/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 47-rule system { 0 0 1 2 ⟶ 0 2 0 1 1 , 0 1 2 2 ⟶ 0 2 2 1 0 , 0 1 2 2 ⟶ 1 0 2 2 0 , 0 1 2 3 ⟶ 0 2 0 1 3 , 0 1 2 3 ⟶ 0 2 3 3 1 , 0 2 1 2 ⟶ 0 2 2 0 1 , 0 2 1 2 ⟶ 0 2 2 2 1 , 0 2 1 2 ⟶ 0 2 2 2 1 1 , 0 3 2 2 ⟶ 3 4 0 2 2 , 0 3 2 2 ⟶ 0 2 2 2 2 3 , 0 4 1 2 ⟶ 0 2 2 1 4 , 0 4 1 2 ⟶ 4 0 2 0 1 , 0 5 0 1 ⟶ 0 2 0 2 5 1 , 0 5 0 5 ⟶ 0 2 0 5 5 , 0 5 2 1 ⟶ 0 2 2 5 1 , 0 5 2 5 ⟶ 0 2 2 5 5 , 0 5 4 2 ⟶ 4 0 2 2 0 5 , 2 1 0 3 ⟶ 4 0 2 2 3 1 , 2 1 0 4 ⟶ 1 4 0 2 2 2 , 2 5 4 2 ⟶ 4 0 2 2 5 , 0 0 1 0 4 ⟶ 0 0 2 0 1 4 , 0 0 5 4 2 ⟶ 0 4 0 0 2 5 , 0 1 0 1 2 ⟶ 0 2 0 1 4 1 , 0 1 2 0 3 ⟶ 0 2 0 4 1 3 , 0 1 2 2 2 ⟶ 0 2 2 2 1 2 , 0 1 2 3 2 ⟶ 1 3 4 0 2 2 , 0 1 3 2 3 ⟶ 0 0 2 3 3 1 , 0 1 3 4 2 ⟶ 0 2 3 4 1 1 , 0 2 1 0 1 ⟶ 0 0 2 0 1 1 , 0 2 1 2 2 ⟶ 0 2 0 2 2 1 , 0 2 3 0 5 ⟶ 0 2 0 0 5 3 , 0 3 0 1 3 ⟶ 0 0 4 3 1 3 , 0 3 0 4 1 ⟶ 0 0 1 4 4 3 , 0 3 2 0 4 ⟶ 4 0 0 2 3 4 , 0 4 5 2 3 ⟶ 0 2 2 3 4 5 , 0 5 0 0 3 ⟶ 0 2 0 3 0 5 , 0 5 0 1 2 ⟶ 0 0 2 0 1 5 , 0 5 1 4 2 ⟶ 0 2 0 1 4 5 , 0 5 2 5 1 ⟶ 0 2 0 5 5 1 , 2 1 0 0 4 ⟶ 1 4 4 0 0 2 , 2 5 0 0 3 ⟶ 0 2 0 0 5 3 , 2 5 3 0 1 ⟶ 5 0 2 2 3 1 , 5 0 1 2 2 ⟶ 5 1 0 2 0 2 , 5 2 0 1 2 ⟶ 1 5 4 0 2 2 , 5 2 1 0 1 ⟶ 0 2 3 1 5 1 , 5 2 3 0 1 ⟶ 1 5 0 2 2 3 , 5 3 0 4 1 ⟶ 4 5 0 2 3 1 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 2 ↦ 0, 1 ↦ 1, 0 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 47-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 1 1 2 0 2 , 0 0 1 2 ⟶ 2 1 0 0 2 , 0 0 1 2 ⟶ 2 0 0 2 1 , 3 0 1 2 ⟶ 3 1 2 0 2 , 3 0 1 2 ⟶ 1 3 3 0 2 , 0 1 0 2 ⟶ 1 2 0 0 2 , 0 1 0 2 ⟶ 1 0 0 0 2 , 0 1 0 2 ⟶ 1 1 0 0 0 2 , 0 0 3 2 ⟶ 0 0 2 4 3 , 0 0 3 2 ⟶ 3 0 0 0 0 2 , 0 1 4 2 ⟶ 4 1 0 0 2 , 0 1 4 2 ⟶ 1 2 0 2 4 , 1 2 5 2 ⟶ 1 5 0 2 0 2 , 5 2 5 2 ⟶ 5 5 2 0 2 , 1 0 5 2 ⟶ 1 5 0 0 2 , 5 0 5 2 ⟶ 5 5 0 0 2 , 0 4 5 2 ⟶ 5 2 0 0 2 4 , 3 2 1 0 ⟶ 1 3 0 0 2 4 , 4 2 1 0 ⟶ 0 0 0 2 4 1 , 0 4 5 0 ⟶ 5 0 0 2 4 , 4 2 1 2 2 ⟶ 4 1 2 0 2 2 , 0 4 5 2 2 ⟶ 5 0 2 2 4 2 , 0 1 2 1 2 ⟶ 1 4 1 2 0 2 , 3 2 0 1 2 ⟶ 3 1 4 2 0 2 , 0 0 0 1 2 ⟶ 0 1 0 0 0 2 , 0 3 0 1 2 ⟶ 0 0 2 4 3 1 , 3 0 3 1 2 ⟶ 1 3 3 0 2 2 , 0 4 3 1 2 ⟶ 1 1 4 3 0 2 , 1 2 1 0 2 ⟶ 1 1 2 0 2 2 , 0 0 1 0 2 ⟶ 1 0 0 2 0 2 , 5 2 3 0 2 ⟶ 3 5 2 2 0 2 , 3 1 2 3 2 ⟶ 3 1 3 4 2 2 , 1 4 2 3 2 ⟶ 3 4 4 1 2 2 , 4 2 0 3 2 ⟶ 4 3 0 2 2 4 , 3 0 5 4 2 ⟶ 5 4 3 0 0 2 , 3 2 2 5 2 ⟶ 5 2 3 2 0 2 , 0 1 2 5 2 ⟶ 5 1 2 0 2 2 , 0 4 1 5 2 ⟶ 5 4 1 2 0 2 , 1 5 0 5 2 ⟶ 1 5 5 2 0 2 , 4 2 2 1 0 ⟶ 0 2 2 4 4 1 , 3 2 2 5 0 ⟶ 3 5 2 2 0 2 , 1 2 3 5 0 ⟶ 1 3 0 0 2 5 , 0 0 1 2 5 ⟶ 0 2 0 2 1 5 , 0 1 2 0 5 ⟶ 0 0 2 4 5 1 , 1 2 1 0 5 ⟶ 1 5 1 3 0 2 , 1 2 3 0 5 ⟶ 3 0 0 2 5 1 , 1 4 2 3 5 ⟶ 1 3 0 2 5 4 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,2) ↦ 3, (2,0) ↦ 4, (1,1) ↦ 5, (0,2) ↦ 6, (2,1) ↦ 7, (2,3) ↦ 8, (2,4) ↦ 9, (2,5) ↦ 10, (2,7) ↦ 11, (1,0) ↦ 12, (3,0) ↦ 13, (3,1) ↦ 14, (4,0) ↦ 15, (4,1) ↦ 16, (5,0) ↦ 17, (5,1) ↦ 18, (6,0) ↦ 19, (6,1) ↦ 20, (3,2) ↦ 21, (4,2) ↦ 22, (5,2) ↦ 23, (6,2) ↦ 24, (1,3) ↦ 25, (1,4) ↦ 26, (1,5) ↦ 27, (1,7) ↦ 28, (0,3) ↦ 29, (3,3) ↦ 30, (4,3) ↦ 31, (5,3) ↦ 32, (6,3) ↦ 33, (3,4) ↦ 34, (3,5) ↦ 35, (3,7) ↦ 36, (0,4) ↦ 37, (4,4) ↦ 38, (5,4) ↦ 39, (6,4) ↦ 40, (4,5) ↦ 41, (4,7) ↦ 42, (0,5) ↦ 43, (5,5) ↦ 44, (6,5) ↦ 45, (5,7) ↦ 46 }, it remains to prove termination of the 2261-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 2 4 6 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 2 4 6 7 , 0 1 2 3 3 ⟶ 1 5 2 4 6 3 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 2 4 6 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 2 4 6 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 5 2 4 6 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 5 2 4 6 11 , 12 1 2 3 4 ⟶ 5 5 2 4 6 4 , 12 1 2 3 7 ⟶ 5 5 2 4 6 7 , 12 1 2 3 3 ⟶ 5 5 2 4 6 3 , 12 1 2 3 8 ⟶ 5 5 2 4 6 8 , 12 1 2 3 9 ⟶ 5 5 2 4 6 9 , 12 1 2 3 10 ⟶ 5 5 2 4 6 10 , 12 1 2 3 11 ⟶ 5 5 2 4 6 11 , 4 1 2 3 4 ⟶ 7 5 2 4 6 4 , 4 1 2 3 7 ⟶ 7 5 2 4 6 7 , 4 1 2 3 3 ⟶ 7 5 2 4 6 3 , 4 1 2 3 8 ⟶ 7 5 2 4 6 8 , 4 1 2 3 9 ⟶ 7 5 2 4 6 9 , 4 1 2 3 10 ⟶ 7 5 2 4 6 10 , 4 1 2 3 11 ⟶ 7 5 2 4 6 11 , 13 1 2 3 4 ⟶ 14 5 2 4 6 4 , 13 1 2 3 7 ⟶ 14 5 2 4 6 7 , 13 1 2 3 3 ⟶ 14 5 2 4 6 3 , 13 1 2 3 8 ⟶ 14 5 2 4 6 8 , 13 1 2 3 9 ⟶ 14 5 2 4 6 9 , 13 1 2 3 10 ⟶ 14 5 2 4 6 10 , 13 1 2 3 11 ⟶ 14 5 2 4 6 11 , 15 1 2 3 4 ⟶ 16 5 2 4 6 4 , 15 1 2 3 7 ⟶ 16 5 2 4 6 7 , 15 1 2 3 3 ⟶ 16 5 2 4 6 3 , 15 1 2 3 8 ⟶ 16 5 2 4 6 8 , 15 1 2 3 9 ⟶ 16 5 2 4 6 9 , 15 1 2 3 10 ⟶ 16 5 2 4 6 10 , 15 1 2 3 11 ⟶ 16 5 2 4 6 11 , 17 1 2 3 4 ⟶ 18 5 2 4 6 4 , 17 1 2 3 7 ⟶ 18 5 2 4 6 7 , 17 1 2 3 3 ⟶ 18 5 2 4 6 3 , 17 1 2 3 8 ⟶ 18 5 2 4 6 8 , 17 1 2 3 9 ⟶ 18 5 2 4 6 9 , 17 1 2 3 10 ⟶ 18 5 2 4 6 10 , 17 1 2 3 11 ⟶ 18 5 2 4 6 11 , 19 1 2 3 4 ⟶ 20 5 2 4 6 4 , 19 1 2 3 7 ⟶ 20 5 2 4 6 7 , 19 1 2 3 3 ⟶ 20 5 2 4 6 3 , 19 1 2 3 8 ⟶ 20 5 2 4 6 8 , 19 1 2 3 9 ⟶ 20 5 2 4 6 9 , 19 1 2 3 10 ⟶ 20 5 2 4 6 10 , 19 1 2 3 11 ⟶ 20 5 2 4 6 11 , 0 0 1 2 4 ⟶ 6 7 12 0 6 4 , 0 0 1 2 7 ⟶ 6 7 12 0 6 7 , 0 0 1 2 3 ⟶ 6 7 12 0 6 3 , 0 0 1 2 8 ⟶ 6 7 12 0 6 8 , 0 0 1 2 9 ⟶ 6 7 12 0 6 9 , 0 0 1 2 10 ⟶ 6 7 12 0 6 10 , 0 0 1 2 11 ⟶ 6 7 12 0 6 11 , 12 0 1 2 4 ⟶ 2 7 12 0 6 4 , 12 0 1 2 7 ⟶ 2 7 12 0 6 7 , 12 0 1 2 3 ⟶ 2 7 12 0 6 3 , 12 0 1 2 8 ⟶ 2 7 12 0 6 8 , 12 0 1 2 9 ⟶ 2 7 12 0 6 9 , 12 0 1 2 10 ⟶ 2 7 12 0 6 10 , 12 0 1 2 11 ⟶ 2 7 12 0 6 11 , 4 0 1 2 4 ⟶ 3 7 12 0 6 4 , 4 0 1 2 7 ⟶ 3 7 12 0 6 7 , 4 0 1 2 3 ⟶ 3 7 12 0 6 3 , 4 0 1 2 8 ⟶ 3 7 12 0 6 8 , 4 0 1 2 9 ⟶ 3 7 12 0 6 9 , 4 0 1 2 10 ⟶ 3 7 12 0 6 10 , 4 0 1 2 11 ⟶ 3 7 12 0 6 11 , 13 0 1 2 4 ⟶ 21 7 12 0 6 4 , 13 0 1 2 7 ⟶ 21 7 12 0 6 7 , 13 0 1 2 3 ⟶ 21 7 12 0 6 3 , 13 0 1 2 8 ⟶ 21 7 