1 0 ⟶ 0 1 0 1 0 2 2 2 0 0 0 2 0 2 1 3 2 0 , 0 1 3 2 3 0 3 2 1 0 0 2 1 1 1 1 1 3 ⟶ 0 3 0 1 2 3 1 0 2 0 1 3 1 1 2 1 1 3 , 0 1 2 0 1 3 0 0 3 2 1 2 1 3 2 1 0 3 ⟶ 0 2 0 1 0 0 2 3 2 1 3 1 1 1 2 0 3 3 , 0 3 0 0 3 2 2 2 1 0 1 2 1 2 3 0 3 2 ⟶ 0 3 1 2 0 3 2 0 2 2 1 2 3 2 3 0 0 1 , 0 3 0 1 0 2 1 0 1 1 0 1 3 1 3 0 3 0 ⟶ 0 1 0 0 3 1 1 0 1 1 2 3 3 1 0 0 3 0 , 0 3 1 0 1 2 0 2 3 0 2 1 0 1 0 2 0 2 ⟶ 0 2 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 2 3 1 2 0 2 , 0 3 3 2 2 2 0 1 2 0 3 1 3 1 2 0 3 2 ⟶ 0 3 2 3 0 2 3 1 1 2 2 0 2 3 0 1 3 2 , 0 3 2 1 0 0 2 1 0 3 1 3 0 2 2 0 3 2 ⟶ 0 3 0 0 0 1 1 2 2 0 2 3 2 3 0 1 3 2 , 0 3 2 2 0 2 0 0 0 0 3 2 2 0 1 2 0 0 ⟶ 0 0 2 0 2 2 0 2 3 3 0 0 2 0 1 2 0 0 , 0 3 2 2 2 3 3 2 0 1 0 3 0 2 0 0 0 2 ⟶ 0 2 2 3 3 3 0 0 2 2 0 0 1 0 2 3 0 2 , 0 2 0 0 3 0 3 1 1 2 2 2 1 0 1 0 0 2 ⟶ 0 0 0 1 1 0 1 3 2 0 2 2 3 0 2 1 0 2 , 0 2 1 1 3 3 2 0 0 3 1 2 2 2 3 3 2 3 ⟶ 0 2 0 1 2 3 1 2 0 2 3 3 2 3 3 1 2 3 , 0 2 3 3 0 0 0 0 1 0 1 2 2 2 0 0 0 2 ⟶ 0 2 1 3 0 0 0 0 3 0 2 0 1 0 2 2 0 2 , 1 0 0 0 3 3 2 2 1 3 0 3 3 2 1 3 1 3 ⟶ 3 0 2 0 2 3 3 3 3 1 0 1 3 1 2 1 0 3 , 1 0 0 3 0 0 3 1 1 3 2 2 1 3 3 0 1 1 ⟶ 3 3 0 0 0 0 2 3 1 2 1 3 1 3 1 0 1 1 , 1 0 0 3 1 0 0 2 0 0 0 1 2 2 2 1 0 2 ⟶ 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 3 2 0 2 0 2 0 2 , 1 0 1 2 1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 0 3 2 2 ⟶ 1 2 3 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 2 2 , 1 0 3 0 1 1 3 2 0 0 3 0 3 1 0 1 0 2 ⟶ 3 3 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1 1 3 1 , 3 3 0 3 3 1 3 0 3 2 2 3 1 3 0 3 1 2 ⟶ 3 3 2 0 2 0 1 3 3 3 3 1 3 3 1 0 3 2 , 3 3 0 3 2 0 3 3 0 3 0 1 1 3 3 1 1 3 ⟶ 3 3 3 0 3 1 3 0 0 2 3 1 1 1 0 3 3 3 , 3 3 1 0 3 2 0 3 0 3 0 1 0 3 0 3 3 3 ⟶ 3 3 3 3 0 0 0 1 1 2 3 3 0 3 0 0 3 3 , 3 3 1 1 1 0 3 2 3 3 2 2 2 0 1 1 2 2 ⟶ 3 1 1 2 3 2 0 3 1 0 3 1 2 2 3 1 2 2 , 3 3 1 1 1 1 2 0 3 2 3 1 3 2 2 2 3 2 ⟶ 3 3 3 3 2 1 1 1 3 1 1 2 0 2 2 3 2 2 , 3 3 3 3 2 1 0 3 0 3 0 3 0 1 3 3 1 3 ⟶ 3 3 0 3 3 1 3 0 0 3 3 0 2 3 1 1 3 3 , 3 3 3 3 2 2 1 1 3 0 3 1 2 0 1 0 3 2 ⟶ 3 3 0 0 2 1 2 1 2 3 1 3 3 3 1 0 3 2 , 3 3 2 1 0 1 0 3 0 3 3 2 1 1 3 3 3 0 ⟶ 3 3 1 3 0 0 3 1 1 2 0 3 3 1 2 3 3 0 , 3 3 2 3 1 0 2 0 3 2 3 1 3 3 1 1 3 1 ⟶ 3 3 2 0 1 2 0 2 3 3 1 1 3 3 3 3 1 1 , 3 2 0 3 1 3 1 2 1 1 0 1 2 1 3 0 3 1 ⟶ 3 1 1 0 2 0 0 1 2 1 3 3 2 1 3 1 3 1 , 3 2 1 3 0 3 1 3 3 1 1 3 2 0 3 0 3 3 ⟶ 3 3 3 3 2 3 3 3 1 2 3 1 1 0 0 1 0 3 , 3 2 1 2 3 1 3 3 2 2 0 1 0 3 1 3 3 3 ⟶ 3 2 0 0 3 3 1 2 1 3 2 1 2 1 3 3 3 3 , 3 2 3 3 2 2 3 3 0 3 3 2 0 1 3 2 3 0 ⟶ 3 3 2 1 3 3 3 2 3 2 0 2 3 3 3 0 2 0 , 3 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0 0 2 2 1 3 2 0 3 2 2 ⟶ 2 2 0 2 3 0 2 2 3 0 1 1 0 2 2 1 2 2 , 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 ⟶ 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 3 0 1 2 , 2 2 3 2 0 0 0 1 2 2 2 3 3 0 3 3 2 2 ⟶ 2 2 0 1 2 3 2 3 3 3 2 0 2 0 0 3 2 2 , 2 2 2 0 0 1 2 0 2 0 0 3 3 2 1 1 2 2 ⟶ 2 2 0 2 1 2 2 3 0 2 0 1 0 3 0 1 2 2 , 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 1 1 0 1 2 0 1 0 ⟶ 2 2 1 0 0 1 1 2 0 2 1 1 2 2 2 1 2 0 , 2 2 2 2 1 0 1 3 3 3 2 2 1 0 0 3 0 0 ⟶ 2 2 0 2 3 2 3 3 1 1 0 1 2 2 3 0 0 0 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 3 ↦ 1, 1 ↦ 2, 2 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 1 1 0 1 2 1 0 2 0 2 0 3 3 2 0 0 0 ⟶ 0 2 3 0 0 3 1 1 2 2 1 1 0 2 0 0 0 0 , 2 3 3 0 0 0 3 2 0 3 0 0 2 1 0 2 0 0 ⟶ 2 3 2 1 3 2 0 0 0 0 3 0 2 0 3 0 0 0 , 1 3 