/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 2 ↦ 1, 1 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 1 1 0 2 3 2 1 3 2 0 1 0 3 3 ⟶ 0 0 1 1 3 3 0 0 3 0 0 1 1 0 2 2 2 3 , 0 0 0 3 2 1 3 2 1 0 2 2 3 1 3 2 2 1 ⟶ 0 3 0 2 3 2 2 2 0 0 1 1 2 2 3 1 1 3 , 0 0 2 2 1 1 3 0 2 3 2 3 3 2 3 3 0 3 ⟶ 0 3 2 2 0 1 3 2 0 0 2 1 3 3 3 2 3 3 , 0 0 2 1 2 3 2 1 0 2 1 0 3 3 3 2 2 1 ⟶ 1 3 1 3 2 2 2 2 3 0 1 2 0 3 2 0 0 1 , 0 0 2 1 3 1 2 1 2 1 2 3 0 1 2 2 1 1 ⟶ 1 1 0 1 1 2 2 2 1 0 0 3 2 2 2 3 1 1 , 0 0 2 3 0 2 3 2 2 0 3 0 2 3 0 3 0 3 ⟶ 0 0 0 0 3 2 3 0 2 2 3 3 3 0 2 2 3 0 , 0 0 2 3 2 3 1 3 3 2 1 0 2 3 3 0 2 2 ⟶ 1 3 3 2 2 3 0 3 0 2 3 0 0 2 3 1 2 2 , 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0 3 0 2 1 1 0 0 3 ⟶ 0 3 0 0 0 1 1 2 0 0 3 0 1 3 3 2 2 0 , 0 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 3 0 1 0 2 1 ⟶ 0 3 1 2 1 2 2 2 2 2 0 3 0 1 3 3 2 3 , 0 2 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 0 3 0 2 0 2 ⟶ 2 1 0 0 0 1 2 0 1 2 2 2 2 3 2 2 0 2 , 0 2 1 2 1 0 3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 0 ⟶ 1 3 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 0 3 3 2 0 3 , 0 2 1 1 2 1 1 0 0 2 0 3 0 2 2 3 3 2 ⟶ 0 2 0 3 2 0 1 2 3 1 3 0 1 1 2 2 0 2 , 0 2 1 3 2 0 2 0 1 2 3 1 2 1 0 2 0 2 ⟶ 0 1 0 2 2 1 3 3 2 1 0 1 0 2 2 2 0 2 , 0 1 2 1 3 2 3 0 1 0 3 1 3 2 3 3 1 0 ⟶ 1 3 3 0 1 3 3 1 0 0 3 1 2 2 2 3 1 0 , 0 1 2 3 2 1 3 0 2 3 1 1 3 2 2 2 0 2 ⟶ 1 0 3 2 0 1 3 1 2 1 3 0 2 2 2 2 3 2 , 0 3 0 2 3 2 3 0 1 3 0 2 1 1 2 0 2 0 ⟶ 0 3 3 2 1 3 0 0 3 0 0 2 2 2 2 1 1 0 , 0 3 0 1 2 1 2 3 3 0 0 0 3 2 1 3 0 2 ⟶ 0 1 3 0 2 0 0 3 3 3 2 0 0 1 3 1 2 2 , 0 3 2 0 0 2 3 3 3 1 0 0 3 2 3 3 2 3 ⟶ 0 3 3 3 3 1 3 0 2 3 0 2 2 0 2 0 3 3 , 0 3 1 2 3 2 1 1 0 0 0 3 1 0 2 0 2 3 ⟶ 1 3 0 3 1 2 2 2 2 0 3 0 1 0 0 0 3 1 , 0 3 3 0 1 3 0 2 1 2 2 3 3 1 0 3 0 1 ⟶ 0 3 1 3 3 0 3 1 3 3 2 2 0 0 1 2 0 1 , 0 3 3 3 1 2 3 2 2 1 1 1 0 1 0 2 2 2 ⟶ 0 1 0 1 1 3 2 2 2 2 3 1 3 1 3 0 2 2 , 2 0 2 1 3 2 2 3 3 0 3 2 3 2 2 0 2 2 ⟶ 2 2 2 2 0 1 3 0 0 2 2 3 3 2 3 3 2 2 , 2 0 1 2 0 3 1 3 2 3 0 2 2 0 1 3 0 1 ⟶ 2 1 2 2 0 1 1 2 2 0 3 3 3 0 3 0 0 1 , 2 0 1 1 1 1 3 3 0 0 3 0 3 1 0 2 3 0 ⟶ 2 2 3 1 0 1 3 3 0 1 0 0 1 3 1 3 0 0 , 2 0 3 1 1 3 1 0 2 3 3 2 2 3 2 0 2 0 ⟶ 2 2 0 3 0 0 3 1 2 0 2 2 3 3 1 2 1 3 , 2 2 0 0 2 0 1 1 2 0 2 0 2 3 2 2 3 3 ⟶ 2 2 2 3 0 2 3 0 1 2 2 1 2 2 0 0 3 0 , 2 2 0 3 3 3 2 1 2 1 3 2 0 2 0 0 2 1 ⟶ 2 2 2 0 2 2 2 2 3 3 0 1 1 1 3 3 0 0 , 2 2 1 0 0 2 3 0 2 3 0 3 1 0 2 1 0 0 ⟶ 2 2 0 0 3 1 0 2 3 0 1 3 1 0 2 2 0 0 , 2 2 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 2 3 3 2 1 3 ⟶ 2 2 2 2 1 1 0 3 3 2 3 0 3 2 0 0 0 1 , 2 2 3 3 2 0 0 2 0 1 3 3 0 2 3 2 0 2 ⟶ 2 3 0 0 3 0 3 3 2 1 3 0 2 2 2 2 0 2 , 2 1 0 0 2 1 0 2 2 1 2 3 2 2 0 3 2 1 ⟶ 2 2 2 2 0 2 2 1 0 1 2 1 2 0 3 0 1 3 , 2 1 0 3 0 2 2 3 0 0 0 2 1 2 0 1 0 3 ⟶ 2 3 1 1 2 0 0 0 0 3 3 1 2 0 2 2 0 0 , 2 1 2 3 2 0 3 1 1 1 3 3 1 2 1 2 3 3 ⟶ 2 1 1 2 3 1 1 1 3 3 2 3 1 0 3 2 2 3 , 2 1 1 1 3 3 0 1 2 3 2 1 1 2 2 0 2 2 ⟶ 2 1 1 1 3 0 2 3 2 1 1 0 3 1 2 2 2 2 , 2 1 3 1 0 2 3 3 2 1 0 2 3 1 1 3 3 3 ⟶ 2 1 0 3 3 1 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0 1 0 1 1 3 , 1 1 2 1 3 2 2 2 0 1 3 3 3 0 2 0 1 3 ⟶ 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 0 3 0 0 3 3 1 3 , 1 1 1 1 0 3 1 1 0 3 2 0 2 3 3 2 0 1 ⟶ 1 1 1 1 2 0 1 1 2 0 3 2 0 3 0 3 3 1 , 1 1 3 2 3 0 0 3 2 3 1 0 2 2 3 3 3 0 ⟶ 3 0 0 1 1 3 1 3 2 2 2 2 3 3 3 0 3 0 , 1 3 2 0 2 3 3 2 1 2 3 0 1 0 3 3 2 0 ⟶ 3 2 2 2 0 3 1 2 3 0 3 2 0 1 0 1 3 3 , 1 3 2 1 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 3 ⟶ 1 1 0 1 1 1 0 0 3 0 3 3 0 2 2 0 2 1 , 1 3 1 3 1 3 0 1 3 0 3 0 2 0 1 3 3 3 ⟶ 1 3 0 3 3 1 3 1 2 0 0 3 1 0 3 1 3 3 , 1 3 3 2 1 2 3 0 0 3 2 3 0 3 2 0 2 1 ⟶ 1 1 1 3 3 2 0 3 3 2 2 3 0 0 3 2 2 0 , 1 3 3 1 3 3 2 3 1 3 1 3 3 1 2 3 1 3 ⟶ 1 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 1 3 , 3 0 0 0 2 0 1 1 2 1 3 1 3 0 2 0 0 1 ⟶ 3 0 2 0 0 1 1 3 3 1 0 2 2 0 0 1 0 1 , 3 0 0 3 0 1 3 2 1 0 0 2 1 3 0 0 0 2 ⟶ 3 0 2 0 0 0 0 1 2 0 1 1 0 3 3 0 3 2 , 3 0 2 0 0 2 2 3 2 2 3 0 0 2 3 2 3 3 ⟶ 3 3 0 2 3 2 2 0 2 2 2 3 0 3 3 0 2 0 , 3 0 2 1 0 0 1 0 0 2 3 0 2 2 2 0 2 2 ⟶ 0 1 2 2 2 2 0 0 2 0 3 0 3 0 1 0 2 2 , 3 0 2 3 3 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 0 2 ⟶ 3 2 2 3 3 2 3 3 0 2 1 2 2 3 1 2 0 2 , 3 0 1 3 1 0 3 2 0 3 3 2 2 1 3 2 3 2 ⟶ 3 1 3 1 3 3 2 2 2 3 0 0 3 0 1 2 3 2 , 3 0 3 0 2 2 1 2 1 3 3 2 0 1 1 3 2 1 ⟶ 1 0 2 3 3 3 1 3 1 0 2 2 2 1 0 1 2 3 , 3 2 0 