12 0 6 8 , 13 0 1 2 9 ⟶ 21 7 12 0 6 9 , 13 0 1 2 10 ⟶ 21 7 12 0 6 10 , 13 0 1 2 11 ⟶ 21 7 12 0 6 11 , 15 0 1 2 4 ⟶ 22 7 12 0 6 4 , 15 0 1 2 7 ⟶ 22 7 12 0 6 7 , 15 0 1 2 3 ⟶ 22 7 12 0 6 3 , 15 0 1 2 8 ⟶ 22 7 12 0 6 8 , 15 0 1 2 9 ⟶ 22 7 12 0 6 9 , 15 0 1 2 10 ⟶ 22 7 12 0 6 10 , 15 0 1 2 11 ⟶ 22 7 12 0 6 11 , 17 0 1 2 4 ⟶ 23 7 12 0 6 4 , 17 0 1 2 7 ⟶ 23 7 12 0 6 7 , 17 0 1 2 3 ⟶ 23 7 12 0 6 3 , 17 0 1 2 8 ⟶ 23 7 12 0 6 8 , 17 0 1 2 9 ⟶ 23 7 12 0 6 9 , 17 0 1 2 10 ⟶ 23 7 12 0 6 10 , 17 0 1 2 11 ⟶ 23 7 12 0 6 11 , 19 0 1 2 4 ⟶ 24 7 12 0 6 4 , 19 0 1 2 7 ⟶ 24 7 12 0 6 7 , 19 0 1 2 3 ⟶ 24 7 12 0 6 3 , 19 0 1 2 8 ⟶ 24 7 12 0 6 8 , 19 0 1 2 9 ⟶ 24 7 12 0 6 9 , 19 0 1 2 10 ⟶ 24 7 12 0 6 10 , 19 0 1 2 11 ⟶ 24 7 12 0 6 11 , 0 0 1 2 4 ⟶ 6 4 0 6 7 12 , 0 0 1 2 7 ⟶ 6 4 0 6 7 5 , 0 0 1 2 3 ⟶ 6 4 0 6 7 2 , 0 0 1 2 8 ⟶ 6 4 0 6 7 25 , 0 0 1 2 9 ⟶ 6 4 0 6 7 26 , 0 0 1 2 10 ⟶ 6 4 0 6 7 27 , 0 0 1 2 11 ⟶ 6 4 0 6 7 28 , 12 0 1 2 4 ⟶ 2 4 0 6 7 12 , 12 0 1 2 7 ⟶ 2 4 0 6 7 5 , 12 0 1 2 3 ⟶ 2 4 0 6 7 2 , 12 0 1 2 8 ⟶ 2 4 0 6 7 25 , 12 0 1 2 9 ⟶ 2 4 0 6 7 26 , 12 0 1 2 10 ⟶ 2 4 0 6 7 27 , 12 0 1 2 11 ⟶ 2 4 0 6 7 28 , 4 0 1 2 4 ⟶ 3 4 0 6 7 12 , 4 0 1 2 7 ⟶ 3 4 0 6 7 5 , 4 0 1 2 3 ⟶ 3 4 0 6 7 2 , 4 0 1 2 8 ⟶ 3 4 0 6 7 25 , 4 0 1 2 9 ⟶ 3 4 0 6 7 26 , 4 0 1 2 10 ⟶ 3 4 0 6 7 27 , 4 0 1 2 11 ⟶ 3 4 0 6 7 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29 13 1 2 11 ⟶ 29 14 2 4 6 11 , 25 13 1 2 4 ⟶ 25 14 2 4 6 4 , 25 13 1 2 7 ⟶ 25 14 2 4 6 7 , 25 13 1 2 3 ⟶ 25 14 2 4 6 3 , 25 13 1 2 8 ⟶ 25 14 2 4 6 8 , 25 13 1 2 9 ⟶ 25 14 2 4 6 9 , 25 13 1 2 10 ⟶ 25 14 2 4 6 10 , 25 13 1 2 11 ⟶ 25 14 2 4 6 11 , 8 13 1 2 4 ⟶ 8 14 2 4 6 4 , 8 13 1 2 7 ⟶ 8 14 2 4 6 7 , 8 13 1 2 3 ⟶ 8 14 2 4 6 3 , 8 13 1 2 8 ⟶ 8 14 2 4 6 8 , 8 13 1 2 9 ⟶ 8 14 2 4 6 9 , 8 13 1 2 10 ⟶ 8 14 2 4 6 10 , 8 13 1 2 11 ⟶ 8 14 2 4 6 11 , 30 13 1 2 4 ⟶ 30 14 2 4 6 4 , 30 13 1 2 7 ⟶ 30 14 2 4 6 7 , 30 13 1 2 3 ⟶ 30 14 2 4 6 3 , 30 13 1 2 8 ⟶ 30 14 2 4 6 8 , 30 13 1 2 9 ⟶ 30 14 2 4 6 9 , 30 13 1 2 10 ⟶ 30 14 2 4 6 10 , 30 13 1 2 11 ⟶ 30 14 2 4 6 11 , 31 13 1 2 4 ⟶ 31 14 2 4 6 4 , 31 13 1 2 7 ⟶ 31 14 2 4 6 7 , 31 13 1 2 3 ⟶ 31 14 2 4 6 3 , 31 13 1 2 8 ⟶ 31 14 2 4 6 8 , 31 13 1 2 9 ⟶ 31 14 2 4 6 9 , 31 13 1 2 10 ⟶ 31 14 2 4 6 10 , 31 13 1 2 11 ⟶ 31 14 2 4 6 11 , 32 13 1 2 4 ⟶ 32 14 2 4 6 4 , 32 13 1 2 7 ⟶ 32 14 2 4 6 7 , 32 13 1 2 3 ⟶ 32 14 2 4 6 3 , 32 13 1 2 8 ⟶ 32 14 2 4 6 8 , 32 13 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13 0 6 10 18 28 , 1 26 22 8 35 17 ⟶ 1 25 13 6 10 39 15 , 1 26 22 8 35 18 ⟶ 1 25 13 6 10 39 16 , 1 26 22 8 35 23 ⟶ 1 25 13 6 10 39 22 , 1 26 22 8 35 32 ⟶ 1 25 13 6 10 39 31 , 1 26 22 8 35 39 ⟶ 1 25 13 6 10 39 38 , 1 26 22 8 35 44 ⟶ 1 25 13 6 10 39 41 , 1 26 22 8 35 46 ⟶ 1 25 13 6 10 39 42 , 5 26 22 8 35 17 ⟶ 5 25 13 6 10 39 15 , 5 26 22 8 35 18 ⟶ 5 25 13 6 10 39 16 , 5 26 22 8 35 23 ⟶ 5 25 13 6 10 39 22 , 5 26 22 8 35 32 ⟶ 5 25 13 6 10 39 31 , 5 26 22 8 35 39 ⟶ 5 25 13 6 10 39 38 , 5 26 22 8 35 44 ⟶ 5 25 13 6 10 39 41 , 5 26 22 8 35 46 ⟶ 5 25 13 6 10 39 42 , 7 26 22 8 35 17 ⟶ 7 25 13 6 10 39 15 , 7 26 22 8 35 18 ⟶ 7 25 13 6 10 39 16 , 7 26 22 8 35 23 ⟶ 7 25 13 6 10 39 22 , 7 26 22 8 35 32 ⟶ 7 25 13 6 10 39 31 , 7 26 22 8 35 39 ⟶ 7 25 13 6 10 39 38 , 7 26 22 8 35 44 ⟶ 7 25 13 6 10 39 41 , 7 26 22 8 35 46 ⟶ 7 25 13 6 10 39 42 , 14 26 22 8 35 17 ⟶ 14 25 13 6 10 39 15 , 14 26 22 8 35 18 ⟶ 14 25 13 6 10 39 16 , 14 26 22 8 35 23 ⟶ 14 25 13 6 10 39 22 , 14 26 22 8 35 32 ⟶ 14 25 13 6 10 39 31 , 14 26 22 8 35 39 ⟶ 14 25 13 6 10 39 38 , 14 26 22 8 35 44 ⟶ 14 25 13 6 10 39 41 , 14 26 22 8 35 46 ⟶ 14 25 13 6 10 39 42 , 16 26 22 8 35 17 ⟶ 16 25 13 6 10 39 15 , 16 26 22 8 35 18 ⟶ 16 25 13 6 10 39 16 , 16 26 22 8 35 23 ⟶ 16 25 13 6 10 39 22 , 16 26 22 8 35 32 ⟶ 16 25 13 6 10 39 31 , 16 26 22 8 35 39 ⟶ 16 25 13 6 10 39 38 , 16 26 22 8 35 44 ⟶ 16 25 13 6 10 39 41 , 16 26 22 8 35 46 ⟶ 16 25 13 6 10 39 42 , 18 26 22 8 35 17 ⟶ 18 25 13 6 10 39 15 , 18 26 22 8 35 18 ⟶ 18 25 13 6 10 39 16 , 18 26 22 8 35 23 ⟶ 18 25 13 6 10 39 22 , 18 26 22 8 35 32 ⟶ 18 25 13 6 10 39 31 , 18 26 22 8 35 39 ⟶ 18 25 13 6 10 39 38 , 18 26 22 8 35 44 ⟶ 18 25 13 6 10 39 41 , 18 26 22 8 35 46 ⟶ 18 25 13 6 10 39 42 , 20 26 22 8 35 17 ⟶ 20 25 13 6 10 39 15 , 20 26 22 8 35 18 ⟶ 20 25 13 6 10 39 16 , 20 26 22 8 35 23 ⟶ 20 25 13 6 10 39 22 , 20 26 22 8 35 32 ⟶ 20 25 13 6 10 39 31 , 20 26 22 8 35 39 ⟶ 20 25 13 6 10 39 38 , 20 26 22 8 35 44 ⟶ 20 25 13 6 10 39 41 , 20 26 22 8 35 46 ⟶ 20 25 13 6 10 39 42 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36, 37 ↦ 37, 38 ↦ 38, 39 ↦ 39, 40 ↦ 40, 41 ↦ 41, 42 ↦ 42, 43 ↦ 43, 44 ↦ 44, 45 ↦ 45, 46 ↦ 46 }, it remains to prove termination of the 2233-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 2 4 6 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 2 4 6 7 , 0 1 2 3 3 ⟶ 1 5 2 4 6 3 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 2 4 6 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 2 4 6 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 5 2 4 6 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 5 2 4 6 11 , 12 1 2 3 4 ⟶ 5 5 2 4 6 4 , 12 1 2 3 7 ⟶ 5 5 2 4 6 7 , 12 1 2 3 3 ⟶ 5 5 2 4 6 3 , 12 1 2 3 8 ⟶ 5 5 2 4 6 8 , 12 1 2 3 9 ⟶ 5 5 2 4 6 9 , 12 1 2 3 10 ⟶ 5 5 2 4 6 10 , 12 1 2 3 11 ⟶ 5 5 2 4 6 11 , 4 1 2 3 4 ⟶ 7 5 2 4 6 4 , 4 1 2 3 7 ⟶ 7 5 2 4 6 7 , 4 1 2 3 3 ⟶ 7 5 2 4 6 3 , 4 1 2 3 8 ⟶ 7 5 2 4 6 8 , 4 1 2 3 9 ⟶ 7 5 2 4 6 9 , 4 1 2 3 10 ⟶ 7 5 2 4 6 10 , 4 1 2 3 11 ⟶ 7 5 2 4 6 11 , 13 1 2 3 4 ⟶ 14 5 2 4 6 4 , 13 1 2 3 7 ⟶ 14 5 2 4 6 7 , 13 1 2 3 3 ⟶ 14 5 2 4 6 3 , 