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0 0 1 0 1 0 0 ⟶ 1 2 3 2 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 2 0 , 0 1 1 2 1 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 1 0 0 ⟶ 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 3 0 0 , 0 2 0 0 0 3 3 2 0 2 3 1 0 3 3 3 0 0 ⟶ 0 3 1 2 3 0 3 0 0 0 3 3 3 0 2 0 2 0 , 1 2 2 2 2 2 3 0 0 2 3 1 0 1 3 1 2 0 ⟶ 1 2 2 3 2 2 1 2 0 3 0 2 1 3 2 0 1 0 , 1 0 2 3 1 2 3 2 3 1 0 0 1 2 0 3 2 0 ⟶ 1 1 0 3 2 2 2 1 2 3 1 3 0 0 2 0 3 0 , 3 1 0 1 3 2 3 2 0 2 3 3 3 1 0 0 1 0 ⟶ 2 0 0 1 3 1 3 2 3 3 0 3 1 0 3 2 1 0 , 0 1 0 1 2 1 2 0 2 2 0 2 3 0 2 0 1 0 ⟶ 0 1 0 0 2 1 1 3 2 2 0 2 2 1 0 0 2 0 , 3 0 3 0 2 0 2 3 0 1 3 0 3 2 0 2 1 0 ⟶ 3 0 3 2 1 3 2 0 1 3 2 2 0 0 0 0 3 0 , 3 1 0 3 2 1 2 1 0 3 2 0 3 3 3 1 1 0 ⟶ 3 1 2 0 1 3 0 3 3 2 2 1 3 0 1 3 1 0 , 3 1 0 3 3 0 1 2 1 0 2 3 0 0 2 3 1 0 ⟶ 3 1 2 0 1 3 1 3 0 3 3 2 2 0 0 0 1 0 , 0 0 3 2 0 3 3 1 0 0 0 0 3 0 3 3 1 0 ⟶ 0 0 3 2 0 3 0 0 1 1 3 0 3 3 0 3 0 0 , 3 0 0 0 3 0 1 0 2 0 3 1 1 3 3 3 1 0 ⟶ 3 0 1 3 0 2 0 0 3 3 0 0 1 1 1 3 3 0 , 3 0 0 2 0 2 3 3 3 2 2 1 0 1 0 0 3 0 ⟶ 3 0 2 3 0 1 3 3 0 3 1 2 0 2 2 0 0 0 , 1 3 1 1 3 3 3 2 1 0 0 3 1 1 2 2 3 0 ⟶ 1 3 2 1 1 3 1 1 3 0 3 2 1 3 2 0 3 0 , 3 0 0 0 3 3 3 2 0 2 0 0 0 0 1 1 3 0 ⟶ 3 0 3 3 0 2 0 3 0 1 0 0 0 0 1 2 3 0 , 1 2 1 2 3 1 1 0 1 2 3 3 1 1 0 0 0 2 ⟶ 1 0 2 3 2 1 2 0 2 1 1 1 1 3 0 3 0 1 , 2 2 0 1 1 2 3 3 1 2 2 1 0 0 1 0 0 2 ⟶ 2 2 0 2 1 2 1 2 3 2 1 3 0 0 0 0 1 1 , 3 0 2 3 3 3 2 0 0 0 3 0 0 2 1 0 0 2 ⟶ 3 0 3 0 3 0 3 1 0 2 3 2 0 0 0 2 0 2 , 3 3 1 0 2 2 0 2 2 3 3 2 0 2 3 2 0 2 ⟶ 3 3 2 0 2 2 0 0 3 2 2 2 3 2 0 1 3 2 , 3 0 2 0 2 1 0 1 0 0 3 1 2 2 0 1 0 2 ⟶ 3 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 3 0 0 0 2 1 1 , 3 1 0 3 1 2 3 1 0 2 3 0 2 3 1 1 0 2 ⟶ 3 1 0 2 1 2 3 3 0 0 1 2 1 3 0 1 3 2 , 1 2 0 1 0 1 0 0 2 2 0 2 2 0 2 3 0 2 ⟶ 1 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 1 2 0 3 1 2 2 , 0 2 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 1 2 2 2 ⟶ 0 2 1 1 3 2 0 1 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 , 2 0 3 3 3 2 1 0 0 3 3 3 3 2 3 1 2 2 ⟶ 3 2 3 0 1 3 3 2 3 3 0 1 3 0 3 2 2 2 , 2 2 1 0 2 1 0 2 2 1 2 2 0 3 3 1 2 2 ⟶ 2 1 1 0 1 3 2 2 0 2 3 2 2 1 2 0 2 2 , 2 0 1 0 0 1 2 2 3 0 3 2 3 1 2 3 2 2 ⟶ 2 0 1 0 0 3 0 1 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2 , 0 0 1 0 1 2 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 2 ⟶ 0 0 1 1 1 1 2 3 2 2 0 1 1 2 0 2 1 0 , 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 0 1 2 2 3 0 1 2 ⟶ 1 1 1 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2 2 0 3 0 2 , 0 0 2 2 0 3 1 3 0 0 3 1 1 2 0 1 1 2 ⟶ 0 0 0 1 1 3 1 3 2 2 3 2 1 1 2 0 0 0 , 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 1 2 3 2 2 3 1 2 ⟶ 2 2 1 1 1 1 3 2 3 2 2 1 3 2 1 3 1 2 , 0 1 2 0 2 3 1 1 0 3 1 0 3 1 0 1 3 2 ⟶ 0 1 2 2 3 0 1 3 1 3 1 1 0 0 0 1 3 2 , 1 3 1 2 0 1 1 0 1 3 3 3 3 2 0 0 0 1 ⟶ 1 3 3 1 3 0 0 0 0 0 2 2 1 1 3 3 1 1 , 0 1 0 3 1 0 3 0 3 0 1 0 2 1 3 0 0 1 ⟶ 0 1 3 3 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 3 1 , 1 2 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 3 0 0 1 0 1 ⟶ 1 0 3 0 3 2 3 1 2 2 1 0 3 2 1 1 1 1 , 0 0 1 0 3 3 1 2 1 2 0 3 1 2 0 1 0 1 ⟶ 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 0 0 3 3 2 3 1 1 , 1 1 3 3 3 2 3 1 2 3 1 3 0 0 2 1 0 1 ⟶ 1 1 3 2 1 2 0 0 3 0 1 3 3 2 3 3 1 1 , 1 2 1 0 0 2 2 0 3 1 1 0 3 1 2 0 2 1 ⟶ 2 2 1 2 1 1 3 2 1 0 3 0 2 0 0 0 1 1 , 1 0 2 3 2 2 1 0 1 2 1 0 2 3 3 0 2 1 ⟶ 1 2 1 3 2 1 1 