0 1 0 2 2 1 2 3 1 1 1 1 0 0 0 ⟶ 1 3 1 2 0 1 3 2 0 0 2 2 1 1 1 0 0 0 , 3 2 0 1 0 3 2 0 1 1 1 3 2 1 1 3 2 3 ⟶ 1 1 3 2 1 3 0 1 3 1 3 0 0 3 2 2 2 1 , 3 2 0 3 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 3 0 2 ⟶ 1 3 1 2 1 3 3 2 2 3 3 2 2 0 3 3 0 2 , 3 2 1 2 3 0 0 1 2 1 3 1 0 2 3 2 3 3 ⟶ 3 2 2 3 0 3 2 3 1 3 0 1 2 3 1 1 2 0 , 3 2 1 3 1 1 1 1 1 2 0 2 0 1 0 0 0 3 ⟶ 3 1 3 1 0 2 0 1 2 0 1 1 2 1 1 0 0 3 , 3 2 3 2 1 2 0 2 0 3 3 2 1 3 3 3 0 3 ⟶ 3 3 3 2 2 0 3 0 1 2 2 3 2 3 3 1 0 3 , 3 2 3 2 1 3 0 1 3 3 2 3 2 2 1 2 0 0 ⟶ 1 0 3 2 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 1 2 0 0 , 3 2 3 1 2 3 2 0 2 1 1 3 3 0 3 3 2 2 ⟶ 3 3 3 2 1 0 1 2 3 1 3 3 3 0 2 2 2 2 , 3 2 3 1 1 1 1 3 1 0 3 0 0 3 1 1 1 1 ⟶ 1 1 2 0 3 1 1 1 3 0 0 1 3 3 3 1 1 1 , 3 1 1 1 2 0 2 3 2 2 1 3 2 0 2 2 3 3 ⟶ 3 2 1 3 2 2 2 3 0 1 1 1 3 2 2 2 0 3 , 3 3 0 1 2 1 1 3 2 1 0 1 0 2 3 0 0 2 ⟶ 1 2 3 1 3 3 1 3 0 0 0 1 0 0 1 2 2 2 , 3 3 2 0 1 2 1 2 3 3 2 3 2 1 3 1 2 0 ⟶ 3 3 1 2 2 2 2 2 3 3 3 1 0 3 2 1 0 1 , 3 3 2 0 3 0 3 1 1 1 3 2 2 1 3 1 2 3 ⟶ 1 2 2 2 3 0 3 1 0 1 3 3 3 1 2 1 3 3 , 3 3 2 2 1 3 1 2 1 2 1 3 0 0 1 1 2 2 ⟶ 3 1 2 1 2 1 3 0 1 3 3 1 0 1 2 2 2 2 , 3 3 1 2 0 1 3 2 1 1 1 1 2 3 3 0 3 1 ⟶ 3 1 3 0 1 1 2 2 3 3 1 2 0 3 1 1 3 1 , 3 3 1 1 3 0 3 2 1 3 3 0 2 1 2 1 0 1 ⟶ 3 1 2 2 1 3 1 1 2 3 3 3 0 0 3 0 1 1 , 3 3 3 2 0 1 2 0 2 3 3 2 3 3 3 0 2 1 ⟶ 3 3 0 3 3 1 2 0 1 3 3 3 2 0 2 2 2 3 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 3 ↦ 0, 0 ↦ 1, 1 ↦ 2, 2 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 1 2 1 3 0 2 3 0 3 1 2 2 1 1 1 1 ⟶ 0 3 3 3 1 2 2 1 1 0 1 1 0 0 2 2 1 1 , 2 3 3 0 2 0 3 3 1 2 3 0 2 3 0 1 1 1 ⟶ 0 2 2 0 3 3 2 2 1 1 3 3 3 0 3 1 0 1 , 0 1 0 0 3 0 0 3 0 3 1 0 2 2 3 3 1 1 ⟶ 0 0 3 0 0 0 2 3 1 1 3 0 2 1 3 3 0 1 , 2 3 3 0 0 0 1 2 3 1 2 3 0 3 2 3 1 1 ⟶ 2 1 1 3 0 1 3 2 1 0 3 3 3 3 0 2 0 2 , 2 2 3 3 2 1 0 3 2 3 2 3 2 0 2 3 1 1 ⟶ 2 2 0 3 3 3 0 1 1 2 3 3 3 2 2 1 2 2 , 0 1 0 1 0 3 1 0 1 3 3 0 3 1 0 3 1 1 ⟶ 1 0 3 3 1 0 0 0 3 3 1 0 3 0 1 1 1 1 , 3 3 1 0 0 3 1 2 3 0 0 2 0 3 0 3 1 1 ⟶ 3 3 2 0 3 1 1 0 3 1 0 1 0 3 3 0 0 2 , 0 1 1 2 2 3 1 0 1 0 3 1 2 1 0 1 3 1 ⟶ 1 3 3 0 0 2 1 0 1 1 3 2 2 1 1 1 0 1 , 2 3 1 2 1 0 3 3 2 3 0 0 3 0 0 3 3 1 ⟶ 0 3 0 0 2 1 0 1 3 3 3 3 3 2 3 2 0 1 , 3 1 3 1 0 1 3 2 3 3 2 3 3 3 1 2 3 1 ⟶ 3 1 3 3 0 3 3 3 3 2 1 3 2 1 1 1 2 3 , 1 3 0 3 2 3 0 3 2 3 0 0 1 2 3 2 3 1 ⟶ 0 1 3 0 0 1 3 3 2 2 1 3 3 3 3 2 0 2 , 3 0 0 3 3 1 0 1 3 1 1 2 2 3 2 2 3 1 ⟶ 3 1 3 3 2 2 1 0 2 0 3 2 1 3 0 1 3 1 , 3 1 3 1 2 3 2 0 3 2 1 3 1 3 0 2 3 1 ⟶ 3 1 3 3 3 1 2 1 2 3 0 0 2 3 3 1 2 1 , 1 2 0 0 3 0 2 0 1 2 1 0 3 0 2 3 2 1 ⟶ 1 2 0 3 3 3 2 0 1 1 2 0 0 2 1 0 0 2 , 3 1 3 3 3 0 2 2 0 3 1 0 2 3 0 3 2 1 ⟶ 3 0 3 3 3 3 1 0 2 3 2 0 2 1 3 0 1 2 , 1 3 1 3 2 2 3 1 0 2 1 0 3 0 3 1 0 1 ⟶ 1 2 2 3 3 3 3 1 1 0 1 1 0 2 3 0 0 1 , 3 1 0 2 3 0 1 1 1 0 0 3 2 3 2 1 0 1 ⟶ 3 3 2 0 2 1 1 3 0 0 0 1 1 3 1 0 2 1 , 0 3 0 0 3 0 1 1 2 0 0 0 3 1 1 3 0 1 ⟶ 0 0 1 3 1 3 3 1 0 3 1 0 2 0 0 0 0 1 , 0 3 1 3 1 2 0 1 1 1 2 2 3 0 3 2 0 1 ⟶ 2 0 1 1 1 2 1 0 1 3 3 3 3 2 0 1 0 2 , 2 1 0 1 2 0 0 3 3 2 3 1 0 2 1 0 0 1 ⟶ 2 1 3 2 1 1 3 3 0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 , 3 3 3 1 2 1 2 2 2 3 3 0 3 2 0 0 0 1 ⟶ 3 3 1 0 2 0 2 0 3 3 3 3 0 2 2 1 2 1 , 3 3 1 3 3 0 3 0 1 0 0 3 3 0 2 3 1 3 ⟶ 3 3 0 0 3 0 0 3 3 1 1 0 2 1 3 3 3 3 , 2 1 0 2 1 3 3 1 0 3 0 2 0 1 3 2 1 3 ⟶ 2 1 1 0 1 0 0 0 1 3 3 2 2 1 3 3 2 3 , 1 0 3 1 2 0 1 0 1 1 0 0 2 2 2 2 1 3 ⟶ 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 0 0 2 1 2 0 3 3 , 1 3 1 3 0 3 3 0 0 3 1 2 0 2 2 0 1 3 ⟶ 0 2 3 2 0 0 3 3 1 3 2 0 1 1 0 1 3 3 , 0 0 3 3 0 3 1 3 1 3 2 2 1 3 1 1 3 3 ⟶ 1 0 1 1 3 3 2 3 3 2 1 0 3 1 0 3 3 3 , 2 3 1 1 3 1 3 0 2 3 2 3 0 0 0 1 3 3 ⟶ 1 1 0 0 2 2 2 1 0 0 3 3 3 3 1 3 3 3 , 1 1 2 3 1 2 0 1 0 3 1 0 3 1 1 2 3 3 ⟶ 1 1 3 3 1 2 0 2 1 0 3 1 2 0 1 1 3 3 , 0 2 3 0 0 3 1 1 1 3 2 1 1 2 3 0 3 3 ⟶ 2 1 1 1 3 0 1 0 3 0 0 1 2 2 3 3 3 3 , 3 1 3 0 3 1 0 0 2 1 3 1 1 3 0 0 3 3 ⟶ 3 1 3 3 3 3 1 0 2 3 0 0 1 0 1 1 0 3 , 2 3 0 1 3 3 0 3 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 ⟶ 0 2 1 0 1 3 2 3 2 1 2 3 3 1 3 3 3 3 , 0 1 2 1 3 2 3 1 1 1 0 3 3 1 0 1 2 3 ⟶ 1 1 3 3 1 3 2 0 0 1 1 1 1 3 2 2 0 3 , 0 0 3 2 3 2 0 0 2 2 2 0 1 3 0 3 2 3 ⟶ 0 3 3 0 1 2 0 3 0 0 2 2 2 0 3 2 2 3 , 3 3 1 3 3 2 2 3 0 3 2 1 0 0 2 2 2 3 ⟶ 3 3 3 3 2 0 1 2 2 3 0 3 1 0 2 2 2 3 , 0 0 0 2 2 0 3 1 2 3 0 0 3 1 2 0 2 3 ⟶ 0 2 0 3 3 2 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 2 3 , 1 