/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 1 2 0 0 1 2 1 0 2 0 0 2 0 2 1 2 ⟶ 0 0 0 1 2 2 0 0 1 0 1 0 2 2 2 1 0 2 , 0 1 0 1 0 1 3 0 3 0 3 1 0 2 0 0 1 0 ⟶ 0 0 3 0 1 0 2 0 3 0 1 0 3 1 1 0 1 0 , 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 3 3 2 1 0 2 1 1 ⟶ 0 2 2 1 3 0 0 3 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 , 0 1 2 0 0 0 2 1 3 0 0 3 1 1 3 3 1 3 ⟶ 0 0 0 0 0 2 0 1 3 2 3 1 3 1 1 3 1 3 , 0 1 3 1 3 1 0 3 3 0 1 0 3 0 0 1 2 2 ⟶ 0 3 0 1 1 3 0 0 1 1 0 2 0 3 3 1 3 2 , 0 1 3 2 1 0 1 3 2 2 0 1 0 2 1 3 2 3 ⟶ 0 3 0 2 1 2 3 2 1 2 0 0 2 1 1 3 1 3 , 0 2 0 3 3 0 0 0 2 0 2 0 0 3 0 3 0 0 ⟶ 0 0 0 3 2 0 0 0 2 3 2 0 0 0 0 3 3 0 , 0 2 1 0 1 1 3 0 1 2 0 2 0 1 0 1 3 2 ⟶ 2 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 2 3 0 1 1 1 , 0 2 2 2 0 3 3 1 2 0 3 0 0 3 0 1 3 1 ⟶ 0 2 3 0 0 0 3 2 2 1 1 1 3 0 3 0 3 2 , 0 2 3 0 0 3 2 0 1 0 0 1 1 0 3 0 0 1 ⟶ 0 0 3 3 0 0 0 0 2 1 2 1 1 0 0 3 0 1 , 0 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 3 1 0 2 3 3 1 ⟶ 0 1 3 2 1 1 3 3 0 2 2 1 1 3 3 3 2 1 , 0 3 0 3 0 1 3 0 3 0 3 0 1 3 0 3 1 2 ⟶ 0 0 3 3 3 1 1 0 3 0 3 0 0 3 0 3 1 2 , 0 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 3 3 ⟶ 2 3 1 3 3 3 2 1 3 1 2 3 0 1 1 2 3 3 , 0 3 2 0 2 3 1 2 0 0 3 3 1 2 0 2 3 3 ⟶ 0 3 2 0 2 1 3 3 2 0 2 0 2 1 0 3 3 3 , 0 3 3 1 0 0 1 3 3 1 2 1 0 2 0 3 2 3 ⟶ 0 0 0 1 1 0 3 3 3 3 2 3 2 0 1 3 1 2 , 0 3 3 1 3 3 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 1 ⟶ 0 0 0 0 2 3 3 3 0 3 1 2 0 0 3 3 0 1 , 1 0 1 1 1 2 1 0 2 3 0 0 1 1 2 1 1 3 ⟶ 1 0 1 2 2 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 3 3 , 1 0 3 1 1 0 2 3 3 0 0 3 2 3 2 0 3 1 ⟶ 1 1 2 3 0 2 2 3 0 0 0 1 0 3 3 3 3 1 , 1 1 2 0 1 1 3 1 1 2 1 1 0 1 3 3 3 1 ⟶ 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 0 3 3 0 2 2 1 1 , 1 1 2 3 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 0 0 3 1 ⟶ 1 1 1 3 1 0 1 0 1 2 3 3 1 2 2 2 2 1 , 1 1 3 0 3 1 0 0 1 3 3 0 1 3 0 1 1 2 ⟶ 1 1 1 3 0 0 0 1 1 1 1 0 3 3 2 3 0 3 , 1 2 0 1 2 1 2 1 1 3 3 1 0 0 2 1 0 3 ⟶ 0 1 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0 0 2 3 , 2 3 3 0 2 3 2 0 3 0 3 0 1 3 2 1 0 3 ⟶ 2 3 3 2 3 0 1 0 0 0 3 3 0 2 2 1 3 3 , 3 0 0 1 3 1 1 3 3 0 2 1 3 0 1 0 2 2 ⟶ 3 1 1 3 0 2 3 0 0 1 1 1 0 3 0 2 3 2 , 3 0 0 2 0 1 2 0 1 3 2 2 1 0 1 3 1 2 ⟶ 3 1 0 0 2 2 3 0 2 1 3 2 1 0 0 1 1 2 , 3 0 0 3 2 0 2 1 2 2 2 2 0 3 1 2 0 2 ⟶ 3 0 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 0 0 0 0 3 2 , 3 0 1 3 0 3 3 3 2 1 2 0 1 2 2 0 2 0 ⟶ 2 3 3 2 1 1 3 0 0 3 0 2 2 2 1 3 0 0 , 3 0 2 1 1 0 1 2 0 2 2 3 1 0 3 1 0 1 ⟶ 2 2 3 2 0 3 3 1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 , 3 0 2 1 2 3 3 1 0 1 3 3 1 2 0 0 3 1 ⟶ 3 0 3 3 2 3 1 1 0 2 3 1 1 0 2 3 0 1 , 3 0 2 2 3 0 0 1 3 0 0 2 0 1 2 2 2 2 ⟶ 3 2 3 3 2 0 0 0 0 0 2 2 1 2 1 0 2 2 , 3 0 2 2 3 1 1 3 3 0 1 3 0 1 2 1 1 3 ⟶ 2 0 1 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 3 3 3 3 2 , 3 0 3 2 0 1 2 1 3 3 1 2 1 2 1 3 2 2 ⟶ 3 2 2 1 2 0 1 3 0 3 1 1 2 3 1 3 2 2 , 3 0 3 3 2 2 3 2 1 3 1 3 2 0 3 1 3 2 ⟶ 3 2 1 2 3 1 0 2 3 3 2 1 3 3 3 0 2 3 , 3 1 0 2 1 1 2 0 0 0 1 3 3 1 0 3 1 0 ⟶ 3 1 0 2 3 2 3 1 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 , 3 1 1 1 2 0 2 2 0 0 3 1 1 3 3 1 1 2 ⟶ 3 2 0 1 1 1 1 3 1 1 2 3 0 3 1 0 2 2 , 3 1 1 1 2 2 0 3 1 3 1 2 0 1 0 3 