2 2 3 1 0 0 0 0 3 2 2 , 1 2 2 3 2 1 0 2 3 1 2 1 1 1 0 2 2 1 ⟶ 2 2 0 1 3 2 2 1 1 1 3 2 0 1 1 2 2 1 , 3 0 0 2 3 3 1 2 1 0 0 2 1 0 1 2 2 1 ⟶ 3 0 2 3 2 2 0 2 0 1 0 0 1 3 2 1 1 1 , 2 1 1 1 3 0 0 1 0 3 2 3 2 2 1 2 2 1 ⟶ 2 1 1 1 1 3 1 2 0 0 3 2 2 0 2 3 2 1 , 3 0 1 0 1 3 3 3 0 0 0 3 2 1 1 2 2 1 ⟶ 3 0 1 3 1 2 0 2 2 0 1 3 0 1 3 3 0 1 , 1 1 0 1 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1 ⟶ 1 0 2 2 3 2 2 2 1 3 3 2 3 2 1 1 3 1 , 1 0 2 0 1 0 1 1 0 3 1 2 0 1 3 1 2 1 ⟶ 1 1 2 0 3 0 3 0 2 0 1 0 1 1 1 2 1 1 , 2 1 0 2 3 1 0 1 3 1 2 2 1 0 1 3 2 1 ⟶ 2 2 1 3 1 1 1 1 2 0 0 1 2 0 3 3 2 1 , 2 2 2 1 1 2 0 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 1 ⟶ 2 1 2 2 2 2 1 1 1 3 3 2 3 0 3 2 1 1 , 3 2 1 0 1 2 1 3 3 1 0 1 2 1 1 0 1 1 ⟶ 3 1 0 2 1 1 2 1 1 1 1 2 0 3 0 3 1 1 , 1 2 2 1 1 2 2 0 1 0 1 1 0 3 1 0 1 1 ⟶ 1 1 1 0 2 2 2 1 3 0 0 1 2 1 0 1 1 1 , 1 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 3 1 0 2 1 1 ⟶ 1 1 0 0 1 0 1 1 3 2 2 0 0 0 1 1 1 1 , 3 3 2 2 0 3 3 3 1 1 3 1 0 2 2 2 1 1 ⟶ 3 3 2 1 3 3 2 1 0 2 1 0 3 1 3 2 2 1 , 3 1 3 3 3 1 2 1 3 1 0 3 2 2 2 2 1 1 ⟶ 3 3 1 3 3 0 3 2 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 , 1 2 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 1 1 ⟶ 1 1 2 2 1 3 0 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 1 , 3 1 0 2 0 3 2 1 0 1 2 2 3 3 1 1 1 1 ⟶ 3 1 0 2 1 1 1 2 1 3 2 3 2 3 0 0 1 1 , 0 1 1 1 2 2 3 1 1 0 1 0 2 0 2 3 1 1 ⟶ 0 1 1 3 2 1 1 0 3 2 2 1 0 0 1 2 1 1 , 2 1 2 2 1 1 2 1 3 1 0 3 0 2 1 3 1 1 ⟶ 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 0 3 2 0 3 1 1 , 2 1 0 1 2 3 2 0 2 2 3 2 1 2 1 0 3 1 ⟶ 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 2 0 0 3 0 2 2 1 , 1 1 0 1 0 3 1 2 2 1 1 2 1 0 1 2 3 1 ⟶ 1 0 2 0 0 2 2 1 3 2 1 1 1 3 1 1 1 1 , 1 1 1 2 1 0 2 0 3 3 1 1 2 1 3 2 3 1 ⟶ 1 1 1 1 2 3 2 3 1 2 3 2 1 1 0 0 3 1 , 0 1 3 1 2 0 3 1 1 0 1 1 3 3 1 1 3 1 ⟶ 0 3 0 1 1 1 3 0 3 1 3 1 1 1 2 3 1 1 , 0 2 2 2 1 0 1 0 2 3 2 1 2 1 2 3 3 1 ⟶ 0 2 1 2 2 1 0 2 1 3 1 2 2 2 3 0 3 1 , 1 1 0 3 1 3 1 3 2 0 0 2 2 2 0 2 0 3 ⟶ 1 1 1 0 2 2 0 0 2 3 2 0 2 1 3 3 0 3 , 0 2 1 2 3 1 3 1 3 0 0 3 3 3 1 2 0 3 ⟶ 0 3 2 1 3 3 0 1 3 3 0 0 1 1 2 2 3 3 , 0 1 1 3 1 0 1 0 0 1 3 3 2 1 0 1 0 3 ⟶ 0 1 1 1 2 0 0 1 3 1 0 3 3 1 0 1 0 3 , 1 3 1 2 3 0 2 2 1 0 3 0 0 3 3 1 0 3 ⟶ 1 3 2 0 1 3 0 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 3 , 0 1 0 0 3 3 1 3 2 1 0 0 3 1 0 3 0 3 ⟶ 0 1 1 3 3 1 2 0 1 3 0 0 3 0 3 0 0 3 , 3 2 2 0 2 3 2 1 3 3 3 3 2 1 3 2 2 3 ⟶ 3 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 0 3 , 1 2 0 1 2 1 1 0 2 3 2 1 2 1 0 1 2 3 ⟶ 1 2 1 1 3 1 1 1 0 2 0 2 0 2 1 2 2 3 , 1 1 2 3 1 0 2 2 2 0 3 3 1 3 2 1 1 3 ⟶ 1 2 3 1 1 3 0 2 0 2 3 3 2 2 1 1 1 3 , 1 2 0 1 2 0 3 3 1 3 2 2 2 3 3 1 1 3 ⟶ 1 1 1 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3 2 3 2 0 3 , 0 1 3 1 2 3 1 2 1 3 0 2 0 3 3 3 1 3 ⟶ 0 3 0 1 3 2 3 1 1 2 2 3 0 1 3 1 3 3 , 2 3 2 0 2 2 3 3 3 1 3 0 2 3 0 0 3 3 ⟶ 2 3 2 0 3 0 2 3 3 0 3 3 1 2 2 0 3 3 , 2 1 1 0 0 2 3 3 2 3 1 0 2 2 0 2 3 3 ⟶ 2 1 0 1 3 2 0 3 2 2 0 3 0 2 1 3 2 3 , 3 3 1 0 3 1 2 3 3 0 0 3 3 2 0 2 3 3 ⟶ 3 3 2 3 3 0 2 2 0 1 3 3 0 1 3 0 3 3 , 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 0 2 3 3 ⟶ 3 2 0 1 3 1 1 3 2 2 2 2 3 3 1 2 3 3 , 3 3 1 1 0 1 1 3 3 3 2 0 0 0 3 1 3 3 ⟶ 3 3 1 0 0 3 0 3 1 1 1 3 1 3 2 0 3 3 , 3 3 2 2 3 1 1 0 0 3 0 3 2 0 0 3 3 3 ⟶ 3 3 2 0 1 0 2 0 3 0 1 3 3 2 3 0 3 3 , 0 2 0 3 2 0 2 2 3 3 3 2 3 0 2 3 3 3 ⟶ 0 3 2 3 3 3 