13 1 2 3 8 ⟶ 14 5 2 4 6 8 , 13 1 2 3 9 ⟶ 14 5 2 4 6 9 , 13 1 2 3 10 ⟶ 14 5 2 4 6 10 , 13 1 2 3 11 ⟶ 14 5 2 4 6 11 , 15 1 2 3 4 ⟶ 16 5 2 4 6 4 , 15 1 2 3 7 ⟶ 16 5 2 4 6 7 , 15 1 2 3 3 ⟶ 16 5 2 4 6 3 , 15 1 2 3 8 ⟶ 16 5 2 4 6 8 , 15 1 2 3 9 ⟶ 16 5 2 4 6 9 , 15 1 2 3 10 ⟶ 16 5 2 4 6 10 , 15 1 2 3 11 ⟶ 16 5 2 4 6 11 , 17 1 2 3 4 ⟶ 18 5 2 4 6 4 , 17 1 2 3 7 ⟶ 18 5 2 4 6 7 , 17 1 2 3 3 ⟶ 18 5 2 4 6 3 , 17 1 2 3 8 ⟶ 18 5 2 4 6 8 , 17 1 2 3 9 ⟶ 18 5 2 4 6 9 , 17 1 2 3 10 ⟶ 18 5 2 4 6 10 , 17 1 2 3 11 ⟶ 18 5 2 4 6 11 , 19 1 2 3 4 ⟶ 20 5 2 4 6 4 , 19 1 2 3 7 ⟶ 20 5 2 4 6 7 , 19 1 2 3 3 ⟶ 20 5 2 4 6 3 , 19 1 2 3 8 ⟶ 20 5 2 4 6 8 , 19 1 2 3 9 ⟶ 20 5 2 4 6 9 , 19 1 2 3 10 ⟶ 20 5 2 4 6 10 , 19 1 2 3 11 ⟶ 20 5 2 4 6 11 , 0 0 1 2 4 ⟶ 6 7 12 0 6 4 , 0 0 1 2 7 ⟶ 6 7 12 0 6 7 , 0 0 1 2 3 ⟶ 6 7 12 0 6 3 , 0 0 1 2 8 ⟶ 6 7 12 0 6 8 , 0 0 1 2 9 ⟶ 6 7 12 0 6 9 , 0 0 1 2 10 ⟶ 6 7 12 0 6 10 , 0 0 1 2 11 ⟶ 6 7 12 0 6 11 , 12 0 1 2 4 ⟶ 2 7 12 0 6 4 , 12 0 1 2 7 ⟶ 2 7 12 0 6 7 , 12 0 1 2 3 ⟶ 2 7 12 0 6 3 , 12 0 1 2 8 ⟶ 2 7 12 0 6 8 , 12 0 1 2 9 ⟶ 2 7 12 0 6 9 , 12 0 1 2 10 ⟶ 2 7 12 0 6 10 , 12 0 1 2 11 ⟶ 2 7 12 0 6 11 , 4 0 1 2 4 ⟶ 3 7 12 0 6 4 , 4 0 1 2 7 ⟶ 3 7 12 0 6 7 , 4 0 1 2 3 ⟶ 3 7 12 0 6 3 , 4 0 1 2 8 ⟶ 3 7 12 0 6 8 , 4 0 1 2 9 ⟶ 3 7 12 0 6 9 , 4 0 1 2 10 ⟶ 3 7 12 0 6 10 , 4 0 1 2 11 ⟶ 3 7 12 0 6 11 , 13 0 1 2 4 ⟶ 21 7 12 0 6 4 , 13 0 1 2 7 ⟶ 21 7 12 0 6 7 , 13 0 1 2 3 ⟶ 21 7 12 0 6 3 , 13 0 1 2 8 ⟶ 21 7 12 0 6 8 , 13 0 1 2 9 ⟶ 21 7 12 0 6 9 , 13 0 1 2 10 ⟶ 21 7 12 0 6 10 , 13 0 1 2 11 ⟶ 21 7 12 0 6 11 , 15 0 1 2 4 ⟶ 22 7 12 0 6 4 , 15 0 1 2 7 ⟶ 22 7 12 0 6 7 , 15 0 1 2 3 ⟶ 22 7 12 0 6 3 , 15 0 1 2 8 ⟶ 22 7 12 0 6 8 , 15 0 1 2 9 ⟶ 22 7 12 0 6 9 , 15 0 1 2 10 ⟶ 22 7 12 0 6 10 , 15 0 1 2 11 ⟶ 22 7 12 0 6 11 , 17 0 1 2 4 ⟶ 23 7 12 0 6 4 , 17 0 1 2 7 ⟶ 23 7 12 0 6 7 , 17 0 1 2 3 ⟶ 23 7 12 0 6 3 , 17 0 1 2 8 ⟶ 23 7 12 0 6 8 , 17 0 1 2 9 ⟶ 23 7 12 0 6 9 , 17 0 1 2 10 ⟶ 23 7 12 0 6 10 , 17 0 1 2 11 ⟶ 23 7 12 0 6 11 , 19 0 1 2 4 ⟶ 24 7 12 0 6 4 , 19 0 1 2 7 ⟶ 24 7 12 0 6 7 , 19 0 1 2 3 ⟶ 24 7 12 0 6 3 , 19 0 1 2 8 ⟶ 24 7 12 0 6 8 , 19 0 1 2 9 ⟶ 24 7 12 0 6 9 , 19 0 1 2 10 ⟶ 24 7 12 0 6 10 , 19 0 1 2 11 ⟶ 24 7 12 0 6 11 , 0 0 1 2 4 ⟶ 6 4 0 6 7 12 , 0 0 1 2 7 ⟶ 6 4 0 6 7 5 , 0 0 1 2 3 ⟶ 6 4 0 6 7 2 , 0 0 1 2 8 ⟶ 6 4 0 6 7 25 , 0 0 1 2 9 ⟶ 6 4 0 6 7 26 , 0 0 1 2 10 ⟶ 6 4 0 6 7 27 , 0 0 1 2 11 ⟶ 6 4 0 6 7 28 , 12 0 1 2 4 ⟶ 2 4 0 6 7 12 , 12 0 1 2 7 ⟶ 2 4 0 6 7 5 , 12 0 1 2 3 ⟶ 2 4 0 6 7 2 , 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18 26 , 16 2 8 13 43 44 ⟶ 31 13 0 6 10 18 27 , 18 2 8 13 43 17 ⟶ 32 13 0 6 10 18 12 , 18 2 8 13 43 18 ⟶ 32 13 0 6 10 18 5 , 18 2 8 13 43 23 ⟶ 32 13 0 6 10 18 2 , 18 2 8 13 43 32 ⟶ 32 13 0 6 10 18 25 , 18 2 8 13 43 39 ⟶ 32 13 0 6 10 18 26 , 18 2 8 13 43 44 ⟶ 32 13 0 6 10 18 27 , 20 2 8 13 43 17 ⟶ 33 13 0 6 10 18 12 , 20 2 8 13 43 18 ⟶ 33 13 0 6 10 18 5 , 20 2 8 13 43 23 ⟶ 33 13 0 6 10 18 2 , 20 2 8 13 43 32 ⟶ 33 13 0 6 10 18 25 , 20 2 8 13 43 39 ⟶ 33 13 0 6 10 18 26 , 20 2 8 13 43 44 ⟶ 33 13 0 6 10 18 27 , 1 26 22 8 35 17 ⟶ 1 25 13 6 10 39 15 , 1 26 22 8 35 18 ⟶ 1 25 13 6 10 39 16 , 1 26 22 8 35 23 ⟶ 1 25 13 6 10 39 22 , 1 26 22 8 35 32 ⟶ 1 25 13 6 10 39 31 , 1 26 22 8 35 39 ⟶ 1 25 13 6 10 39 38 , 1 26 22 8 35 44 ⟶ 1 25 13 6 10 39 41 , 5 26 22 8 35 17 ⟶ 5 25 13 6 10 39 15 , 5 26 22 8 35 18 ⟶ 5 25 13 6 10 39 16 , 5 26 22 8 35 23 ⟶ 5 25 13 6 10 39 22 , 5 26 22 8 35 32 ⟶ 5 25 13 6 10 39 31 , 5 26 22 8 35 39 ⟶ 5 25 13 6 10 39 38 , 5 26 22 8 35 44 ⟶ 5 25 13 6 10 39 41 , 7 26 22 8 35 17 ⟶ 7 25 13 6 10 39 15 , 7 26 22 8 35 18 ⟶ 7 25 13 6 10 39 16 , 7 26 22 8 35 23 ⟶ 7 25 13 6 10 39 22 , 7 26 22 8 35 32 ⟶ 7 25 13 6 10 39 31 , 7 26 22 8 35 39 ⟶ 7 25 13 6 10 39 38 , 7 26 22 8 35 44 ⟶ 7 25 13 6 10 39 41 , 14 26 22 8 35 17 ⟶ 14 25 13 6 10 39 15 , 14 26 22 8 35 18 ⟶ 14 25 13 6 10 39 16 , 14 26 22 8 35 23 ⟶ 14 25 13 6 10 39 22 , 14 26 22 8 35 32 ⟶ 14 25 13 6 10 39 31 , 14 26 22 8 35 39 ⟶ 14 25 13 6 10 39 38 , 14 26 22 8 35 44 ⟶ 14 25 13 6 10 39 41 , 16 26 22 8 35 17 ⟶ 16 25 13 6 10 39 15 , 16 26 22 8 35 18 ⟶ 16 25 13 6 10 39 16 , 16 26 22 8 35 23 ⟶ 16 25 13 6 10 39 22 , 16 26 22 8 35 32 ⟶ 16 25 13 6 10 39 31 , 16 26 22 8 35 39 ⟶ 16 25 13 6 10 39 38 , 16 26 22 8 35 44 ⟶ 16 25 13 6 10 39 41 , 18 26 22 8 35 17 ⟶ 18 25 13 6 10 39 15 , 18 26 22 8 35 18 ⟶ 18 25 13 6 10 39 16 , 18 26 22 8 35 23 ⟶ 18 25 13 6 10 39 22 , 18 26 22 8 35 32 ⟶ 18 25 13 6 10 39 31 , 18 26 22 8 35 39 ⟶ 18 25 13 6 10 39 38 , 18 26 22 8 35 44 ⟶ 18 25 13 6 10 39 41 , 20 26 22 8 35 17 ⟶ 20 25 13 6 10 39 15 , 20 26 22 8 35 18 ⟶ 20 25 13 6 10 39 16 , 20 26 22 8 35 23 ⟶ 20 25 13 6 10 39 22 , 20 26 22 8 35 32 ⟶ 20 25 13 6 10 39 31 , 20 26 22 8 35 39 ⟶ 20 25 13 6 10 39 38 , 20 26 22 8 35 44 ⟶ 20 25 13 6 10 39 41 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 29 ↦ 28, 30 ↦ 29, 31 ↦ 30, 32 ↦ 31, 33 ↦ 32, 34 ↦ 33, 35 ↦ 34, 37 ↦ 35, 38 ↦ 36, 39 ↦ 37, 40 ↦ 38, 41 ↦ 39, 43 ↦ 40, 44 ↦ 41, 45 ↦ 42, 46 ↦ 43 }, it remains to prove termination of the 2191-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 2 4 6 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 2 4 6 7 , 0 1 2 3 3 ⟶ 1 5 2 4 6 3 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 2 4 6 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 2 4 6 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 5 2 4 6 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 5 2 4 6 11 , 12 1 2 3 4 ⟶ 5 5 2 4 6 4 , 12 1 2 3 7 ⟶ 5 5 2 4 6 7 , 12 1 2 3 3 ⟶ 5 5 2 4 6 3 , 12 1 2 3 8 ⟶ 5 5 2 4 6 8 , 12 1 2 3 9 ⟶ 5 5 2 4 6 9 , 12 1 2 3 