/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2 }, it remains to prove termination of the 110-rule system { 0 0 ⟶ 1 1 0 , 0 0 ⟶ 1 1 1 1 , 2 0 2 ⟶ 2 1 1 1 , 2 0 0 1 ⟶ 1 1 1 2 2 1 , 2 2 2 1 ⟶ 2 1 1 2 1 , 0 0 0 2 0 ⟶ 1 2 2 1 1 2 , 0 0 0 2 0 ⟶ 2 1 2 1 1 1 0 , 0 1 0 1 0 1 ⟶ 2 1 2 1 1 2 1 1 1 , 0 2 0 0 0 1 0 ⟶ 1 1 1 2 1 1 0 0 , 0 2 0 0 1 2 2 ⟶ 1 1 1 0 1 0 1 1 , 0 2 2 1 0 1 0 ⟶ 0 2 2 1 2 1 1 1 , 1 0 1 2 0 0 1 ⟶ 2 2 2 1 0 1 1 1 , 1 0 2 0 2 2 0 ⟶ 0 1 1 1 1 1 0 0 1 , 2 1 0 2 0 2 1 ⟶ 0 2 0 0 2 1 1 1 , 0 0 0 0 0 2 2 2 ⟶ 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 , 0 0 1 2 2 0 1 2 ⟶ 2 0 0 1 2 2 1 1 1 , 2 1 2 1 0 2 1 2 ⟶ 1 0 1 2 1 1 1 2 1 , 0 0 2 2 1 0 0 2 0 ⟶ 1 2 0 0 1 2 1 1 0 1 1 , 2 0 0 2 2 0 0 0 2 ⟶ 1 1 2 0 2 0 1 1 2 0 1 , 2 2 2 0 2 0 1 2 2 ⟶ 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 , 1 2 2 1 2 2 0 1 1 0 ⟶ 1 2 1 2 0 1 1 0 1 1 1 1 , 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 2 ⟶ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 0 2 , 0 2 2 1 0 0 1 2 0 0 1 ⟶ 0 1 0 1 2 2 1 1 2 1 1 1 , 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 2 ⟶ 0 2 2 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 , 2 2 0 0 2 0 1 2 2 0 0 ⟶ 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 0 0 0 0 2 0 2 1 2 2 0 0 ⟶ 1 0 2 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 0 , 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 ⟶ 2 2 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 , 2 0 0 0 2 2 2 0 2 1 0 2 ⟶ 2 0 1 2 2 1 1 0 1 0 2 0 2 , 2 2 0 2 2 1 1 2 2 0 1 0 ⟶ 0 1 2 0 2 1 1 1 1 1 0 2 1 , 0 0 2 0 1 1 2 2 0 0 0 0 0 ⟶ 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 , 0 1 2 2 2 2 1 2 0 0 0 1 2 ⟶ 1 1 1 2 1 2 2 0 2 0 0 0 1 2 , 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ⟶ 0 2 2 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 , 2 2 0 0 0 2 2 1 2 0 2 2 1 ⟶ 2 0 1 2 0 1 1 0 2 2 1 1 1 2 1 , 0 2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ⟶ 2 0 1 1 1 0 0 1 2 0 2 0 1 1 1 2 1 1 , 1 0 0 1 0 2 0 1 2 0 2 2 0 0 ⟶ 1 2 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 0 0 2 2 2 , 2 0 1 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 2 ⟶ 1 0 2 0 0 0 1 2 1 0 2 0 1 1 2 , 0 1 1 1 2 2 0 2 0 2 1 1 2 2 0 ⟶ 2 0 2 2 2 0 2 1 1 1 1 1 0 2 0 , 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 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1 1 0 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 0 0 2 2 1 2 , 1 0 0 2 2 2 1 0 2 2 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 1 0 1 2 0 1 0 2 ⟶ 2 2 0 2 2 0 2 1 0 0 0 2 2 0 1 1 0 2 0 0 2 2 1 2 1 1 1 1 0 2 , 1 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2 0 2 0 2 2 1 0 1 1 ⟶ 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 0 2 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 , 1 2 2 1 2 0 2 0 2 2 1 2 0 2 0 1 2 2 0 2 2 1 2 0 2 0 2 1 ⟶ 2 2 2 2 1 1 0 0 2 2 0 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 2 1 , 2 1 0 2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 2 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 2 0 ⟶ 0 2 1 2 1 0 1 0 0 2 2 0 2 1 2 2 1 1 2 0 1 1 2 1 2 0 1 2 2 , 0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 2 0 1 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 2 0 2 1 1 2 ⟶ 2 1 1 1 1 1 0 2 1 0 2 2 0 2 1 0 