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 3 , 0 0 1 0 0 2 3 3 1 1 1 2 0 2 3 3 3 3 ⟶ 0 0 0 1 3 3 2 0 2 2 1 1 3 1 3 0 3 3 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,1) ↦ 2, (1,0) ↦ 3, (1,2) ↦ 4, (2,1) ↦ 5, (0,2) ↦ 6, (2,0) ↦ 7, (0,3) ↦ 8, (3,3) ↦ 9, (3,2) ↦ 10, (2,3) ↦ 11, (3,0) ↦ 12, (3,1) ↦ 13, (2,2) ↦ 14, (0,5) ↦ 15, (4,0) ↦ 16, (1,3) ↦ 17, (4,2) ↦ 18, (4,1) ↦ 19, (4,3) ↦ 20, (2,5) ↦ 21, (1,5) ↦ 22, (3,5) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 0 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 0 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 1 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 1 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 6 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 6 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 8 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 8 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 15 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 15 , 4 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 0 ⟶ 4 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 0 , 4 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 1 ⟶ 4 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 1 , 4 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 6 ⟶ 4 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 6 , 4 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 8 ⟶ 4 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 8 , 4 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 15 ⟶ 4 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 15 , 14 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 0 ⟶ 14 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 0 , 14 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 1 ⟶ 14 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 1 , 14 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 6 ⟶ 14 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 6 , 14 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 8 ⟶ 14 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 8 , 14 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 15 ⟶ 14 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 15 , 10 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 0 ⟶ 10 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 0 , 10 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 1 ⟶ 10 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 1 , 10 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 6 ⟶ 10 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 6 , 10 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 8 ⟶ 10 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 8 , 10 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 15 ⟶ 10 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 15 , 18 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 0 ⟶ 18 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 0 , 18 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 1 ⟶ 18 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 1 , 18 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 6 ⟶ 18 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 6 , 18 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 8 ⟶ 18 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 8 , 18 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 15 ⟶ 18 