10 ⟶ 5 5 2 4 6 10 , 12 1 2 3 11 ⟶ 5 5 2 4 6 11 , 4 1 2 3 4 ⟶ 7 5 2 4 6 4 , 4 1 2 3 7 ⟶ 7 5 2 4 6 7 , 4 1 2 3 3 ⟶ 7 5 2 4 6 3 , 4 1 2 3 8 ⟶ 7 5 2 4 6 8 , 4 1 2 3 9 ⟶ 7 5 2 4 6 9 , 4 1 2 3 10 ⟶ 7 5 2 4 6 10 , 4 1 2 3 11 ⟶ 7 5 2 4 6 11 , 13 1 2 3 4 ⟶ 14 5 2 4 6 4 , 13 1 2 3 7 ⟶ 14 5 2 4 6 7 , 13 1 2 3 3 ⟶ 14 5 2 4 6 3 , 13 1 2 3 8 ⟶ 14 5 2 4 6 8 , 13 1 2 3 9 ⟶ 14 5 2 4 6 9 , 13 1 2 3 10 ⟶ 14 5 2 4 6 10 , 13 1 2 3 11 ⟶ 14 5 2 4 6 11 , 15 1 2 3 4 ⟶ 16 5 2 4 6 4 , 15 1 2 3 7 ⟶ 16 5 2 4 6 7 , 15 1 2 3 3 ⟶ 16 5 2 4 6 3 , 15 1 2 3 8 ⟶ 16 5 2 4 6 8 , 15 1 2 3 9 ⟶ 16 5 2 4 6 9 , 15 1 2 3 10 ⟶ 16 5 2 4 6 10 , 15 1 2 3 11 ⟶ 16 5 2 4 6 11 , 17 1 2 3 4 ⟶ 18 5 2 4 6 4 , 17 1 2 3 7 ⟶ 18 5 2 4 6 7 , 17 1 2 3 3 ⟶ 18 5 2 4 6 3 , 17 1 2 3 8 ⟶ 18 5 2 4 6 8 , 17 1 2 3 9 ⟶ 18 5 2 4 6 9 , 17 1 2 3 10 ⟶ 18 5 2 4 6 10 , 17 1 2 3 11 ⟶ 18 5 2 4 6 11 , 19 1 2 3 4 ⟶ 20 5 2 4 6 4 , 19 1 2 3 7 ⟶ 20 5 2 4 6 7 , 19 1 2 3 3 ⟶ 20 5 2 4 6 3 , 19 1 2 3 8 ⟶ 20 5 2 4 6 8 , 19 1 2 3 9 ⟶ 20 5 2 4 6 9 , 19 1 2 3 10 ⟶ 20 5 2 4 6 10 , 19 1 2 3 11 ⟶ 20 5 2 4 6 11 , 0 0 1 2 4 ⟶ 6 7 12 0 6 4 , 0 0 1 2 7 ⟶ 6 7 12 0 6 7 , 0 0 1 2 3 ⟶ 6 7 12 0 6 3 , 0 0 1 2 8 ⟶ 6 7 12 0 6 8 , 0 0 1 2 9 ⟶ 6 7 12 0 6 9 , 0 0 1 2 10 ⟶ 6 7 12 0 6 10 , 0 0 1 2 11 ⟶ 6 7 12 0 6 11 , 12 0 1 2 4 ⟶ 2 7 12 0 6 4 , 12 0 1 2 7 ⟶ 2 7 12 0 6 7 , 12 0 1 2 3 ⟶ 2 7 12 0 6 3 , 12 0 1 2 8 ⟶ 2 7 12 0 6 8 , 12 0 1 2 9 ⟶ 2 7 12 0 6 9 , 12 0 1 2 10 ⟶ 2 7 12 0 6 10 , 12 0 1 2 11 ⟶ 2 7 12 0 6 11 , 4 0 1 2 4 ⟶ 3 7 12 0 6 4 , 4 0 1 2 7 ⟶ 3 7 12 0 6 7 , 4 0 1 2 3 ⟶ 3 7 12 0 6 3 , 4 0 1 2 8 ⟶ 3 7 12 0 6 8 , 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8 ⟶ 6 4 0 6 7 25 , 0 0 1 2 9 ⟶ 6 4 0 6 7 26 , 0 0 1 2 10 ⟶ 6 4 0 6 7 27 , 12 0 1 2 4 ⟶ 2 4 0 6 7 12 , 12 0 1 2 7 ⟶ 2 4 0 6 7 5 , 12 0 1 2 3 ⟶ 2 4 0 6 7 2 , 12 0 1 2 8 ⟶ 2 4 0 6 7 25 , 12 0 1 2 9 ⟶ 2 4 0 6 7 26 , 12 0 1 2 10 ⟶ 2 4 0 6 7 27 , 4 0 1 2 4 ⟶ 3 4 0 6 7 12 , 4 0 1 2 7 ⟶ 3 4 0 6 7 5 , 4 0 1 2 3 ⟶ 3 4 0 6 7 2 , 4 0 1 2 8 ⟶ 3 4 0 6 7 25 , 4 0 1 2 9 ⟶ 3 4 0 6 7 26 , 4 0 1 2 10 ⟶ 3 4 0 6 7 27 , 13 0 1 2 4 ⟶ 21 4 0 6 7 12 , 13 0 1 2 7 ⟶ 21 4 0 6 7 5 , 13 0 1 2 3 ⟶ 21 4 0 6 7 2 , 13 0 1 2 8 ⟶ 21 4 0 6 7 25 , 13 0 1 2 9 ⟶ 21 4 0 6 7 26 , 13 0 1 2 10 ⟶ 21 4 0 6 7 27 , 15 0 1 2 4 ⟶ 22 4 0 6 7 12 , 15 0 1 2 7 ⟶ 22 4 0 6 7 5 , 15 0 1 2 3 ⟶ 22 4 0 6 7 2 , 15 0 1 2 8 ⟶ 22 4 0 6 7 25 , 15 0 1 2 9 ⟶ 22 4 0 6 7 26 , 15 0 1 2 10 ⟶ 22 4 0 6 7 27 , 17 0 1 2 4 ⟶ 23 4 0 6 7 12 , 17 0 1 2 7 ⟶ 23 4 0 6 7 5 , 17 0 1 2 3 ⟶ 23 4 0 6 7 2 , 17 0 1 2 8 ⟶ 23 4 0 6 7 25 , 17 0 1 2 9 ⟶ 23 4 0 6 7 26 , 17 0 1 2 10 ⟶ 23 4 0 6 7 27 , 19 0 1 2 4 ⟶ 24 4 0 6 7 12 , 19 0 1 2 7 ⟶ 24 4 0 6 7 5 , 19 0 1 2 3 ⟶ 24 4 0 6 7 2 , 19 0 1 2 8 ⟶ 24 4 0 6 7 25 , 19 0 1 2 9 ⟶ 24 4 0 6 7 26 , 19 0 1 2 10 ⟶ 24 4 0 6 7 27 , 28 13 1 2 4 ⟶ 28 14 2 4 6 4 , 28 13 1 2 7 ⟶ 28 14 2 4 6 7 , 28 13 1 2 3 ⟶ 28 14 2 4 6 3 , 28 13 1 2 8 ⟶ 28 14 2 4 6 8 , 28 13 1 2 9 ⟶ 28 14 2 4 6 9 , 28 13 1 2 10 ⟶ 28 14 2 4 6 10 , 28 13 1 2 11 ⟶ 28 14 2 4 6 11 , 25 13 1 2 4 ⟶ 25 14 2 4 6 4 , 25 13 1 2 7 ⟶ 25 14 2 4 6 7 , 25 13 1 2 3 ⟶ 25 14 2 4 6 3 , 25 13 1 2 8 ⟶ 25 14 2 4 6 8 , 25 13 1 2 9 ⟶ 25 14 2 4 6 9 , 25 13 1 2 10 ⟶ 25 14 2 4 6 10 , 25 13 1 2 11 ⟶ 25 14 2 4 6 11 , 8 13 1 2 4 ⟶ 8 14 2 4 6 4 , 8 13 1 2 7 ⟶ 8 14 2 4 6 7 , 8 13 1 2 3 ⟶ 8 14 2 4 6 3 , 8 13 1 2 8 ⟶ 8 14 2 4 6 8 , 8 13 1 2 9 ⟶ 8 14 2 4 6 9 , 8 13 1 2 10 ⟶ 8 14 2 4 6 10 , 8 13 1 2 11 ⟶ 8 14 2 4 6 11 , 29 13 1 2 4 ⟶ 29 14 2 4 6 4 , 29 13 1 2 7 ⟶ 29 14 2 4 6 7 , 29 13 1 2 3 ⟶ 29 14 2 4 6 3 , 29 13 1 2 8 ⟶ 29 14 2 4 6 8 , 29 13 1 2 9 ⟶ 29 14 2 4 6 9 , 29 13 1 2 10 ⟶ 29 14 2 4 6 10 , 29 13 1 2 11 ⟶ 29 14 2 4 6 11 , 30 13 1 2 4 ⟶ 30 14 2 4 6 4 , 30 13 1 2 7 ⟶ 30 14 2 4 6 7 , 30 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16 2 7 12 40 18 ⟶ 16 27 18 25 13 6 7 , 16 2 7 12 40 23 ⟶ 16 27 18 25 13 6 3 , 16 2 7 12 40 31 ⟶ 16 27 18 25 13 6 8 , 16 2 7 12 40 37 ⟶ 16 27 18 25 13 6 9 , 16 2 7 12 40 41 ⟶ 16 27 18 25 13 6 10 , 18 2 7 12 40 17 ⟶ 18 27 18 25 13 6 4 , 18 2 7 12 40 18 ⟶ 18 27 18 25 13 6 7 , 18 2 7 12 40 23 ⟶ 18 27 18 25 13 6 3 , 18 2 7 12 40 31 ⟶ 18 27 18 25 13 6 8 , 18 2 7 12 40 37 ⟶ 18 27 18 25 13 6 9 , 18 2 7 12 40 41 ⟶ 18 27 18 25 13 6 10 , 20 2 7 12 40 17 ⟶ 20 27 18 25 13 6 4 , 20 2 7 12 40 18 ⟶ 20 27 18 25 13 6 7 , 20 2 7 12 40 23 ⟶ 20 27 18 25 13 6 3 , 20 2 7 12 40 31 ⟶ 20 27 18 25 13 6 8 , 20 2 7 12 40 37 ⟶ 20 27 18 25 13 6 9 , 20 2 7 12 40 41 ⟶ 20 27 18 25 13 6 10 , 1 2 8 13 40 17 ⟶ 28 13 0 6 10 18 12 , 1 2 8 13 40 18 ⟶ 28 13 0 6 10 18 5 , 1 2 8 13 40 23 ⟶ 28 13 0 6 10 18 2 , 1 2 8 13 40 31 ⟶ 28 13 0 6 10 18 25 , 1 2 8 13 40 37 ⟶ 28 13 0 6 10 18 26 , 1 2 8 13 40 41 ⟶ 28 13 0 6 10 18 27 , 5 2 8 13 40 17 ⟶ 25 13 0 6 10 18 12 , 5 2 8 13 40 18 ⟶ 25 13 0 6 10 18 5 , 5 2 8 13 40 23 ⟶ 25 13 0 6 10 18 2 , 5 2 8 13 40 31 ⟶ 25 13 0 6 10 18 25 , 5 2 8 13 40 37 ⟶ 25 13 0 6 10 18 26 , 5 2 8 13 40 41 ⟶ 25 13 0 6 10 18 27 , 7 2 8 13 40 17 ⟶ 8 13 0 6 10 18 12 , 7 2 8 13 40 18 ⟶ 8 13 0 6 10 18 5 , 7 2 8 13 40 23 ⟶ 8 13 0 6 10 18 2 , 7 2 8 13 40 31 ⟶ 8 13 0 6 10 18 25 , 7 2 8 13 40 37 ⟶ 8 13 0 6 10 18 26 , 7 2 8 13 40 41 ⟶ 8 13 0 6 10 18 27 , 14 2 8 13 40 17 ⟶ 29 13 0 6 10 18 12 , 14 2 8 13 40 18 ⟶ 29 13 0 6 10 18 5 , 14 2 8 13 40 23 ⟶ 29 13 0 6 10 18 2 , 14 2 8 13 40 31 ⟶ 29 13 0 6 10 18 25 , 14 2 8 13 40 37 ⟶ 29 13 0 6 10 18 26 , 14 2 8 13 40 41 ⟶ 29 13 0 6 10 18 27 , 16 2 8 13 40 17 ⟶ 30 13 0 6 10 18 12 , 16 2 8 13 40 18 ⟶ 30 13 0 6 10 18 5 , 16 2 8 13 40 23 ⟶ 30 13 0 6 10 18 2 , 16 2 8 13 40 31 ⟶ 30 13 0 6 10 18 25 , 16 2 8 13 40 37 ⟶ 30 13 0 6 10 18 26 , 16 2 8 13 40 41 ⟶ 30 13 0 6 