2 0 1 1 0 1 0 1 2 2 1 2 2 2 , 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 2 1 2 0 1 1 0 2 2 1 1 2 2 ⟶ 1 0 2 0 1 0 1 1 0 0 2 2 1 1 1 0 2 1 2 0 0 0 1 2 0 0 2 1 1 , 1 0 2 2 0 0 1 1 0 2 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 ⟶ 0 1 1 0 2 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 0 2 2 0 2 1 1 2 1 0 0 2 2 0 0 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,1) ↦ 2, (1,0) ↦ 3, (0,2) ↦ 4, (0,4) ↦ 5, (2,0) ↦ 6, (2,1) ↦ 7, (3,0) ↦ 8, (3,1) ↦ 9, (1,2) ↦ 10, (1,4) ↦ 11, (2,2) ↦ 12, (2,4) ↦ 13, (3,2) ↦ 14 }, it remains to prove termination of the 1760-rule system { 0 0 0 ⟶ 1 2 3 0 , 0 0 1 ⟶ 1 2 3 1 , 0 0 4 ⟶ 1 2 3 4 , 0 0 5 ⟶ 1 2 3 5 , 3 0 0 ⟶ 2 2 3 0 , 3 0 1 ⟶ 2 2 3 1 , 3 0 4 ⟶ 2 2 3 4 , 3 0 5 ⟶ 2 2 3 5 , 6 0 0 ⟶ 7 2 3 0 , 6 0 1 ⟶ 7 2 3 1 , 6 0 4 ⟶ 7 2 3 4 , 6 0 5 ⟶ 7 2 3 5 , 8 0 0 ⟶ 9 2 3 0 , 8 0 1 ⟶ 9 2 3 1 , 8 0 4 ⟶ 9 2 3 4 , 8 0 5 ⟶ 9 2 3 5 , 0 0 0 ⟶ 1 2 2 2 3 , 0 0 1 ⟶ 1 2 2 2 2 , 0 0 4 ⟶ 1 2 2 2 10 , 0 0 5 ⟶ 1 2 2 2 11 , 3 0 0 ⟶ 2 2 2 2 3 , 3 0 1 ⟶ 2 2 2 2 2 , 3 0 4 ⟶ 2 2 2 2 10 , 3 0 5 ⟶ 2 2 2 2 11 , 6 0 0 ⟶ 7 2 2 2 3 , 6 0 1 ⟶ 7 2 2 2 2 , 6 0 4 ⟶ 7 2 2 2 10 , 6 0 5 ⟶ 7 2 2 2 11 , 8 0 0 ⟶ 9 2 2 2 3 , 8 0 1 ⟶ 9 2 2 2 2 , 8 0 4 ⟶ 9 2 2 2 10 , 8 0 5 ⟶ 9 2 2 2 11 , 4 6 4 6 ⟶ 4 7 2 2 3 , 4 6 4 7 ⟶ 4 7 2 2 2 , 4 6 4 12 ⟶ 4 7 2 2 10 , 4 6 4 13 ⟶ 4 7 2 2 11 , 10 6 4 6 ⟶ 10 7 2 2 3 , 10 6 4 7 ⟶ 10 7 2 2 2 , 10 6 4 12 ⟶ 10 7 2 2 10 , 10 6 4 13 ⟶ 10 7 2 2 11 , 12 6 4 6 ⟶ 12 7 2 2 3 , 12 6 4 7 ⟶ 12 7 2 2 2 , 12 6 4 12 ⟶ 12 7 2 2 10 , 12 6 4 13 ⟶ 12 7 2 2 11 , 14 6 4 6 ⟶ 14 7 2 2 3 , 14 6 4 7 ⟶ 14 7 2 2 2 , 14 6 4 12 ⟶ 14 7 2 2 10 , 14 6 4 13 ⟶ 14 7 2 2 11 , 4 6 0 1 3 ⟶ 1 2 2 10 12 7 3 , 4 6 0 1 2 ⟶ 1 2 2 10 12 7 2 , 4 6 0 1 10 ⟶ 1 2 2 10 12 7 10 , 4 6 0 1 11 ⟶ 1 2 2 10 12 7 11 , 10 6 0 1 3 ⟶ 2 2 2 10 12 7 3 , 10 6 0 1 2 ⟶ 2 2 2 10 12 7 2 , 10 6 0 1 10 ⟶ 2 2 2 10 12 7 10 , 10 6 0 1 11 ⟶ 2 2 2 10 12 7 11 , 12 6 0 1 3 ⟶ 7 2 2 10 12 7 3 , 12 6 0 1 2 ⟶ 7 2 2 10 12 7 2 , 12 6 0 1 10 ⟶ 7 2 2 10 12 7 10 , 12 6 0 1 11 ⟶ 7 2 2 10 12 7 11 , 14 6 0 1 3 ⟶ 9 2 2 10 12 7 3 , 14 6 0 1 2 ⟶ 9 2 2 10 12 7 2 , 14 6 0 1 10 ⟶ 9 2 2 10 12 7 10 , 14 6 0 1 11 ⟶ 9 2 2 10 12 7 11 , 4 12 12 7 3 ⟶ 4 7 2 10 7 3 , 4 12 12 7 2 ⟶ 4 7 2 10 7 2 , 4 12 12 7 10 ⟶ 4 7 2 10 7 10 , 4 12 12 7 11 ⟶ 4 7 2 10 7 11 , 10 12 12 7 3 ⟶ 10 7 2 10 7 3 , 10 12 12 7 2 ⟶ 10 7 2 10 7 2 , 10 12 12 7 10 ⟶ 10 7 2 10 7 10 , 10 12 12 7 11 ⟶ 10 7 2 10 7 11 , 12 12 12 7 3 ⟶ 12 7 2 10 7 3 , 12 12 12 7 2 ⟶ 12 7 2 10 7 2 , 12 12 12 7 10 ⟶ 12 7 2 10 7 10 , 12 12 12 7 11 ⟶ 12 7 2 10 7 11 , 14 12 12 7 3 ⟶ 14 7 2 10 7 3 , 14 12 12 7 2 ⟶ 14 7 2 10 7 2 , 14 12 12 7 10 ⟶ 14 7 2 10 7 10 , 14 12 12 7 11 ⟶ 14 7 2 10 7 11 , 0 0 0 4 6 0 ⟶ 1 10 12 7 2 10 6 , 0 0 0 4 6 1 ⟶ 1 10 12 7 2 10 7 , 0 0 0 4 6 4 ⟶ 1 10 12 7 2 10 12 , 0 0 0 4 6 5 ⟶ 1 10 12 7 2 10 13 , 3 0 0 4 6 0 ⟶ 2 10 12 7 2 10 6 , 3 0 0 4 6 1 ⟶ 2 10 12 7 2 10 7 , 3 0 0 4 6 4 ⟶ 2 10 12 7 2 10 12 , 3 0 0 4 6 5 ⟶ 2 10 12 7 2 10 13 , 6 0 0 4 6 0 ⟶ 7 10 12 7 2 10 6 , 6 0 0 4 6 1 ⟶ 7 10 12 7 2 10 7 , 6 0 0 4 6 4 ⟶ 7 10 12 7 2 10 12 , 6 0 0 4 6 5 ⟶ 7 10 12 7 2 10 13 , 8 0 0 4 6 0 ⟶ 9 10 12 7 2 10 6 , 8 0 0 4 6 1 ⟶ 9 10 12 7 2 10 7 , 8 0 0 4 6 4 ⟶ 9 10 12 7 2 10 12 , 8 0 0 4 6 5 ⟶ 9 10 12 7 2 10 13 , 0 0 0 4 6 0 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 0 , 0 0 