3 2 ⟶ 3 0 1 3 1 3 3 2 1 1 1 2 2 1 0 0 3 2 , 3 1 1 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 2 0 3 3 1 ⟶ 3 1 1 0 1 2 1 1 2 3 3 2 1 1 1 2 3 3 , 3 1 1 3 1 3 0 2 2 3 0 0 2 0 3 0 3 2 ⟶ 2 0 1 1 3 2 2 0 0 0 1 0 3 3 2 3 3 3 , 3 1 2 0 3 0 2 1 2 3 0 3 1 0 3 0 1 3 ⟶ 2 0 1 3 0 3 3 2 1 0 0 3 0 2 1 3 1 3 , 3 1 2 2 3 0 2 2 2 0 2 2 2 0 3 1 3 3 ⟶ 3 2 2 1 1 0 3 0 2 2 3 2 2 0 3 2 2 3 , 3 1 3 2 3 2 3 1 0 2 2 1 3 0 3 3 3 3 ⟶ 3 2 3 1 0 3 3 3 3 0 1 1 2 3 2 3 2 3 , 3 2 0 0 3 1 3 0 3 3 2 3 3 0 1 0 1 3 ⟶ 3 0 2 0 2 3 3 1 3 3 3 0 3 0 0 1 1 3 , 3 2 1 2 0 1 0 3 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 ⟶ 1 2 0 0 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 1 1 , 3 2 1 2 1 3 1 0 0 0 1 3 0 2 0 1 0 3 ⟶ 3 3 2 1 0 1 2 0 0 0 0 3 1 1 2 1 0 3 , 3 2 1 2 2 0 1 0 3 1 2 3 1 2 0 3 1 3 ⟶ 2 2 1 1 1 3 3 0 0 1 2 3 3 1 2 2 0 3 , 3 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2 1 0 3 0 0 3 1 ⟶ 2 1 2 1 2 3 3 2 0 1 2 2 3 0 3 0 1 1 , 3 2 2 0 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 ⟶ 3 3 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 0 3 1 1 3 3 , 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 1 2 ⟶ 2 3 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 1 2 , 3 2 3 1 0 1 2 2 2 0 1 3 0 0 1 3 0 2 ⟶ 3 2 0 0 0 0 3 3 2 1 2 1 3 1 2 0 2 1 , 3 2 3 3 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 3 1 2 2 ⟶ 3 0 1 1 2 3 0 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2 2 , 3 3 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 3 2 2 0 ⟶ 2 2 0 0 1 0 0 2 3 2 3 1 2 2 1 1 3 0 , 3 3 1 1 3 3 1 3 0 2 0 0 1 2 0 0 2 3 ⟶ 2 1 1 0 0 0 2 3 3 3 2 1 0 3 0 1 3 3 , 3 3 1 2 0 1 3 1 3 2 3 3 1 1 0 2 1 3 ⟶ 2 2 3 3 3 3 1 1 0 3 0 1 1 1 1 3 2 3 , 3 3 3 3 1 0 2 0 1 3 0 1 3 2 3 0 3 1 ⟶ 3 3 0 1 0 1 0 3 3 3 1 0 3 3 2 2 3 1 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 2 ↦ 0, 1 ↦ 1, 0 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 1 0 2 0 2 2 0 2 1 0 1 2 2 0 1 2 2 ⟶ 0 2 1 0 0 0 2 1 2 1 2 2 0 0 1 2 2 2 , 2 1 2 2 0 2 1 3 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 ⟶ 2 1 2 1 1 3 2 1 2 3 2 0 2 1 2 3 2 2 , 1 1 0 2 1 0 3 3 1 2 1 1 2 2 0 2 1 2 ⟶ 1 1 0 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 3 1 0 0 2 , 3 1 3 3 1 1 3 2 2 3 1 0 2 2 2 0 1 2 ⟶ 3 1 3 1 1 3 1 3 0 3 1 2 0 2 2 2 2 2 , 0 0 1 2 2 3 2 1 2 3 3 2 1 3 1 3 1 2 ⟶ 0 3 1 3 3 2 0 2 1 1 2 2 3 1 1 2 3 2 , 3 0 3 1 0 2 1 2 0 0 3 1 2 1 0 3 1 2 ⟶ 3 1 3 1 1 0 2 2 0 1 0 3 0 1 0 2 3 2 , 2 2 3 2 3 2 2 0 2 0 2 2 2 3 3 2 0 2 ⟶ 2 3 3 2 2 2 2 0 3 0 2 2 2 0 3 2 2 2 , 0 3 1 2 1 2 0 2 0 1 2 3 1 1 2 1 0 2 ⟶ 1 1 1 2 3 0 0 2 2 2 2 2 3 1 1 1 0 0 , 1 3 1 2 3 2 2 3 2 0 1 3 3 2 0 0 0 2 ⟶ 0 3 2 3 2 3 1 1 1 0 0 3 2 2 2 3 0 2 , 1 2 2 3 2 1 1 2 2 1 2 0 3 2 2 3 0 2 ⟶ 1 2 3 2 2 1 1 0 1 0 2 2 2 2 3 3 2 2 , 1 3 3 0 2 1 3 0 1 0 1 3 1 3 1 3 0 2 ⟶ 1 0 3 3 3 1 1 0 0 2 3 3 1 1 0 3 1 2 , 0 1 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 ⟶ 0 1 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 3 3 3 2 2 , 3 3 3 1 3 0 1 3 1 0 1 3 0 0 3 1 3 2 ⟶ 3 3 0 1 1 2 3 0 1 3 1 0 3 3 3 1 3 0 , 3 3 0 2 0 1 3 3 2 2 0 1 3 0 2 0 3 2 ⟶ 3 3 3 2 1 0 2 0 2 0 3 3 1 0 2 0 3 2 , 3 0 3 2 0 2 1 0 1 3 3 1 2 2 1 3 3 2 ⟶ 0 1 3 1 2 0 3 0 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 , 1 2 3 2 3 2 0 2 2 2 0 2 3 3 1 