10 18 27 , 18 2 8 13 40 17 ⟶ 31 13 0 6 10 18 12 , 18 2 8 13 40 18 ⟶ 31 13 0 6 10 18 5 , 18 2 8 13 40 23 ⟶ 31 13 0 6 10 18 2 , 18 2 8 13 40 31 ⟶ 31 13 0 6 10 18 25 , 18 2 8 13 40 37 ⟶ 31 13 0 6 10 18 26 , 18 2 8 13 40 41 ⟶ 31 13 0 6 10 18 27 , 20 2 8 13 40 17 ⟶ 32 13 0 6 10 18 12 , 20 2 8 13 40 18 ⟶ 32 13 0 6 10 18 5 , 20 2 8 13 40 23 ⟶ 32 13 0 6 10 18 2 , 20 2 8 13 40 31 ⟶ 32 13 0 6 10 18 25 , 20 2 8 13 40 37 ⟶ 32 13 0 6 10 18 26 , 20 2 8 13 40 41 ⟶ 32 13 0 6 10 18 27 , 1 26 22 8 34 17 ⟶ 1 25 13 6 10 37 15 , 1 26 22 8 34 18 ⟶ 1 25 13 6 10 37 16 , 1 26 22 8 34 23 ⟶ 1 25 13 6 10 37 22 , 1 26 22 8 34 31 ⟶ 1 25 13 6 10 37 30 , 1 26 22 8 34 37 ⟶ 1 25 13 6 10 37 36 , 1 26 22 8 34 41 ⟶ 1 25 13 6 10 37 39 , 5 26 22 8 34 17 ⟶ 5 25 13 6 10 37 15 , 5 26 22 8 34 18 ⟶ 5 25 13 6 10 37 16 , 5 26 22 8 34 23 ⟶ 5 25 13 6 10 37 22 , 5 26 22 8 34 31 ⟶ 5 25 13 6 10 37 30 , 5 26 22 8 34 37 ⟶ 5 25 13 6 10 37 36 , 5 26 22 8 34 41 ⟶ 5 25 13 6 10 37 39 , 7 26 22 8 34 17 ⟶ 7 25 13 6 10 37 15 , 7 26 22 8 34 18 ⟶ 7 25 13 6 10 37 16 , 7 26 22 8 34 23 ⟶ 7 25 13 6 10 37 22 , 7 26 22 8 34 31 ⟶ 7 25 13 6 10 37 30 , 7 26 22 8 34 37 ⟶ 7 25 13 6 10 37 36 , 7 26 22 8 34 41 ⟶ 7 25 13 6 10 37 39 , 14 26 22 8 34 17 ⟶ 14 25 13 6 10 37 15 , 14 26 22 8 34 18 ⟶ 14 25 13 6 10 37 16 , 14 26 22 8 34 23 ⟶ 14 25 13 6 10 37 22 , 14 26 22 8 34 31 ⟶ 14 25 13 6 10 37 30 , 14 26 22 8 34 37 ⟶ 14 25 13 6 10 37 36 , 14 26 22 8 34 41 ⟶ 14 25 13 6 10 37 39 , 16 26 22 8 34 17 ⟶ 16 25 13 6 10 37 15 , 16 26 22 8 34 18 ⟶ 16 25 13 6 10 37 16 , 16 26 22 8 34 23 ⟶ 16 25 13 6 10 37 22 , 16 26 22 8 34 31 ⟶ 16 25 13 6 10 37 30 , 16 26 22 8 34 37 ⟶ 16 25 13 6 10 37 36 , 16 26 22 8 34 41 ⟶ 16 25 13 6 10 37 39 , 18 26 22 8 34 17 ⟶ 18 25 13 6 10 37 15 , 18 26 22 8 34 18 ⟶ 18 25 13 6 10 37 16 , 18 26 22 8 34 23 ⟶ 18 25 13 6 10 37 22 , 18 26 22 8 34 31 ⟶ 18 25 13 6 10 37 30 , 18 26 22 8 34 37 ⟶ 18 25 13 6 10 37 36 , 18 26 22 8 34 41 ⟶ 18 25 13 6 10 37 39 , 20 26 22 8 34 17 ⟶ 20 25 13 6 10 37 15 , 20 26 22 8 34 18 ⟶ 20 25 13 6 10 37 16 , 20 26 22 8 34 23 ⟶ 20 25 13 6 10 37 22 , 20 26 22 8 34 31 ⟶ 20 25 13 6 10 37 30 , 20 26 22 8 34 37 ⟶ 20 25 13 6 10 37 36 , 20 26 22 8 34 41 ⟶ 20 25 13 6 10 37 39 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 12 ↦ 2, 6 ↦ 3, 4 ↦ 4, 2 ↦ 5, 7 ↦ 6, 3 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 5 ↦ 12, 13 ↦ 13, 15 ↦ 14, 17 ↦ 15, 19 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 77-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 4 0 3 4 , 0 1 2 3 6 ⟶ 1 5 4 0 3 6 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 4 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 4 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 4 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 5 4 0 3 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 5 4 0 3 11 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 6 ⟶ 1 2 0 0 3 6 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 2 0 0 3 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 2 0 0 3 11 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 12 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 6 ⟶ 1 12 2 0 0 3 6 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 12 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 12 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 12 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 12 2 0 0 3 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 12 2 0 0 3 11 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 7 ⟶ 0 1 2 0 0 3 7 , 0 0 0 1 5 8 ⟶ 0 1 2 0 0 3 8 , 0 0 0 1 5 9 ⟶ 0 1 2 0 0 3 9 , 0 0 0 1 5 10 ⟶ 0 1 2 0 0 3 10 , 0 0 0 1 5 11 ⟶ 0 1 2 0 0 3 11 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 7 ⟶ 2 1 2 0 0 3 7 , 2 0 0 1 5 8 ⟶ 2 1 2 0 0 3 8 , 2 0 0 1 5 9 ⟶ 2 1 2 0 0 3 9 , 2 0 0 1 5 10 ⟶ 2 1 2 0 0 3 10 , 2 0 0 1 5 11 ⟶ 2 1 2 0 0 3 11 , 4 0 0 1 5 4 ⟶ 4 1 2 0 0 3 4 , 4 0 0 1 5 6 ⟶ 4 1 2 0 0 3 6 , 4 0 0 1 5 7 ⟶ 4 1 2 0 0 3 7 , 4 0 0 1 5 8 ⟶ 4 1 2 0 0 3 8 , 4 0 0 1 5 9 ⟶ 4 1 2 0 0 3 9 , 4 0 0 1 5 10 ⟶ 4 1 2 0 0 3 10 , 4 0 0 1 5 11 ⟶ 4 1 2 0 0 3 11 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 7 ⟶ 13 1 2 0 0 3 7 , 13 0 0 1 5 8 ⟶ 13 1 2 0 0 3 8 , 13 0 0 1 5 9 ⟶ 13 1 2 0 0 3 9 , 13 0 0 1 5 10 ⟶ 13 1 2 0 0 3 10 , 13 0 0 1 5 11 ⟶ 13 1 2 0 0 3 11 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 7 ⟶ 14 1 2 0 0 3 7 , 14 0 0 1 5 8 ⟶ 14 1 2 0 0 3 8 , 14 0 0 1 5 9 ⟶ 14 1 2 0 0 3 9 , 14 0 0 1 5 10 ⟶ 14 1 2 0 0 3 10 , 14 0 0 1 5 11 ⟶ 14 1 2 0 0 3 11 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 7 ⟶ 15 1 2 0 0 3 7 , 15 0 0 1 5 8 ⟶ 15 1 2 0 0 3 8 , 15 0 0 1 5 9 ⟶ 15 1 2 0 0 3 9 , 15 0 0 1 5 10 ⟶ 15 1 2 0 0 3 10 , 15 0 0 1 5 11 ⟶ 15 1 2 0 0 3 11 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 7 ⟶ 16 1 2 0 0 3 7 , 16 0 0 1 5 8 ⟶ 16 1 2 0 0 3 8 , 16 0 0 1 5 9 ⟶ 16 1 2 0 0 3 9 , 16 0 0 1 5 10 ⟶ 16 1 2 0 0 3 10 , 16 0 0 1 5 11 ⟶ 16 1 2 0 0 3 11 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 4 3 4 , 0 0 1 2 3 6 ⟶ 1 2 0 3 4 3 6 , 0 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 3 4 3 7 , 0 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 3 4 3 8 , 0 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 3 4 3 9 , 0 0 1 2 3 10 ⟶ 1 2 0 3 4 3 10 , 0 0 1 2 3 11 ⟶ 1 2 0 3 4 3 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 6 ↦ 4, 5 ↦ 5, 4 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 73-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 6 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 6 