0 4 6 1 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 1 , 0 0 0 4 6 4 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 4 , 0 0 0 4 6 5 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 5 , 3 0 0 4 6 0 ⟶ 10 7 10 7 2 2 3 0 , 3 0 0 4 6 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4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 2 , 1 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 12 ⟶ 1 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 10 , 1 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 13 ⟶ 1 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 11 , 2 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 6 ⟶ 2 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 3 , 2 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 7 ⟶ 2 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 2 , 2 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 12 ⟶ 2 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 10 , 2 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 13 ⟶ 2 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 11 , 7 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 6 ⟶ 7 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 3 , 7 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 7 ⟶ 7 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 2 , 7 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 12 ⟶ 7 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 10 , 7 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 13 ⟶ 7 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 11 , 9 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 6 ⟶ 9 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 3 , 9 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 7 ⟶ 9 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 2 , 9 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 12 ⟶ 9 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 10 , 9 3 1 3 1 3 1 3 0 1 3 4 7 3 0 0 4 7 10 6 1 2 3 4 12 7 2 10 12 13 ⟶ 9 3 4 6 1 3 1 2 3 0 4 12 7 2 2 3 4 7 10 6 0 0 1 10 6 0 4 7 2 11 , 1 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 0 ⟶ 0 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 0 , 1 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 1 ⟶ 0 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 1 , 1 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 4 ⟶ 0 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 4 , 1 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 5 ⟶ 0 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 5 , 2 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 0 ⟶ 3 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 0 , 2 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 1 ⟶ 3 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 1 , 2 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 4 ⟶ 3 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 4 , 2 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 5 ⟶ 3 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 5 , 7 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 0 ⟶ 6 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 0 , 7 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 1 ⟶ 6 