3 3 2 ⟶ 1 2 3 3 2 2 0 1 3 2 3 3 3 0 2 2 2 2 , 3 1 1 0 1 1 2 2 3 0 2 1 0 1 1 1 2 1 ⟶ 3 3 0 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 2 1 , 1 3 2 0 3 0 3 2 2 3 3 0 2 1 1 3 2 1 ⟶ 1 3 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0 0 2 3 0 1 1 , 1 3 3 3 1 2 1 1 0 1 1 3 1 1 2 0 1 1 ⟶ 1 1 0 0 2 3 3 2 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 , 1 3 2 2 0 1 0 1 1 0 3 1 0 1 3 0 1 1 ⟶ 1 0 0 0 0 1 3 3 0 1 2 1 2 1 3 1 1 1 , 0 1 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 1 3 2 3 1 1 ⟶ 3 2 3 0 3 3 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 , 3 2 1 0 2 2 1 3 3 1 1 0 1 0 1 2 0 1 ⟶ 3 2 2 0 0 0 2 1 3 3 1 1 0 1 1 1 1 2 , 2 1 0 0 3 0 3 3 3 3 1 3 1 1 0 2 0 1 ⟶ 2 1 3 3 3 0 1 1 2 3 0 3 1 0 0 3 0 1 , 2 0 0 1 0 0 3 0 2 2 1 0 2 1 3 1 0 1 ⟶ 2 2 1 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 1 1 0 0 1 , 0 1 3 1 2 0 3 1 2 2 1 2 1 0 2 1 3 1 ⟶ 3 3 0 2 1 3 2 2 1 1 0 2 0 1 1 1 2 1 , 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2 0 0 1 3 1 ⟶ 1 1 0 2 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 1 1 0 1 , 0 3 0 2 2 1 3 1 2 1 0 1 3 2 0 2 2 0 ⟶ 3 2 2 0 0 2 3 0 1 0 3 1 2 2 1 1 2 0 , 1 1 3 1 2 0 1 3 3 1 1 1 0 3 2 1 2 0 ⟶ 1 1 2 0 0 3 3 1 1 0 2 1 1 1 1 3 2 3 , 3 1 2 3 1 3 0 3 1 3 0 0 3 0 3 1 2 0 ⟶ 3 0 3 3 3 0 1 3 1 0 2 3 2 3 0 1 1 0 , 0 1 3 1 0 1 3 2 0 3 3 0 3 0 2 0 2 0 ⟶ 0 3 3 0 1 0 0 1 1 0 2 2 0 2 3 0 3 3 , 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2 0 1 3 2 0 2 0 ⟶ 1 2 1 3 1 2 2 1 2 0 2 0 3 0 2 3 3 3 , 2 0 3 0 2 3 1 2 0 2 1 2 3 3 2 3 2 0 ⟶ 2 3 2 2 3 2 2 2 3 1 0 0 2 3 0 1 0 3 , 0 1 3 2 2 1 3 0 1 1 3 1 3 0 0 3 2 0 ⟶ 0 2 3 0 3 1 3 3 0 3 0 1 1 1 2 1 2 0 , 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 3 1 1 2 1 0 ⟶ 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 3 1 0 0 , 2 1 3 2 1 2 0 0 3 0 3 0 1 2 2 0 1 0 ⟶ 2 1 2 2 2 3 0 1 2 3 0 0 3 1 1 0 0 0 , 3 2 0 0 2 2 3 1 3 2 1 0 1 0 1 3 1 0 ⟶ 3 0 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 3 3 0 2 2 3 , 0 3 3 0 1 3 0 3 0 1 3 3 1 3 1 3 1 0 ⟶ 3 3 1 1 3 3 1 3 0 1 0 3 0 3 0 3 1 0 , 3 0 2 1 3 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 3 1 0 ⟶ 3 1 1 1 2 2 2 0 1 0 0 0 1 0 1 1 3 3 , 3 0 3 0 2 2 0 0 2 0 2 3 0 1 3 3 1 0 ⟶ 3 3 0 3 2 0 0 1 1 0 2 3 2 2 0 3 0 0 , 1 0 0 3 3 1 2 2 0 0 3 2 1 3 0 2 0 0 ⟶ 1 3 0 3 2 2 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 2 3 , 1 3 1 1 3 2 1 0 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 ⟶ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 1 1 2 2 3 0 2 3 0 , 0 2 0 1 3 3 0 3 0 2 0 0 2 0 2 1 0 0 ⟶ 0 2 0 0 2 0 0 1 0 2 0 3 3 1 2 3 0 0 , 0 2 3 2 3 3 2 1 0 2 0 0 2 0 1 1 0 0 ⟶ 0 2 3 3 2 0 1 1 2 0 0 0 2 2 3 1 0 0 , 1 3 3 0 3 2 3 2 2 3 2 1 3 0 0 1 0 0 ⟶ 1 0 2 2 3 2 1 3 3 1 0 2 3 3 3 0 0 0 , 3 1 3 2 3 0 0 2 2 2 1 0 1 1 0 1 3 0 ⟶ 3 1 3 3 1 0 2 1 3 0 1 1 2 0 2 2 0 0 , 3 0 3 1 0 3 2 1 3 0 2 3 1 1 3 1 3 0 ⟶ 3 1 1 1 3 3 0 0 1 1 3 2 0 3 3 2 3 0 , 0 0 1 2 2 3 1 1 0 1 1 2 0 1 3 1 3 0 ⟶ 3 1 0 0 2 1 1 1 1 2 2 3 0 0 1 1 0 3 , 3 0 3 0 2 3 3 2 0 0 2 3 0 3 3 0 3 0 ⟶ 3 0 2 2 3 2 3 3 0 0 3 0 3 0 3 3 0 0 , 3 2 1 0 3 1 2 3 2 3 2 0 3 0 2 3 3 0 ⟶ 3 3 1 0 0 2 3 3 2 2 2 1 2 3 0 3 3 0 , 0 0 2 1 2 3 1 0 2 3 3 1 1 3 1 2 2 3 ⟶ 0 3 0 2 3 2 1 1 1 2 2 3 0 2 3 1 1 3 , 0 1 3 1 2 1 0 0 3 1 2 0 1 2 0 2 2 3 ⟶ 0 1 1 2 2 1 