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 15 , 1 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 0 ⟶ 1 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 0 , 1 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 1 ⟶ 1 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 1 , 1 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 6 ⟶ 1 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 6 , 1 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 8 ⟶ 1 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 8 , 1 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 15 ⟶ 1 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 15 , 2 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 0 ⟶ 2 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 0 , 2 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 1 ⟶ 2 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 1 , 2 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 6 ⟶ 2 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 6 , 2 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 8 ⟶ 2 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 8 , 2 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 15 ⟶ 2 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 15 , 5 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 0 ⟶ 5 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 0 , 5 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 1 ⟶ 5 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 1 , 5 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 6 ⟶ 5 4 11 10 5 2 2 2 3 0 0 0 6 5 2 3 6 7 6 , 5 17 13 3 6 14 14 5 2 4 5 3 0 1 3 1 3 0 8 ⟶ 5 4 11 10 5 2 2 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14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1990-rule system { 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 7 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 7 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 12 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 12 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 16 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 16 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 0 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 0 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 1 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 1 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 6 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 6 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 8 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 8 , 6 11 9 12 0 0 8 10 7 8 12 0 6 5 3 6 7 0 15 ⟶ 6 11 10 5 17 10 7 0 0 0 8 12 6 7 8 12 0 0 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6 11 9 9 , 16 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 23 ⟶ 16 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 23 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 7 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 7 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1980-rule system { 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 0 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 1 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 1 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 6 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 6 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 