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 1 , 7 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 4 ⟶ 6 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 4 , 7 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 5 ⟶ 6 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 5 , 9 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 0 ⟶ 8 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 0 , 9 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 1 ⟶ 8 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 1 , 9 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 4 ⟶ 8 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 4 , 9 3 4 12 6 0 1 2 3 4 7 2 3 0 1 3 0 1 10 6 0 0 0 0 1 10 6 4 6 5 ⟶ 8 1 2 3 4 7 2 2 3 0 1 2 10 12 7 3 4 12 6 4 7 2 10 7 3 0 4 12 6 0 5 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 11 ↦ 12, 14 ↦ 13, 13 ↦ 14 }, it remains to prove termination of the 342-rule system { 0 0 0 ⟶ 1 2 3 0 , 0 0 1 ⟶ 1 2 3 1 , 0 0 4 ⟶ 1 2 3 4 , 0 0 5 ⟶ 1 2 3 5 , 6 0 0 ⟶ 7 2 3 0 , 6 0 1 ⟶ 7 2 3 1 , 6 0 4 ⟶ 7 2 3 4 , 6 0 5 ⟶ 7 2 3 5 , 8 0 0 ⟶ 9 2 3 0 , 8 0 1 ⟶ 9 2 3 1 , 8 0 4 ⟶ 9 2 3 4 , 8 0 5 ⟶ 9 2 3 5 , 4 6 0 1 3 ⟶ 1 2 2 10 11 7 3 , 4 6 0 1 2 ⟶ 1 2 2 10 11 7 2 , 4 6 0 1 10 ⟶ 1 2 2 10 11 7 10 , 4 6 0 1 12 ⟶ 1 2 2 10 11 7 12 , 11 6 0 1 3 ⟶ 7 2 2 10 11 7 3 , 11 6 0 1 2 ⟶ 7 2 2 10 11 7 2 , 11 6 0 1 10 ⟶ 7 2 2 10 11 7 10 , 11 6 0 1 12 ⟶ 7 2 2 10 11 7 12 , 13 6 0 1 3 ⟶ 9 2 2 10 11 7 3 , 13 6 0 1 2 ⟶ 9 2 2 10 11 7 2 , 13 6 0 1 10 ⟶ 9 2 2 10 11 7 10 , 13 6 0 1 12 ⟶ 9 2 2 10 11 7 12 , 4 11 11 7 3 ⟶ 4 7 2 10 7 3 , 4 11 11 7 2 ⟶ 4 7 2 10 7 2 , 4 11 11 7 10 ⟶ 4 7 2 10 7 10 , 4 11 11 7 12 ⟶ 4 7 2 10 7 12 , 10 11 11 7 3 ⟶ 10 7 2 10 7 3 , 10 11 11 7 2 ⟶ 10 7 2 10 7 2 , 10 11 11 7 10 ⟶ 10 7 2 10 7 10 , 10 11 11 7 12 ⟶ 10 7 2 10 7 12 , 11 11 11 7 3 ⟶ 11 7 2 10 7 3 , 11 11 11 7 2 ⟶ 11 7 2 10 7 2 , 11 11 11 7 10 ⟶ 11 7 2 10 7 10 , 11 11 11 7 12 ⟶ 11 7 2 10 7 12 , 13 11 11 7 3 ⟶ 13 7 2 10 7 3 , 13 11 11 7 2 ⟶ 13 7 2 10 7 2 , 13 11 11 7 10 ⟶ 13 7 2 10 7 10 , 13 11 11 7 12 ⟶ 13 7 2 10 7 12 , 0 0 0 4 6 0 ⟶ 1 10 11 7 2 10 6 , 0 0 0 4 6 1 ⟶ 1 10 11 7 2 10 7 , 0 0 0 4 6 4 ⟶ 1 10 11 7 2 10 11 , 0 0 0 4 6 5 ⟶ 1 10 11 7 2 10 14 , 6 0 0 4 6 0 ⟶ 7 10 11 7 2 10 6 , 6 0 0 4 6 1 ⟶ 7 10 11 7 2 10 7 , 6 0 0 4 6 4 ⟶ 7 10 11 7 2 10 11 , 6 0 0 4 6 5 ⟶ 7 10 11 7 2 10 14 , 8 0 0 4 6 0 ⟶ 9 10 11 7 2 10 6 , 8 0 0 4 6 1 ⟶ 9 10 11 7 2 10 7 , 8 0 0 4 6 4 ⟶ 9 10 11 7 2 10 11 , 8 0 0 4 6 5 ⟶ 9 10 11 7 2 10 14 , 0 0 0 4 6 0 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 0 , 0 0 0 4 6 1 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 1 , 0 0 0 4 6 4 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 4 , 0 0 0 4 6 5 ⟶ 4 7 10 7 2 2 3 5 , 3 0 0 4 6 0 ⟶ 10 7 10 7 2 2 3 0 , 3 0 0 4 6 1 ⟶ 10 7 10 7 2 2 3 1 , 3 0 0 4 6 4 ⟶ 10 7 10 7 2 2 3 4 , 3 0 0 4 6 5 ⟶ 10 7 10 7 2 2 3 5 , 6 0 0 4 6 0 ⟶ 11 7 10 7 2 2 3 0 , 6 0 0 4 6 1 ⟶ 11 7 10 7 2 2 3 1 , 6 0 0 4 6 4 ⟶ 11 7 10 7 2 2 3 4 , 6 0 0 4 6 5 ⟶ 11 7 10 7 2 2 3 5 , 8 0 0 4 6 0 ⟶ 13 7 10 7 2 2 3 0 , 8 0 0 4 6 1 ⟶ 13 7 10 7 2 2 3 1 , 8 0 0 4 6 4 ⟶ 13 7 10 7 2 2 3 4 , 8 0 0 4 6 5 ⟶ 13 7 10 7 2 2 3 5 , 0 1 3 1 3 1 3 ⟶ 4 7 10 7 2 10 7 2 2 3 , 0 1 3 1 3 1 2 ⟶ 4 7 10 7 2 10 7 2 2 2 , 0 1 3 1 3 1 10 ⟶ 4 7 10 7 2 10 7 2 2 10 , 0 1 3 1 3 1 12 ⟶ 4 7 10 7 2 10 7 2 2 12 , 3 1 