0 0 3 0 3 1 0 2 0 3 0 2 0 0 1 0 3 ⟶ 1 0 0 0 0 3 0 0 0 2 2 1 0 3 3 1 0 3 , 3 2 3 0 1 3 0 2 2 1 3 1 3 3 2 3 0 3 ⟶ 3 2 2 2 3 3 1 0 3 3 0 0 2 3 1 1 3 3 , 0 0 1 1 3 0 0 2 3 0 1 0 3 2 2 3 0 3 ⟶ 0 0 2 3 3 0 0 0 1 0 2 3 1 3 2 1 0 3 , 2 2 0 3 2 3 3 0 3 3 3 1 2 0 3 2 0 3 ⟶ 2 0 2 2 0 3 3 3 2 0 3 3 2 1 3 0 3 3 , 0 3 1 2 0 3 0 1 1 2 3 2 2 1 0 2 0 3 ⟶ 0 2 2 1 2 0 1 3 3 0 0 2 3 2 1 1 0 3 , 0 3 1 3 0 3 0 3 1 1 2 1 1 3 1 0 0 3 ⟶ 1 3 1 3 0 0 1 2 0 3 3 1 1 0 1 0 3 3 , 1 3 3 1 3 3 0 3 1 2 3 0 1 2 1 2 1 2 ⟶ 1 1 2 2 0 3 3 3 1 1 0 2 1 1 3 3 3 2 , 2 3 3 1 3 2 3 3 0 2 1 3 3 2 3 1 3 2 ⟶ 2 3 0 3 2 3 3 3 1 3 3 2 2 3 1 1 3 2 , 3 3 1 2 3 3 1 3 0 0 2 3 1 3 2 2 3 2 ⟶ 3 3 2 3 3 3 2 3 2 2 1 0 3 1 1 0 3 2 , 2 3 3 2 2 3 2 1 3 1 1 3 3 2 3 0 3 2 ⟶ 2 3 3 2 2 0 1 2 3 3 1 1 3 3 2 3 3 2 , 2 1 0 2 2 3 2 1 2 1 0 0 3 2 3 0 3 2 ⟶ 0 1 0 3 1 2 2 1 2 0 0 2 3 3 2 2 3 2 , 1 1 0 0 1 3 1 1 0 3 2 3 2 2 2 1 2 2 ⟶ 1 1 0 3 2 0 1 1 3 2 2 2 0 3 1 2 1 2 , 0 2 2 0 1 1 0 1 0 0 1 2 0 2 2 1 2 2 ⟶ 0 2 2 1 2 1 1 0 1 2 0 0 1 2 0 2 0 2 , 0 2 1 3 1 0 0 0 2 1 3 3 3 0 2 3 2 2 ⟶ 0 2 0 0 1 1 0 1 0 3 2 2 3 3 3 3 2 2 , 2 1 3 0 0 3 1 3 0 1 2 2 0 1 2 2 2 2 ⟶ 2 0 0 1 0 1 3 0 1 3 2 2 1 3 2 2 2 2 , 1 0 0 0 3 3 1 2 0 3 0 1 1 0 3 0 2 2 ⟶ 1 0 1 0 0 0 3 3 3 3 0 2 0 2 2 1 1 0 , 1 3 0 0 1 2 1 0 3 2 3 0 0 3 1 3 0 2 ⟶ 0 0 2 1 2 1 3 0 1 0 3 2 0 1 3 3 3 0 , 0 3 1 3 1 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 3 0 2 ⟶ 2 3 1 3 3 1 0 0 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 , 0 0 0 2 1 3 1 0 1 0 2 1 0 2 0 2 0 2 ⟶ 0 0 2 0 1 2 0 1 1 3 2 0 2 0 0 1 0 2 , 2 3 1 3 0 1 0 3 0 1 1 0 3 2 3 0 0 2 ⟶ 1 3 3 0 1 1 0 3 3 0 0 1 3 0 0 2 2 2 , 0 2 0 3 2 0 0 2 0 2 0 3 0 0 2 0 0 2 ⟶ 0 2 0 0 0 0 0 0 3 2 0 3 2 2 0 2 0 2 , 2 1 1 3 1 0 2 0 2 3 2 2 1 3 1 1 1 0 ⟶ 2 1 2 1 1 3 3 1 2 0 0 2 2 1 1 3 1 0 , 3 1 1 1 0 2 3 1 1 2 3 0 2 1 0 1 1 0 ⟶ 3 0 1 0 0 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 3 1 0 , 0 0 3 0 3 1 1 0 3 3 0 3 3 1 1 3 1 0 ⟶ 1 3 1 0 0 1 0 3 3 3 1 3 3 0 3 1 0 0 , 3 3 1 3 3 3 1 0 3 1 1 2 1 1 2 3 1 0 ⟶ 3 3 1 2 1 0 1 0 1 3 1 1 3 3 3 3 2 1 , 3 1 3 0 2 0 3 3 2 3 0 3 3 0 0 3 1 0 ⟶ 3 1 3 2 0 3 3 2 3 1 0 0 3 0 0 3 3 0 , 3 0 3 0 2 3 3 0 0 1 3 0 1 2 0 2 1 0 ⟶ 3 0 3 2 1 0 1 1 0 3 3 3 0 0 2 0 2 0 , 2 3 0 2 2 1 3 0 0 2 3 2 3 3 1 0 1 0 ⟶ 0 3 2 1 2 3 3 3 1 2 0 2 0 0 0 3 1 2 , 1 1 1 2 2 2 2 0 3 2 3 3 1 2 1 1 3 0 ⟶ 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 3 0 2 1 3 2 0 2 , 0 3 0 2 2 3 0 2 2 2 1 3 0 1 2 1 3 0 ⟶ 2 3 3 3 0 1 1 0 2 0 2 1 0 2 3 0 2 2 , 3 1 0 3 3 2 0 0 0 3 0 2 2 3 0 1 3 0 ⟶ 3 1 0 0 1 3 3 0 0 3 3 0 0 2 3 2 0 2 , 0 0 3 0 3 1 2 0 2 3 2 1 1 0 3 2 3 0 ⟶ 1 3 2 2 0 3 2 1 0 2 0 3 0 1 0 3 3 0 , 0 1 1 1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2 0 2 3 0 ⟶ 0 1 1 2 2 3 2 2 1 3 2 1 3 1 2 0 2 0 , 0 1 0 0 0 2 3 0 0 1 3 1 3 2 3 0 3 0 ⟶ 0 1 2 0 0 3 0 3 3 2 1 0 1 3 3 0 0 0 , 1 1 3 2 3 3 0 3 0 0 2 1 0 2 3 0 3 0 ⟶ 1 1 3 2 0 3 3 0 0 0 3 2 3 0 3 0 1 2 , 3 3 0 0 1 0 0 2 2 3 1 3 0 3 2 0 3 0 ⟶ 3 3 3 3 1 0 0 0 2 0 3 2 1 2 3 0 0 0 , 2 2 2 2 0 1 1 0 1 2 0 2 2 2 2 0 3 0 ⟶ 2 2 2 0 0 0 2 1 1 0 2 2 2 0 1 3 2 2 , 0 0 3 3 1 3 0 2 3 3 0 3 1 3 2 2 2 0 ⟶ 0 1 3 3 3 0 2 2 2 1 0 3 3 3 0 2 3 0 , 3 1 1 0 3 1 2 1 2 3 0 2 2 3 2 1 0 0 ⟶ 3 3 3 2 1 1 2 1 1 1 0 2 0 0 2 0 3 2 , 1 3 2 0 2 3 0 3 0 0 3 2 3 2 1 3 0 0 ⟶ 2 1 2 3 0 1 2 0 0 0 3 3 3 3 3 2 0 0 , 0 3 2 0 2 3 3 0 2 2 2 0 1 0 1 3 0 0 ⟶ 0 0 2 3 2 0 0 0 2 1 2 0 1 0 3 3 3 2 , 3 3 2 2 1 1 0 2 3 2 3 2 0 2 3 3 0 0 ⟶ 3 3 3 3 2 1 2 0 0 2 1 0 2 3 2 3 2 0 , 2 0 1 0 0 3 2 2 2 2 3 0 2 1 3 2 0 0 ⟶ 2 0 2 2 0 1 3 2 0 0 3 3 2 2 1 0 2 0 , 2 1 2 3 2 3 1 0 0 2 3 0 1 0 2 2 0 0 ⟶ 2 2 1 0 1 1 0 0 0 3 2 2 0 2 3 3 2 0 , 2 3 1 0 0 0 3 0 0 3 1 3 2 1 3 0 0 0 ⟶ 0 3 3 3 1 3 0 0 0 2 1 3 2 0 0 1 0 0 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,1) ↦ 3, (1,3) ↦ 4, (3,0) ↦ 5, (0,2) ↦ 6, (2,3) ↦ 7, (0,3) ↦ 8, (3,1) ↦ 9, (2,2) ↦ 10, (1,1) ↦ 11, (1,0) ↦ 12, (3,3) ↦ 13, (1,5) ↦ 14, (2,0) ↦ 15, (4,0) ↦ 16, (3,2) ↦ 17, (4,2) ↦ 18, (2,5) ↦ 19, (4,1) ↦ 20, (4,3) ↦ 21, (3,5) ↦ 22, (0,5) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 12 ⟶ 0 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 12 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 11 ⟶ 0 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 11 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 2 ⟶ 0 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 2 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 