0 3 1 0 2 3 0 0 2 2 1 3 , 0 2 0 1 3 2 0 0 0 0 1 0 2 0 3 2 2 3 ⟶ 0 3 2 2 2 2 0 0 0 3 0 0 1 0 1 0 2 3 , 2 0 2 0 0 1 2 0 1 0 3 3 3 2 3 1 2 3 ⟶ 2 2 3 1 0 0 0 2 3 2 2 3 1 1 0 3 3 0 , 1 2 1 3 2 1 3 0 0 2 0 1 2 1 1 0 2 3 ⟶ 1 2 2 1 1 2 1 2 0 1 1 3 3 2 0 3 0 0 , 1 3 2 2 0 1 3 3 1 2 1 3 3 0 1 0 2 3 ⟶ 1 2 3 0 2 1 1 3 0 2 1 1 3 0 3 3 2 3 , 0 0 0 0 1 2 0 2 2 3 1 2 2 3 0 0 2 3 ⟶ 0 0 2 1 0 1 0 0 2 2 2 2 2 0 3 3 0 3 , 3 1 1 0 1 2 3 1 2 3 3 1 1 3 0 0 2 3 ⟶ 0 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 2 0 , 0 0 3 1 0 1 0 1 3 3 1 0 1 2 0 3 2 3 ⟶ 0 0 3 1 3 0 1 1 3 2 3 1 2 0 1 0 0 3 , 0 3 1 3 2 0 3 1 3 1 0 3 0 0 3 3 2 3 ⟶ 3 0 2 3 3 3 1 0 3 3 0 2 1 3 0 1 0 3 , 2 1 3 2 1 3 3 1 2 2 2 0 1 1 0 2 1 3 ⟶ 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 3 0 3 0 2 1 3 , 0 1 1 3 3 1 1 3 2 2 0 0 2 0 1 1 1 3 ⟶ 0 0 2 1 3 2 3 0 1 1 3 1 1 1 1 2 0 3 , 0 3 3 2 1 2 0 1 3 1 3 2 0 0 1 1 1 3 ⟶ 0 3 2 2 1 0 0 1 1 1 0 3 3 1 3 1 2 3 , 1 3 3 2 0 0 1 3 1 0 1 0 1 3 1 1 1 3 ⟶ 3 3 0 1 1 1 0 3 3 0 1 1 0 1 2 1 1 3 , 0 3 2 3 2 0 2 2 3 0 0 2 3 1 3 1 1 3 ⟶ 3 3 3 0 3 3 2 1 2 2 2 0 0 3 1 1 2 0 , 3 1 2 3 2 1 3 2 3 0 1 0 2 3 2 0 1 3 ⟶ 3 1 3 1 0 2 3 2 2 1 0 3 3 2 3 1 2 0 , 3 3 1 3 2 0 0 0 2 0 0 0 2 3 0 0 1 3 ⟶ 3 0 0 3 2 0 0 3 0 0 2 3 2 1 1 0 0 3 , 3 3 3 3 2 3 1 0 0 2 1 3 0 3 0 3 1 3 ⟶ 3 0 3 0 3 0 1 1 2 3 3 3 3 2 1 3 0 3 , 3 1 2 1 2 3 3 0 3 3 2 3 1 3 2 2 0 3 ⟶ 3 1 1 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 0 2 0 2 3 , 1 0 1 3 1 1 0 1 3 1 3 2 1 2 0 1 0 3 ⟶ 1 1 1 1 3 1 3 1 0 0 1 3 3 0 2 2 0 1 , 3 2 1 2 0 2 3 1 2 2 2 1 3 1 0 1 0 3 ⟶ 3 2 1 0 1 1 3 2 2 2 2 0 1 2 1 0 3 3 , 3 1 3 2 0 1 3 0 1 3 2 1 2 0 0 1 0 3 ⟶ 3 2 0 0 1 3 3 0 1 2 2 3 3 1 1 1 0 0 , 1 3 2 2 3 2 1 0 1 0 0 0 1 3 0 1 0 3 ⟶ 1 1 2 3 2 3 0 0 1 2 0 3 3 0 1 0 1 0 , 0 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 2 0 0 3 ⟶ 3 3 1 1 3 2 0 1 3 0 0 3 1 1 3 1 3 3 , 0 1 0 1 0 3 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 ⟶ 0 1 1 3 1 0 1 1 0 3 0 0 0 0 1 0 3 0 , 0 2 3 1 2 2 3 1 2 0 0 0 1 2 1 3 0 3 ⟶ 1 0 2 0 1 3 1 0 1 0 3 3 2 2 2 2 0 3 , 0 0 1 3 0 1 2 1 0 0 0 2 1 0 3 3 0 3 ⟶ 0 0 0 1 0 3 0 0 3 1 0 2 3 0 1 1 2 3 , 2 0 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 3 3 ⟶ 2 3 1 1 0 0 1 3 0 3 0 2 2 1 2 2 0 0 , 3 0 2 2 0 1 2 2 0 2 3 1 3 3 1 1 3 3 ⟶ 3 3 1 2 3 2 1 0 3 3 3 0 2 2 2 1 1 0 , 3 1 0 2 1 1 3 3 0 3 1 3 1 2 0 1 3 3 ⟶ 3 0 3 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 3 3 3 0 0 , 1 3 2 3 0 3 1 2 3 1 2 0 2 1 3 3 3 3 ⟶ 1 3 0 0 3 3 2 1 3 3 3 2 1 2 1 2 3 3 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,0) ↦ 4, (2,2) ↦ 5, (2,1) ↦ 6, (1,2) ↦ 7, (2,3) ↦ 8, (2,5) ↦ 9, (3,0) ↦ 10, (4,0) ↦ 11, (1,3) ↦ 12, (3,2) ↦ 13, (3,1) ↦ 14, (1,1) ↦ 15, (4,2) ↦ 16, (0,3) ↦ 17, (3,3) ↦ 18, (4,1) ↦ 19, (4,3) ↦ 20, (0,5) ↦ 21, (1,5) ↦ 22, (3,5) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 3 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 4 ⟶ 3 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 4 , 3 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 6 ⟶ 3 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 6 , 3 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 5 ⟶ 3 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 5 , 3 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 8 ⟶ 3 