3 1 3 1 3 ⟶ 10 7 10 7 2 10 7 2 2 3 , 3 1 3 1 3 1 2 ⟶ 10 7 10 7 2 10 7 2 2 2 , 3 1 3 1 3 1 10 ⟶ 10 7 10 7 2 10 7 2 2 10 , 3 1 3 1 3 1 12 ⟶ 10 7 10 7 2 10 7 2 2 12 , 6 1 3 1 3 1 3 ⟶ 11 7 10 7 2 10 7 2 2 3 , 6 1 3 1 3 1 2 ⟶ 11 7 10 7 2 10 7 2 2 2 , 6 1 3 1 3 1 10 ⟶ 11 7 10 7 2 10 7 2 2 10 , 6 1 3 1 3 1 12 ⟶ 11 7 10 7 2 10 7 2 2 12 , 8 1 3 1 3 1 3 ⟶ 13 7 10 7 2 10 7 2 2 3 , 8 1 3 1 3 1 2 ⟶ 13 7 10 7 2 10 7 2 2 2 , 8 1 3 1 3 1 10 ⟶ 13 7 10 7 2 10 7 2 2 10 , 8 1 3 1 3 1 12 ⟶ 13 7 10 7 2 10 7 2 2 12 , 2 3 1 10 6 0 1 3 ⟶ 10 11 11 7 3 1 2 2 3 , 2 3 1 10 6 0 1 2 ⟶ 10 11 11 7 3 1 2 2 2 , 2 3 1 10 6 0 1 10 ⟶ 10 11 11 7 3 1 2 2 10 , 2 3 1 10 6 0 1 12 ⟶ 10 11 11 7 3 1 2 2 12 , 0 0 4 11 7 3 0 4 6 0 ⟶ 1 10 6 0 1 10 7 2 3 1 2 3 , 0 0 4 11 7 3 0 4 6 4 ⟶ 1 10 6 0 1 10 7 2 3 1 2 10 , 6 0 4 11 7 3 0 4 6 0 ⟶ 7 10 6 0 1 10 7 2 3 1 2 3 , 6 0 4 11 7 3 0 4 6 4 ⟶ 7 10 6 0 1 10 7 2 3 1 2 10 , 8 0 4 11 7 3 0 4 6 0 ⟶ 9 10 6 0 1 10 7 2 3 1 2 3 , 8 0 4 11 7 3 0 4 6 4 ⟶ 9 10 6 0 1 10 7 2 3 1 2 10 , 4 6 0 4 11 6 0 0 4 6 ⟶ 1 2 10 6 4 6 1 2 10 6 1 3 , 4 6 0 4 11 6 0 0 4 11 ⟶ 1 2 10 6 4 6 1 2 10 6 1 10 , 11 6 0 4 11 6 0 0 4 6 ⟶ 7 2 10 6 4 6 1 2 10 6 1 3 , 11 6 0 4 11 6 0 0 4 11 ⟶ 7 2 10 6 4 6 1 2 10 6 1 10 , 13 6 0 4 11 6 0 0 4 6 ⟶ 9 2 10 6 4 6 1 2 10 6 1 3 , 13 6 0 4 11 6 0 0 4 11 ⟶ 9 2 10 6 4 6 1 2 10 6 1 10 , 2 2 10 6 4 6 0 0 0 0 4 6 ⟶ 3 4 11 6 1 2 2 2 2 3 1 2 10 7 2 2 2 3 , 2 2 10 6 4 6 0 0 0 0 4 11 ⟶ 3 4 11 6 1 2 2 2 2 3 1 2 10 7 2 2 2 10 , 4 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 6 ⟶ 4 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 6 , 4 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 7 ⟶ 4 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 7 , 4 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 11 ⟶ 4 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 11 , 4 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 14 ⟶ 4 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 14 , 10 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 6 ⟶ 10 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 6 , 10 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 7 ⟶ 10 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 7 , 10 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 11 ⟶ 10 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 11 , 10 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 14 ⟶ 10 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 14 , 11 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 6 ⟶ 11 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 6 , 11 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 7 ⟶ 11 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 7 , 11 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 11 ⟶ 11 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 11 , 11 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 14 ⟶ 11 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 14 , 13 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 6 ⟶ 13 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 6 , 13 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 7 ⟶ 13 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 7 , 13 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 11 ⟶ 13 