4 ⟶ 0 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 4 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 14 ⟶ 0 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 14 , 12 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 12 ⟶ 12 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 12 , 12 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 11 ⟶ 12 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 11 , 12 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 2 ⟶ 12 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 2 , 12 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 4 ⟶ 12 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 4 , 12 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 14 ⟶ 12 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 14 , 15 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 12 ⟶ 15 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 12 , 15 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 11 ⟶ 15 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 11 , 15 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 2 ⟶ 15 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 2 , 15 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 4 ⟶ 15 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 4 , 15 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 14 ⟶ 15 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 14 , 5 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 12 ⟶ 5 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 12 , 5 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 11 ⟶ 5 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 11 , 5 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 2 ⟶ 5 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 2 , 5 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 4 ⟶ 5 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 4 , 5 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 14 ⟶ 5 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 14 , 16 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 12 ⟶ 16 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 12 , 16 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 11 ⟶ 16 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 11 , 16 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 2 ⟶ 16 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 2 , 16 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 4 ⟶ 16 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 4 , 16 0 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 2 10 3 11 11 11 14 ⟶ 16 8 13 13 9 2 10 3 11 12 1 11 12 0 6 10 3 11 14 , 6 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 12 ⟶ 0 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 12 , 6 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 11 ⟶ 0 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 11 , 6 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 2 ⟶ 0 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 2 , 6 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 4 ⟶ 0 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 4 , 6 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 14 ⟶ 0 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 14 , 2 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 12 ⟶ 12 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 12 , 2 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 11 ⟶ 12 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 11 , 2 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 2 ⟶ 12 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 2 , 2 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 4 ⟶ 12 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 4 , 2 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 14 ⟶ 12 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 14 , 10 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 12 ⟶ 15 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 12 , 10 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 11 ⟶ 15 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 11 , 10 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 2 ⟶ 15 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 2 , 10 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 