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 8 , 3 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 9 ⟶ 3 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 9 , 7 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 4 ⟶ 7 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 4 , 7 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 6 ⟶ 7 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 6 , 7 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 5 ⟶ 7 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 5 , 7 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 8 ⟶ 7 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 8 , 7 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 9 ⟶ 7 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 9 , 5 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 4 ⟶ 5 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 4 , 5 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 6 ⟶ 5 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 6 , 5 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 5 ⟶ 5 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 5 , 5 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 8 ⟶ 5 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 8 , 5 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 9 ⟶ 5 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 9 , 13 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 4 ⟶ 13 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 4 , 13 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 6 ⟶ 13 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 6 , 13 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 5 ⟶ 13 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 5 , 13 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 8 ⟶ 13 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 8 , 13 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 9 ⟶ 13 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 9 , 16 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 4 ⟶ 16 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 4 , 16 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 6 ⟶ 16 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 6 , 16 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 5 ⟶ 16 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 5 , 16 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 8 ⟶ 16 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 8 , 16 6 7 5 4 3 6 12 13 8 13 8 14 7 6 7 6 7 9 ⟶ 16 6 7 6 15 12 13 6 7 8 13 4 3 6 7 8 13 5 9 , 1 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 4 ⟶ 1 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 4 , 1 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 6 ⟶ 1 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 6 , 1 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 5 ⟶ 1 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 5 , 1 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 8 ⟶ 1 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 8 , 1 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 9 ⟶ 1 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 9 , 15 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 