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 11 , 13 6 0 0 4 11 11 6 4 7 3 4 14 ⟶ 13 6 1 10 11 7 2 3 1 3 4 6 4 14 , 2 3 4 6 0 0 0 4 6 0 0 0 4 6 ⟶ 3 4 11 11 7 2 2 2 3 0 1 10 6 0 4 6 , 2 3 4 6 0 0 0 4 6 0 0 0 4 7 ⟶ 3 4 11 11 7 2 2 2 3 0 1 10 6 0 4 7 , 2 3 4 6 0 0 0 4 6 0 0 0 4 11 ⟶ 3 4 11 11 7 2 2 2 3 0 1 10 6 0 4 11 , 2 3 4 6 0 0 0 4 6 0 0 0 4 14 ⟶ 3 4 11 11 7 2 2 2 3 0 1 10 6 0 4 14 , 4 6 1 3 4 6 4 6 0 0 0 0 0 4 6 ⟶ 1 3 4 6 0 0 1 10 7 3 4 6 1 2 10 6 , 4 6 1 3 4 6 4 6 0 0 0 0 0 4 7 ⟶ 1 3 4 6 0 0 1 10 7 3 4 6 1 2 10 7 , 4 6 1 3 4 6 4 6 0 0 0 0 0 4 11 ⟶ 1 3 4 6 0 0 1 10 7 3 4 6 1 2 10 11 , 4 6 1 3 4 6 4 6 0 0 0 0 0 4 14 ⟶ 1 3 4 6 0 0 1 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0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 11 ⟶ 1 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 11 , 0 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 14 ⟶ 1 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 14 , 6 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 6 ⟶ 7 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 6 , 6 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 7 ⟶ 7 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 7 , 6 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 11 ⟶ 7 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 11 , 6 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 14 ⟶ 7 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 14 , 8 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 6 ⟶ 9 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 6 , 8 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 7 ⟶ 9 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 7 , 8 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 11 ⟶ 9 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 11 , 8 0 0 0 1 2 3 0 1 3 4 6 4 11 7 10 7 10 6 4 11 6 0 4 11 14 ⟶ 9 3 4 6 4 7 10 6 0 4 7 10 7 3 0 0 4 6 4 11 6 4 7 2 2 2 10 14 , 0 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 6 ⟶ 0 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 3 , 0 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 11 ⟶ 0 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 10 , 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 6 ⟶ 3 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 3 , 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 11 ⟶ 3 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 10 , 6 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 6 ⟶ 6 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 3 , 6 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 11 ⟶ 6 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 10 , 8 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 6 ⟶ 8 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 3 , 8 1 3 1 2 3 1 3 1 2 10 11 6 0 4 6 4 7 3 0 4 11 11 11 11 11 ⟶ 8 4 6 1 2 2 10 11 11 6 1 10 11 7 10 7 10 6 4 11 11 7 2 2 3 4 7 10 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 10 ↦ 8, 11 ↦ 9, 12 ↦ 10, 14 ↦ 11, 8 ↦ 12, 13 ↦ 13 }, it remains to prove termination of the 49-rule system { 0 0 0 ⟶ 1 2 3 0 , 0 0 1 ⟶ 1 2 3 1 , 0 0 4 ⟶ 1 2 3 4 , 0 0 5 ⟶ 1 2 3 5 , 6 0 0 ⟶ 7 2 3 0 , 6 0 1 ⟶ 7 2 3 1 , 6 0 4 ⟶ 7 2 3 4 , 6 0 5 ⟶ 7 2 3 5 , 2 3 1 8 6 0 1 3 ⟶ 8 9 9 7 3 1 2 2 3 , 2 3 1 8 6 0 1 2 ⟶ 8 9 9 