4 ⟶ 15 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 4 , 10 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 14 ⟶ 15 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 14 , 17 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 12 ⟶ 5 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 12 , 17 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 11 ⟶ 5 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 11 , 17 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 2 ⟶ 5 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 2 , 17 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 4 ⟶ 5 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 4 , 17 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 14 ⟶ 5 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 14 , 18 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 12 ⟶ 16 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 12 , 18 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 11 ⟶ 16 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 11 , 18 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 2 ⟶ 16 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 2 , 18 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 4 ⟶ 16 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 4 , 18 7 13 5 6 15 8 13 9 2 7 5 6 7 5 1 11 11 14 ⟶ 16 6 10 15 8 13 17 10 3 11 4 13 13 5 8 9 12 1 14 , 0 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 12 ⟶ 0 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 12 , 0 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 11 ⟶ 0 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 11 , 0 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 2 ⟶ 0 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 2 , 0 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 4 ⟶ 0 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 4 , 0 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 14 ⟶ 0 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 14 , 12 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 12 ⟶ 12 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 12 , 12 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 11 ⟶ 12 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 11 , 12 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 2 ⟶ 12 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 2 , 12 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 10 7 13 9 11 4 ⟶ 12 0 8 5 0 0 6 7 9 11 4 5 6 3 4 13 5 1 4 , 12 1 12 0 8 5 0 8 5 8 9 12 6 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5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 6 , 6 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 8 ⟶ 0 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 8 , 6 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 23 ⟶ 0 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 23 , 2 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 0 ⟶ 12 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 0 , 2 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 1 ⟶ 12 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 1 , 2 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 6 ⟶ 12 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 6 , 2 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 8 ⟶ 12 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 8 , 2 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 23 ⟶ 12 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 23 , 10 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 0 ⟶ 15 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 0 , 10 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 1 ⟶ 15 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 1 , 10 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 6 ⟶ 15 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 6 , 10 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 8 ⟶ 15 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 8 , 10 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 23 ⟶ 15 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 23 , 17 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 0 ⟶ 5 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 0 , 17 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 