4 ⟶ 15 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 4 , 15 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 6 ⟶ 15 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 6 , 15 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 5 ⟶ 15 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 5 , 15 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 8 ⟶ 15 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 8 , 15 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 9 ⟶ 15 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 9 , 6 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 4 ⟶ 6 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 4 , 6 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 6 ⟶ 6 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 6 , 6 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 5 ⟶ 6 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 5 , 6 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 8 ⟶ 6 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 14 2 0 3 8 , 6 15 2 3 6 2 17 18 14 7 6 15 7 5 4 3 6 7 9 ⟶ 6 15 2 3 5 6 15 15 15 7 8 13 5 8 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13 6 7 6 7 8 18 18 , 15 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 23 ⟶ 15 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 23 , 6 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 10 ⟶ 6 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 10 , 6 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 14 ⟶ 6 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 14 , 6 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 13 ⟶ 6 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 13 , 6 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 18 ⟶ 6 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 18 , 6 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 23 ⟶ 6 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 23 , 14 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 10 ⟶ 14 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 10 , 14 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 14 ⟶ 14 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 14 , 14 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 13 ⟶ 14 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 13 , 14 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 18 ⟶ 14 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 18 , 14 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 23 ⟶ 14 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 23 , 19 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 10 ⟶ 19 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 10 , 19 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 14 ⟶ 19 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 14 , 19 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 13 ⟶ 19 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 13 , 19 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 18 ⟶ 19 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 18 , 19 12 13 8 10 17 14 7 8 14 7 4 3 6 12 18 18 18 23 ⟶ 19 12 10 0 17 18 13 6 12 18 18 13 6 7 6 7 8 18 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 