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 6 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 6 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 5 6 0 3 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 5 6 0 3 11 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 2 0 0 3 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 2 0 0 3 11 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 12 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 12 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 12 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 12 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 12 2 0 0 3 10 , 0 1 2 3 11 ⟶ 1 12 2 0 0 3 11 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 7 ⟶ 0 1 2 0 0 3 7 , 0 0 0 1 5 8 ⟶ 0 1 2 0 0 3 8 , 0 0 0 1 5 9 ⟶ 0 1 2 0 0 3 9 , 0 0 0 1 5 10 ⟶ 0 1 2 0 0 3 10 , 0 0 0 1 5 11 ⟶ 0 1 2 0 0 3 11 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 7 ⟶ 2 1 2 0 0 3 7 , 2 0 0 1 5 8 ⟶ 2 1 2 0 0 3 8 , 2 0 0 1 5 9 ⟶ 2 1 2 0 0 3 9 , 2 0 0 1 5 10 ⟶ 2 1 2 0 0 3 10 , 2 0 0 1 5 11 ⟶ 2 1 2 0 0 3 11 , 6 0 0 1 5 6 ⟶ 6 1 2 0 0 3 6 , 6 0 0 1 5 4 ⟶ 6 1 2 0 0 3 4 , 6 0 0 1 5 7 ⟶ 6 1 2 0 0 3 7 , 6 0 0 1 5 8 ⟶ 6 1 2 0 0 3 8 , 6 0 0 1 5 9 ⟶ 6 1 2 0 0 3 9 , 6 0 0 1 5 10 ⟶ 6 1 2 0 0 3 10 , 6 0 0 1 5 11 ⟶ 6 1 2 0 0 3 11 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 7 ⟶ 13 1 2 0 0 3 7 , 13 0 0 1 5 8 ⟶ 13 1 2 0 0 3 8 , 13 0 0 1 5 9 ⟶ 13 1 2 0 0 3 9 , 13 0 0 1 5 10 ⟶ 13 1 2 0 0 3 10 , 13 0 0 1 5 11 ⟶ 13 1 2 0 0 3 11 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 7 ⟶ 14 1 2 0 0 3 7 , 14 0 0 1 5 8 ⟶ 14 1 2 0 0 3 8 , 14 0 0 1 5 9 ⟶ 14 1 2 0 0 3 9 , 14 0 0 1 5 10 ⟶ 14 1 2 0 0 3 10 , 14 0 0 1 5 11 ⟶ 14 1 2 0 0 3 11 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 7 ⟶ 15 1 2 0 0 3 7 , 15 0 0 1 5 8 ⟶ 15 1 2 0 0 3 8 , 15 0 0 1 5 9 ⟶ 15 1 2 0 0 3 9 , 15 0 0 1 5 10 ⟶ 15 1 2 0 0 3 10 , 15 0 0 1 5 11 ⟶ 15 1 2 0 0 3 11 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 7 ⟶ 16 1 2 0 0 3 7 , 16 0 0 1 5 8 ⟶ 16 1 2 0 0 3 8 , 16 0 0 1 5 9 ⟶ 16 1 2 0 0 3 9 , 16 0 0 1 5 10 ⟶ 16 1 2 0 0 3 10 , 16 0 0 1 5 11 ⟶ 16 1 2 0 0 3 11 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 6 3 4 , 0 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 3 6 3 7 , 0 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 3 6 3 8 , 0 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 3 6 3 9 , 0 0 1 2 3 10 ⟶ 1 2 0 3 6 3 10 , 0 0 1 2 3 11 ⟶ 1 2 0 3 6 3 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 7 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 4 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 69-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 6 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 6 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 6 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 6 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 5 6 0 3 10 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 2 0 0 3 10 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 11 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 11 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 11 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 11 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 10 ⟶ 1 11 2 0 0 3 10 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 12 ⟶ 0 1 2 0 0 3 12 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 7 ⟶ 0 1 2 0 0 3 7 , 0 0 0 1 5 8 ⟶ 0 1 2 0 0 3 8 , 0 0 0 1 5 9 ⟶ 0 1 2 0 0 3 9 , 0 0 0 1 5 10 ⟶ 0 1 2 0 0 3 10 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 12 ⟶ 2 1 2 0 0 3 12 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 7 ⟶ 2 1 2 0 0 3 7 , 2 0 0 1 5 8 ⟶ 2 1 2 0 0 3 8 , 2 0 0 1 5 9 ⟶ 2 1 2 0 0 3 9 , 2 0 0 1 5 10 ⟶ 2 1 2 0 0 3 10 , 6 0 0 1 5 6 ⟶ 6 1 2 0 0 3 6 , 6 0 0 1 5 12 ⟶ 6 1 2 0 0 3 12 , 6 0 0 1 5 4 ⟶ 6 1 2 0 0 3 4 , 6 0 0 1 5 7 ⟶ 6 1 2 0 0 3 7 , 6 0 0 1 5 8 ⟶ 6 1 2 0 0 3 8 , 6 0 0 1 5 9 ⟶ 6 1 2 0 0 3 9 , 6 0 0 1 5 10 ⟶ 6 1 2 0 0 3 10 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 12 ⟶ 13 1 2 0 0 3 12 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 7 ⟶ 13 1 2 0 0 3 7 , 13 0 0 1 5 8 ⟶ 13 1 2 0 0 3 8 , 13 0 0 1 5 9 ⟶ 13 1 2 0 0 3 9 , 13 0 0 1 5 10 ⟶ 13 1 2 0 0 3 10 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 12 ⟶ 14 1 2 0 0 3 12 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 7 ⟶ 14 1 2 0 0 3 7 , 14 0 0 1 5 8 ⟶ 14 1 2 0 0 3 8 , 14 0 0 1 5 9 ⟶ 14 1 2 0 0 3 9 , 14 0 0 1 5 10 ⟶ 14 1 2 0 0 3 10 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 12 ⟶ 15 1 2 0 0 3 12 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 7 ⟶ 15 1 2 0 0 3 7 , 15 0 0 1 5 8 ⟶ 15 1 2 0 0 3 8 , 15 0 0 1 5 9 ⟶ 15 1 2 0 0 3 9 , 15 0 0 1 5 10 ⟶ 15 1 2 0 0 3 10 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 12 ⟶ 16 1 2 0 0 3 12 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 7 ⟶ 16 1 2 0 0 3 7 , 16 0 0 1 5 8 ⟶ 16 1 2 0 0 3 8 , 16 0 0 1 5 9 ⟶ 16 1 2 0 0 3 9 , 16 0 0 1 5 10 ⟶ 16 1 2 0 0 3 10 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 6 3 4 , 0 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 3 6 3 7 , 0 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 3 6 3 8 , 0 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 3 6 3 9 , 0 0 1 2 3 10 ⟶ 1 2 0 3 6 3 10 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 7 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 4 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 65-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 