1 ⟶ 5 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 1 , 17 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 6 ⟶ 5 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 6 , 17 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 8 ⟶ 5 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 8 , 17 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 23 ⟶ 5 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 23 , 18 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 0 ⟶ 16 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 0 , 18 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 1 ⟶ 16 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 1 , 18 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 6 ⟶ 16 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 6 , 18 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 8 ⟶ 16 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 8 , 18 7 9 12 0 0 8 5 0 8 9 4 17 3 4 5 0 0 23 ⟶ 16 8 13 13 9 4 5 0 0 6 3 4 17 15 0 1 12 0 23 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 12 ↦ 2, 8 ↦ 3, 5 ↦ 4, 9 ↦ 5, 6 ↦ 6, 10 ↦ 7, 7 ↦ 8, 13 ↦ 9, 11 ↦ 10, 4 ↦ 11, 3 ↦ 12, 2 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 21 ↦ 18, 18 ↦ 19, 22 ↦ 20, 20 ↦ 21, 19 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 400-rule system { 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 15 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 15 0 3 4 0 0 6 8 5 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15 6 15 23 , 16 1 10 10 13 12 11 5 11 17 7 7 7 7 15 6 8 4 0 ⟶ 16 1 10 13 7 8 17 7 12 11 17 12 11 5 13 15 6 15 0 , 16 1 10 10 13 12 11 5 11 17 7 7 7 7 15 6 8 4 1 ⟶ 16 1 10 13 7 8 17 7 12 11 17 12 11 5 13 15 6 15 1 , 16 1 10 10 13 12 11 5 11 17 7 7 7 7 15 6 8 4 6 ⟶ 16 1 10 13 7 8 17 7 12 11 17 12 11 5 13 15 6 15 6 , 16 1 10 10 13 12 11 5 11 17 7 7 7 7 15 6 8 4 3 ⟶ 16 1 10 13 7 8 17 7 12 11 17 12 11 5 13 15 6 15 3 , 16 1 10 10 13 12 11 5 11 17 7 7 7 7 15 6 8 4 23 ⟶ 16 1 10 13 7 8 17 7 12 11 17 12 11 5 13 15 6 15 23 , 1 10 11 17 8 9 4 3 4 0 6 12 2 6 8 4 3 4 0 ⟶ 1 10 11 17 15 3 9 4 0 0 3 17 8 4 3 4 1 13 15 , 1 10 11 17 8 9 4 3 4 0 6 12 2 6 8 4 3 4 1 ⟶ 1 10 11 17 15 3 9 4 0 0 3 17 8 4 3 4 1 13 12 , 1 10 11 17 8 9 4 3 4 0 6 12 2 6 8 4 3 4 6 ⟶ 1 10 11 17 15 3 9 4 0 0 3 17 8 4 3 4 1 13 7 , 1 10 11 17 8 9 4 3 4 0 6 12 2 6 8 4 3 4 3 ⟶ 1 10 11 17 15 3 9 4 0 0 3 17 8 4 3 4 1 13 8 , 1 10 11 17 8 9 4 3 4 0 6 12 2 6 8 4 3 4 23 ⟶ 1 10 11 17 15 3 9 4 0 0 3 17 8 4 3 4 1 13 22 , 10 10 11 17 8 9 4 3 4 0 6 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7 7 15 1 11 17 7 7 , 7 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 3 ⟶ 7 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 8 , 7 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 23 ⟶ 7 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 22 , 17 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 0 ⟶ 17 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 15 , 17 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 1 ⟶ 17 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 12 , 17 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 6 ⟶ 17 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 7 , 17 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 3 ⟶ 17 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 8 , 17 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 23 ⟶ 17 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 22 , 19 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 0 ⟶ 19 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 15 , 19 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 1 ⟶ 19 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 12 , 19 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 6 ⟶ 19 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 7 , 19 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 3 ⟶ 19 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 8 , 19 7 7 7 15 1 10 2 1 13 15 6 7 7 7 15 3 4 23 ⟶ 19 7 7 15 0 0 6 12 10 2 6 7 7 15 1 11 17 7 22 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 19 ↦ 18, 22 ↦ 19, 21 ↦ 20 }, it remains to prove termination of the 145-rule system { 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 0 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 0 