17 ↦ 12, 14 ↦ 13, 12 ↦ 14, 18 ↦ 15, 15 ↦ 16, 13 ↦ 17, 20 ↦ 18, 16 ↦ 19, 19 ↦ 20, 22 ↦ 21, 21 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 720-rule system { 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 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17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 17 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 15 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 15 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 23 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 705-rule system { 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 0 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 0 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 2 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 2 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 4 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 4 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 10 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 10 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 4 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 4 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 6 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 6 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 5 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 5 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 8 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 8 , 11 1 2 3 4 3 5 4 3 6 2 1 7 5 4 1 7 5 9 ⟶ 11 3 6 2 0 0 3 6 7 6 7 5 4 0 1 7 5 5 9 , 12 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 4 ⟶ 12 13 14 13 16 14 13 14 10 12 13 7 4 3 5 5 5 5 4 , 12 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 6 ⟶ 12 13 14 13 16 14 13 14 10 12 13 7 4 3 5 5 5 5 6 , 12 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 5 ⟶ 12 13 14 13 16 14 13 14 10 12 13 7 4 3 5 5 5 5 5 , 12 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 8 ⟶ 12 13 14 13 16 14 13 14 10 12 13 7 4 3 5 5 5 5 8 , 12 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 9 ⟶ 12 13 14 13 16 14 13 14 10 12 13 7 4 3 5 5 5 5 9 , 14 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 4 ⟶ 14 13 14 13 16 14 13 14 10 12 13 7 4 3 5 5 5 5 4 , 14 13 14 15 13 16 14 17 5 8 13 2 3 5 5 4 1 7 6 ⟶ 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15 10 3 5 5 6 16 2 3 , 15 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 15 ⟶ 15 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 12 , 15 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 23 ⟶ 15 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 22 , 18 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 10 ⟶ 18 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 0 , 18 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 13 ⟶ 18 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 1 , 18 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 17 ⟶ 18 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 3 , 18 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 15 ⟶ 18 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 12 , 18 10 3 5 4 1 7 5 4 3 8 13 14 15 13 16 14 15 23 ⟶ 18 15 13 7 8 17 6 2 12 15 15 10 3 