7 3 1 2 2 2 , 2 3 1 8 6 0 1 8 ⟶ 8 9 9 7 3 1 2 2 8 , 2 3 1 8 6 0 1 10 ⟶ 8 9 9 7 3 1 2 2 10 , 2 2 8 6 4 6 0 0 0 0 4 6 ⟶ 3 4 9 6 1 2 2 2 2 3 1 2 8 7 2 2 2 3 , 0 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 6 ⟶ 4 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 6 , 0 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 7 ⟶ 4 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 7 , 0 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 9 ⟶ 4 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 9 , 0 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 11 ⟶ 4 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 11 , 6 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 6 ⟶ 9 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 6 , 6 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 7 ⟶ 9 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 7 , 6 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 9 ⟶ 9 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 9 , 6 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 11 ⟶ 9 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 11 , 12 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 6 ⟶ 13 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 6 , 12 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 7 ⟶ 13 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 7 , 12 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 9 ⟶ 13 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 9 , 12 0 0 0 1 8 9 9 7 8 6 4 7 2 2 3 4 11 ⟶ 13 9 7 3 1 2 3 4 9 7 8 6 1 2 2 8 6 4 11 , 0 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 6 ⟶ 0 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 6 , 0 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 7 ⟶ 0 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 7 , 0 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 9 ⟶ 0 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 9 , 0 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 11 ⟶ 0 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 11 , 3 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 6 ⟶ 3 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 6 , 3 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 7 ⟶ 3 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 7 , 3 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 9 ⟶ 3 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 9 , 3 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 11 ⟶ 3 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 11 , 6 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 6 ⟶ 6 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 6 , 6 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 7 ⟶ 6 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 7 , 6 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 9 ⟶ 6 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 9 , 6 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 11 ⟶ 6 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 11 , 12 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 6 ⟶ 12 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 6 , 12 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 7 ⟶ 12 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 