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 2 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 2 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 15 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 15 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 15 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 15 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 15 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 15 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 15 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 15 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 15 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 15 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 4 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 4 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 4 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 4 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 4 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 4 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 4 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 4 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 4 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 4 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 16 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 2 ⟶ 16 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 2 , 16 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 10 ⟶ 16 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 10 , 16 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 13 ⟶ 16 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 13 , 16 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 11 ⟶ 16 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 11 , 16 1 2 0 3 4 0 3 4 3 5 2 6 7 8 9 5 10 14 ⟶ 16 0 3 4 0 0 6 8 5 10 11 4 6 12 11 9 4 1 14 , 6 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 2 ⟶ 6 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 2 , 6 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 10 ⟶ 6 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 10 , 6 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 13 ⟶ 6 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 13 , 6 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 11 ⟶ 6 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 11 , 6 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 14 ⟶ 6 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 14 , 13 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 2 ⟶ 13 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 2 , 13 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 10 ⟶ 13 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 10 , 13 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 13 ⟶ 13 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 13 , 13 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 11 ⟶ 13 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 11 , 13 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 14 ⟶ 13 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 14 , 7 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 2 ⟶ 7 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 2 , 7 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 10 ⟶ 7 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 10 , 7 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 13 ⟶ 7 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 13 , 7 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 11 ⟶ 7 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 11 , 7 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 14 ⟶ 7 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 14 , 17 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 2 ⟶ 17 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 15 1 2 , 17 12 2 1 13 15 0 3 9 17 8 5 2 6 12 2 0 1 10 ⟶ 17 12 11 17 12 10 11 9 4 0 6 15 1 2 0 6 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1 13 15 6 7 12 13 7 19 ⟶ 16 6 7 12 13 12 10 2 1 13 15 0 1 13 15 6 15 6 19 , 1 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 0 ⟶ 1 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 15 , 1 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 1 ⟶ 1 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 