6 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 6 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 6 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 5 6 0 3 9 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 0 3 9 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 10 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 10 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 10 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 9 ⟶ 1 10 2 0 0 3 9 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 11 ⟶ 0 1 2 0 0 3 11 , 0 0 0 1 5 12 ⟶ 0 1 2 0 0 3 12 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 7 ⟶ 0 1 2 0 0 3 7 , 0 0 0 1 5 8 ⟶ 0 1 2 0 0 3 8 , 0 0 0 1 5 9 ⟶ 0 1 2 0 0 3 9 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 11 ⟶ 2 1 2 0 0 3 11 , 2 0 0 1 5 12 ⟶ 2 1 2 0 0 3 12 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 7 ⟶ 2 1 2 0 0 3 7 , 2 0 0 1 5 8 ⟶ 2 1 2 0 0 3 8 , 2 0 0 1 5 9 ⟶ 2 1 2 0 0 3 9 , 6 0 0 1 5 6 ⟶ 6 1 2 0 0 3 6 , 6 0 0 1 5 11 ⟶ 6 1 2 0 0 3 11 , 6 0 0 1 5 12 ⟶ 6 1 2 0 0 3 12 , 6 0 0 1 5 4 ⟶ 6 1 2 0 0 3 4 , 6 0 0 1 5 7 ⟶ 6 1 2 0 0 3 7 , 6 0 0 1 5 8 ⟶ 6 1 2 0 0 3 8 , 6 0 0 1 5 9 ⟶ 6 1 2 0 0 3 9 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 11 ⟶ 13 1 2 0 0 3 11 , 13 0 0 1 5 12 ⟶ 13 1 2 0 0 3 12 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 7 ⟶ 13 1 2 0 0 3 7 , 13 0 0 1 5 8 ⟶ 13 1 2 0 0 3 8 , 13 0 0 1 5 9 ⟶ 13 1 2 0 0 3 9 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 11 ⟶ 14 1 2 0 0 3 11 , 14 0 0 1 5 12 ⟶ 14 1 2 0 0 3 12 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 7 ⟶ 14 1 2 0 0 3 7 , 14 0 0 1 5 8 ⟶ 14 1 2 0 0 3 8 , 14 0 0 1 5 9 ⟶ 14 1 2 0 0 3 9 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 11 ⟶ 15 1 2 0 0 3 11 , 15 0 0 1 5 12 ⟶ 15 1 2 0 0 3 12 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 7 ⟶ 15 1 2 0 0 3 7 , 15 0 0 1 5 8 ⟶ 15 1 2 0 0 3 8 , 15 0 0 1 5 9 ⟶ 15 1 2 0 0 3 9 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 11 ⟶ 16 1 2 0 0 3 11 , 16 0 0 1 5 12 ⟶ 16 1 2 0 0 3 12 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 7 ⟶ 16 1 2 0 0 3 7 , 16 0 0 1 5 8 ⟶ 16 1 2 0 0 3 8 , 16 0 0 1 5 9 ⟶ 16 1 2 0 0 3 9 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 6 3 4 , 0 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 3 6 3 7 , 0 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 3 6 3 8 , 0 0 1 2 3 9 ⟶ 1 2 0 3 6 3 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 7 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 4 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 61-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 6 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 6 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 5 6 0 3 8 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 0 3 8 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 9 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 9 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 8 ⟶ 1 9 2 0 0 3 8 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 10 ⟶ 0 1 2 0 0 3 10 , 0 0 0 1 5 11 ⟶ 0 1 2 0 0 3 11 , 0 0 0 1 5 12 ⟶ 0 1 2 0 0 3 12 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 7 ⟶ 0 1 2 0 0 3 7 , 0 0 0 1 5 8 ⟶ 0 1 2 0 0 3 8 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 10 ⟶ 2 1 2 0 0 3 10 , 2 0 0 1 5 11 ⟶ 2 1 2 0 0 3 11 , 2 0 0 1 5 12 ⟶ 2 1 2 0 0 3 12 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 7 ⟶ 2 1 2 0 0 3 7 , 2 0 0 1 5 8 ⟶ 2 1 2 0 0 3 8 , 6 0 0 1 5 6 ⟶ 6 1 2 0 0 3 6 , 6 0 0 1 5 10 ⟶ 6 1 2 0 0 3 10 , 6 0 0 1 5 11 ⟶ 6 1 2 0 0 3 11 , 6 0 0 1 5 12 ⟶ 6 1 2 0 0 3 12 , 6 0 0 1 5 4 ⟶ 6 1 2 0 0 3 4 , 6 0 0 1 5 7 ⟶ 6 1 2 0 0 3 7 , 6 0 0 1 5 8 ⟶ 6 1 2 0 0 3 8 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 10 ⟶ 13 1 2 0 0 3 10 , 13 0 0 1 5 11 ⟶ 13 1 2 0 0 3 11 , 13 0 0 1 5 12 ⟶ 13 1 2 0 0 3 12 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 7 ⟶ 13 1 2 0 0 3 7 , 13 0 0 1 5 8 ⟶ 13 1 2 0 0 3 8 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 10 ⟶ 14 1 2 0 0 3 10 , 14 0 0 1 5 11 ⟶ 14 1 2 0 0 3 11 , 14 0 0 1 5 12 ⟶ 14 1 2 0 0 3 12 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 7 ⟶ 14 1 2 0 0 3 7 , 14 0 0 1 5 8 ⟶ 14 1 2 0 0 3 8 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 10 ⟶ 15 1 2 0 0 3 10 , 15 0 0 1 5 11 ⟶ 15 1 2 0 0 3 11 , 15 0 0 1 5 12 ⟶ 15 1 2 0 0 3 12 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 7 ⟶ 15 1 2 0 0 3 7 , 15 0 0 1 5 8 ⟶ 15 1 2 0 0 3 8 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 10 ⟶ 16 1 2 0 0 3 10 , 16 0 0 1 5 11 ⟶ 16 1 2 0 0 3 11 , 16 0 0 1 5 12 ⟶ 16 1 2 0 0 3 12 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 7 ⟶ 16 1 2 0 0 3 7 , 16 0 0 1 5 8 ⟶ 16 1 2 0 0 3 8 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 6 3 4 , 0 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 3 6 3 7 , 0 0 1 2 3 8 ⟶ 1 2 0 3 6 3 8 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 7 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 4 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 57-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 6 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 5 6 0 3 7 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 0 3 7 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 8 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 7 ⟶ 1 8 2 0 0 3 7 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 9 ⟶ 0 1 2 0 0 3 9 , 0 0 0 1 5 10 ⟶ 0 1 2 0 0 3 10 , 0 0 0 1 5 11 ⟶ 0 1 2 0 0 3 11 , 0 0 0 1 5 12 ⟶ 0 1 2 0 0 3 12 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 7 ⟶ 0 1 2 0 0 3 7 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 9 ⟶ 2 1 2 0 0 3 9 , 2 0 0 1 5 10 ⟶ 2 1 2 0 0 3 10 , 2 0 0 1 5 11 ⟶ 2 1 2 0 0 3 11 , 2 0 0 1 5 12 ⟶ 2 1 2 0 0 3 12 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 7 ⟶ 2 1 2 0 0 3 7 , 6 0 0 1 5 6 ⟶ 6 1 2 0 0 3 6 , 6 0 0 1 5 9 ⟶ 6 1 2 0 0 3 9 , 6 0 0 1 5 10 ⟶ 6 1 2 0 0 3 10 , 6 0 0 1 5 11 ⟶ 6 1 2 0 0 3 11 , 6 0 0 1 5 12 ⟶ 6 1 2 0 0 3 12 , 6 0 0 1 5 4 ⟶ 6 1 2 0 0 3 4 , 6 0 0 1 5 7 ⟶ 6 1 2 0 0 3 7 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 9 ⟶ 13 1 2 0 0 3 9 , 13 0 0 1 5 10 ⟶ 13 1 2 0 0 3 10 , 13 0 0 1 5 11 ⟶ 13 1 2 0 0 3 11 , 13 0 0 1 5 12 ⟶ 13 1 2 0 0 3 12 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 7 ⟶ 13 1 2 0 0 3 7 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 9 ⟶ 14 1 2 0 0 3 9 , 14 0 0 1 5 10 ⟶ 14 1 2 0 0 3 10 , 14 0 0 1 5 11 ⟶ 14 1 2 0 0 3 11 , 14 0 0 1 5 12 ⟶ 14 1 2 0 0 3 12 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 7 ⟶ 14 1 2 0 0 3 7 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 9 ⟶ 15 1 2 0 0 3 9 , 15 0 0 1 5 10 ⟶ 15 1 2 0 0 3 10 , 15 0 0 1 5 11 ⟶ 15 1 2 0 0 3 11 , 15 0 0 1 5 12 ⟶ 15 1 2 0 0 3 12 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 7 ⟶ 15 1 2 0 0 3 7 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 9 ⟶ 16 1 2 0 0 3 9 , 16 0 0 1 5 10 ⟶ 16 1 2 0 0 3 10 , 16 0 0 1 5 11 ⟶ 16 1 2 0 0 3 11 , 16 0 0 1 5 12 ⟶ 16 1 2 0 0 3 12 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 7 ⟶ 16 1 2 0 0 3 7 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 6 3 4 , 0 0 1 2 3 7 ⟶ 1 2 0 3 6 3 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 7 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 4 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 53-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 1 5 6 0 3 4 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 0 3 4 , 0 1 2 3 4 ⟶ 1 7 2 0 0 3 4 , 0 0 0 1 5 6 ⟶ 0 1 2 0 0 3 6 , 0 0 0 1 5 8 ⟶ 0 1 2 0 0 3 8 , 0 0 0 1 5 9 ⟶ 0 1 2 0 0 3 9 , 0 0 0 1 5 10 ⟶ 0 1 2 0 0 3 10 , 0 0 0 1 5 11 ⟶ 0 1 2 0 0 3 11 , 0 0 0 1 5 12 ⟶ 0 1 2 0 0 3 12 , 0 0 0 1 5 4 ⟶ 0 1 2 0 0 3 4 , 2 0 0 1 5 6 ⟶ 2 1 2 0 0 3 6 , 2 0 0 1 5 8 ⟶ 2 1 2 0 0 3 8 , 2 0 0 1 5 9 ⟶ 2 1 2 0 0 3 9 , 2 0 0 1 5 10 ⟶ 2 1 2 0 0 3 10 , 2 0 0 1 5 11 ⟶ 2 1 2 0 0 3 11 , 2 0 0 1 5 12 ⟶ 2 1 2 0 0 3 12 , 2 0 0 1 5 4 ⟶ 2 1 2 0 0 3 4 , 6 0 0 1 5 6 ⟶ 6 1 2 0 0 3 6 , 6 0 0 1 5 8 ⟶ 6 1 2 0 0 3 8 , 6 0 0 1 5 9 ⟶ 6 1 2 0 0 3 9 , 6 0 0 1 5 10 ⟶ 6 1 2 0 0 3 10 , 6 0 0 1 5 11 ⟶ 6 1 2 0 0 3 11 , 6 0 0 1 5 12 ⟶ 6 1 2 0 0 3 12 , 6 0 0 1 5 4 ⟶ 6 1 2 0 0 3 4 , 13 0 0 1 5 6 ⟶ 13 1 2 0 0 3 6 , 13 0 0 1 5 8 ⟶ 13 1 2 0 0 3 8 , 13 0 0 1 5 9 ⟶ 13 1 2 0 0 3 9 , 13 0 0 1 5 10 ⟶ 13 1 2 0 0 3 10 , 13 0 0 1 5 11 ⟶ 13 1 2 0 0 3 11 , 13 0 0 1 5 12 ⟶ 13 1 2 0 0 3 12 , 13 0 0 1 5 4 ⟶ 13 1 2 0 0 3 4 , 14 0 0 1 5 6 ⟶ 14 1 2 0 0 3 6 , 14 0 0 1 5 8 ⟶ 14 1 2 0 0 3 8 , 14 0 0 1 5 9 ⟶ 14 1 2 0 0 3 9 , 14 0 0 1 5 10 ⟶ 14 1 2 0 0 3 10 , 14 0 0 1 5 11 ⟶ 14 1 2 0 0 3 11 , 14 0 0 1 5 12 ⟶ 14 1 2 0 0 3 12 , 14 0 0 1 5 4 ⟶ 14 1 2 0 0 3 4 , 15 0 0 1 5 6 ⟶ 15 1 2 0 0 3 6 , 15 0 0 1 5 8 ⟶ 15 1 2 0 0 3 8 , 15 0 0 1 5 9 ⟶ 15 1 2 0 0 3 9 , 15 0 0 1 5 10 ⟶ 15 1 2 0 0 3 10 , 15 0 0 1 5 11 ⟶ 15 1 2 0 0 3 11 , 15 0 0 1 5 12 ⟶ 15 1 2 0 0 3 12 , 15 0 0 1 5 4 ⟶ 15 1 2 0 0 3 4 , 16 0 0 1 5 6 ⟶ 16 1 2 0 0 3 6 , 16 0 0 1 5 8 ⟶ 16 1 2 0 0 3 8 , 16 0 0 1 5 9 ⟶ 16 1 2 0 0 3 9 , 16 0 0 1 5 10 ⟶ 16 1 2 0 0 3 10 , 16 0 0 1 5 11 ⟶ 16 1 2 0 0 3 11 , 16 0 0 1 5 12 ⟶ 16 1 2 0 0 3 12 , 16 0 0 1 5 4 ⟶ 16 1 2 0 0 3 4 , 0 0 1 2 3 4 ⟶ 1 2 0 3 6 3 4 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 5 ↦ 2, 6 ↦ 3, 2 ↦ 4, 3 ↦ 5, 8 ↦ 6, 9 ↦ 7, 10 ↦ 8, 11 ↦ 9, 12 ↦ 10, 4 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 49-rule system { 0 0 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 0 0 5 3 , 0 0 0 1 2 6 ⟶ 0 1 4 0 0 5 6 , 0 0 0 1 2 7 ⟶ 0 1 4 0 0 5 7 , 0 0 0 1 2 8 ⟶ 0 1 4 0 0 5 8 , 0 0 0 1 2 9 ⟶ 0 1 4 0 0 5 9 , 0 0 0 1 2 10 ⟶ 0 1 4 0 0 5 10 , 0 0 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 0 0 5 11 , 4 0 0 1 2 3 ⟶ 4 1 4 0 0 5 3 , 4 0 0 1 2 6 ⟶ 4 1 4 0 0 5 6 , 4 0 0 1 2 7 ⟶ 4 1 4 0 0 5 7 , 4 0 0 1 2 8 ⟶ 4 1 4 0 0 5 8 , 4 0 0 1 2 9 ⟶ 4 1 4 0 0 5 9 , 4 0 0 1 2 10 ⟶ 4 1 4 0 0 5 10 , 4 0 0 1 2 11 ⟶ 4 1 4 0 0 5 11 , 3 0 0 1 2 3 ⟶ 3 1 4 0 0 5 3 , 3 0 0 1 2 6 ⟶ 3 1 4 0 0 5 6 , 3 0 0 1 2 7 ⟶ 3 1 4 0 0 5 7 , 3 0 0 1 2 8 ⟶ 3 1 4 0 0 5 8 , 3 0 0 1 2 9 ⟶ 3 1 4 0 0 5 9 , 3 0 0 1 2 10 ⟶ 3 1 4 0 0 5 10 , 3 0 0 1 2 11 ⟶ 3 1 4 0 0 5 11 , 12 0 0 1 2 3 ⟶ 12 1 4 0 0 5 3 , 12 0 0 1 2 6 ⟶ 12 1 4 0 0 5 6 , 12 0 0 1 2 7 ⟶ 12 1 4 0 0 5 7 , 12 0 0 1 2 8 ⟶ 12 1 4 0 0 5 8 , 12 0 0 1 2 9 ⟶ 12 1 4 0 0 5 9 , 12 0 0 1 2 10 ⟶ 12 1 4 0 0 5 10 , 12 0 0 1 2 11 ⟶ 12 1 4 0 0 5 11 , 13 0 0 1 2 3 ⟶ 13 1 4 0 0 5 3 , 13 0 0 1 2 6 ⟶ 13 1 4 0 0 5 6 , 13 0 0 1 2 7 ⟶ 13 1 4 0 0 5 7 , 13 0 0 1 2 8 ⟶ 13 1 4 0 0 5 8 , 13 0 0 1 2 9 ⟶ 13 1 4 0 0 5 9 , 13 0 0 1 2 10 ⟶ 13 1 4 0 0 5 10 , 13 0 0 1 2 11 ⟶ 13 1 4 0 0 5 11 , 14 0 0 1 2 3 ⟶ 14 1 4 0 0 5 3 , 14 0 0 1 2 6 ⟶ 14 1 4 0 0 5 6 , 14 0 0 1 2 7 ⟶ 14 1 4 0 0 5 7 , 14 0 0 1 2 8 ⟶ 14 1 4 0 0 5 8 , 14 0 0 1 2 9 ⟶ 14 1 4 0 0 5 9 , 14 0 0 1 2 10 ⟶ 14 1 4 0 0 5 10 , 14 0 0 1 2 11 ⟶ 14 1 4 0 0 5 11 , 15 0 0 1 2 3 ⟶ 15 1 4 0 0 5 3 , 15 0 0 1 2 6 ⟶ 15 1 4 0 0 5 6 , 15 0 0 1 2 7 ⟶ 15 1 4 0 0 5 7 , 15 0 0 1 2 8 ⟶ 15 1 4 0 0 5 8 , 15 0 0 1 2 9 ⟶ 15 1 4 0 0 5 9 , 15 0 0 1 2 10 ⟶ 15 1 4 0 0 5 10 , 15 0 0 1 2 11 ⟶ 15 1 4 0 0 5 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.