7 , 12 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 9 ⟶ 12 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 9 , 12 4 9 7 8 9 7 2 8 7 8 7 3 0 4 9 9 11 ⟶ 12 4 6 4 9 7 3 1 2 8 7 8 9 9 7 8 9 11 , 0 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 3 ⟶ 1 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 3 , 0 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 2 ⟶ 1 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 2 , 0 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 8 ⟶ 1 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 8 , 0 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 10 ⟶ 1 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 10 , 6 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 3 ⟶ 7 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 3 , 6 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 2 ⟶ 7 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 2 , 6 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 8 ⟶ 7 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 8 , 6 0 1 8 6 4 6 4 7 2 8 9 6 1 2 8 6 0 0 0 4 6 1 10 ⟶ 7 3 1 2 8 7 3 0 1 3 1 2 3 4 9 6 1 8 7 8 7 3 1 2 10 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 4 ↦ 1, 9 ↦ 2, 7 ↦ 3, 8 ↦ 4, 2 ↦ 5, 3 ↦ 6, 6 ↦ 7, 1 ↦ 8, 11 ↦ 9, 12 ↦ 10 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 7 ⟶ 0 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 7 , 0 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 3 ⟶ 0 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 3 , 0 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 2 ⟶ 0 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 2 , 0 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 9 ⟶ 0 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 9 , 6 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 7 ⟶ 6 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 7 , 6 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 3 ⟶ 6 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 3 , 6 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 2 ⟶ 6 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 2 , 6 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 9 ⟶ 6 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 9 , 7 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 7 ⟶ 7 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 7 , 7 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 3 ⟶ 7 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 3 , 7 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 2 ⟶ 7 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 2 , 7 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 9 ⟶ 7 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 9 , 10 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 7 ⟶ 10 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 7 , 10 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 3 ⟶ 10 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 3 , 10 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 2 ⟶ 10 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 2 , 10 1 2 3 4 2 3 5 4 3 4 3 6 0 1 2 2 9 ⟶ 10 1 7 1 2 3 6 8 5 4 3 4 2 2 3 4 2 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.