12 , 1 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 6 ⟶ 1 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 7 , 1 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 3 ⟶ 1 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 8 , 10 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 0 ⟶ 10 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 15 , 10 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 1 ⟶ 10 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 12 , 10 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 6 ⟶ 10 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 7 , 10 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 3 ⟶ 10 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 8 , 12 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 0 ⟶ 12 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 15 , 12 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 1 ⟶ 12 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 12 , 12 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 6 ⟶ 12 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 7 , 12 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 3 ⟶ 12 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 8 , 5 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 0 ⟶ 5 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 15 , 5 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 1 ⟶ 5 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 12 , 5 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 6 ⟶ 5 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 7 , 5 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 3 ⟶ 5 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 8 , 20 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 0 ⟶ 20 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 15 , 20 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 1 ⟶ 20 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 12 , 20 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 6 ⟶ 20 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 7 , 20 10 10 13 7 7 7 15 3 17 8 9 5 13 12 10 11 4 3 ⟶ 20 10 10 13 7 7 8 9 5 10 11 4 6 12 11 17 15 6 8 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 1 ↦ 0, 10 ↦ 1, 13 ↦ 2, 7 ↦ 3, 15 ↦ 4, 3 ↦ 5, 17 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 5 ↦ 9, 12 ↦ 10, 11 ↦ 11, 4 ↦ 12, 6 ↦ 13, 20 ↦ 14 }, it remains to prove termination of the 15-rule system { 0 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 0 ⟶ 0 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 10 , 0 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 13 ⟶ 0 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 3 , 0 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 5 ⟶ 0 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 7 , 1 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 0 ⟶ 1 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 10 , 1 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 13 ⟶ 1 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 3 , 1 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 5 ⟶ 1 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 7 , 10 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 0 ⟶ 10 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 10 , 10 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 13 ⟶ 10 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 3 , 10 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 5 ⟶ 10 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 7 , 9 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 0 ⟶ 9 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 10 , 9 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 13 ⟶ 9 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 3 , 9 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 5 ⟶ 9 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 7 , 14 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 0 ⟶ 14 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 10 , 14 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 13 ⟶ 14 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 3 , 14 1 1 2 3 3 3 4 5 6 7 8 9 2 10 1 11 12 5 ⟶ 14 1 1 2 3 3 7 8 9 1 11 12 13 10 11 6 4 13 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.