5 5 6 16 2 22 , 1 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 10 ⟶ 1 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 10 , 1 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 13 ⟶ 1 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 13 , 1 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 17 ⟶ 1 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 17 , 1 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 15 ⟶ 1 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 15 , 1 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 23 ⟶ 1 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 23 , 16 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 10 ⟶ 16 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 10 , 16 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 13 ⟶ 16 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 13 , 16 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 17 ⟶ 16 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 17 , 16 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 15 ⟶ 16 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 15 , 16 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 23 ⟶ 16 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 23 , 6 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 10 ⟶ 6 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 10 , 6 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 13 ⟶ 6 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 13 , 6 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 17 ⟶ 6 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 17 , 6 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 15 ⟶ 6 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 15 , 6 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 23 ⟶ 6 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 23 , 13 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 10 ⟶ 13 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 10 , 13 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 13 ⟶ 13 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 13 , 13 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 17 ⟶ 13 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 17 , 13 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 15 ⟶ 13 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 15 , 13 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 23 ⟶ 13 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 23 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 10 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 10 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 13 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 13 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 17 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 17 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 15 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 15 , 20 14 17 8 10 12 13 7 8 13 7 4 3 6 14 15 15 15 23 ⟶ 20 14 10 0 12 15 17 6 14 15 15 17 6 7 6 7 8 15 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 8 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 13 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.