8 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 8 , 0 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 15 ⟶ 0 6 11 12 0 8 13 2 4 14 5 2 3 6 7 0 0 0 15 , 3 1 2 3 1 4 5 3 6 7 6 7 8 9 10 7 0 0 0 ⟶ 3 6 11 12 0 8 13 2 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, 7 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 10 ⟶ 7 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 10 , 7 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 9 ⟶ 7 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 9 , 7 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 23 ⟶ 7 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 23 , 12 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 12 ⟶ 12 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 12 , 12 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 13 ⟶ 12 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 13 , 12 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 10 ⟶ 12 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 10 , 12 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 9 ⟶ 12 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 9 , 12 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 23 ⟶ 12 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 23 , 16 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 12 ⟶ 16 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 12 , 16 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 13 ⟶ 16 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 13 , 16 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 10 ⟶ 16 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 10 , 16 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 9 ⟶ 16 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 9 , 16 6 7 8 10 7 6 14 11 9 9 10 11 12 6 11 9 9 23 ⟶ 16 8 10 11 9 9 10 14 11 12 8 10 14 7 0 6 11 9 23 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 0 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 0 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 3 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 3 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 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9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 12 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 12 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 12 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 12 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 13 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 13 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 10 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 10 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 9 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 9 , 16 0 1 3 0 6 11 9 13 2 2 4 7 6 11 9 9 9 23 ⟶ 16 0 0 1 17 9 10 7 6 14 5 2 17 13 17 12 8 9 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 12 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 40 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 8 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 14 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 8 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 8 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 31 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 19 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.