/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 30-rule system { 0 0 1 0 ⟶ 2 3 4 , 3 5 1 1 2 1 ⟶ 3 3 3 1 3 1 , 0 0 3 3 5 5 4 ⟶ 2 3 3 0 3 4 , 0 4 0 0 4 4 5 ⟶ 3 5 4 1 2 4 , 5 5 5 2 5 2 4 4 3 ⟶ 5 0 1 5 0 4 5 2 , 0 4 3 0 1 1 1 4 1 0 ⟶ 2 5 0 2 2 1 0 5 1 3 , 0 4 5 2 1 5 3 0 1 1 ⟶ 5 3 0 2 3 0 5 0 0 0 , 3 3 1 4 2 0 3 5 0 0 ⟶ 0 1 1 2 5 3 1 2 2 2 , 4 5 2 2 1 5 2 4 5 0 ⟶ 4 2 5 4 1 4 5 5 5 0 , 0 1 1 3 4 4 0 4 1 5 5 ⟶ 0 2 4 4 5 5 5 3 2 4 0 , 2 1 1 3 5 5 4 1 0 4 4 1 ⟶ 2 5 5 3 4 2 0 4 0 1 2 0 , 4 4 5 1 1 1 3 2 5 5 4 1 ⟶ 4 2 1 0 2 0 0 0 4 3 3 1 , 4 5 2 1 0 5 2 0 2 5 0 4 ⟶ 3 0 0 5 3 2 0 0 2 0 0 4 , 5 2 2 4 2 5 1 4 5 4 0 4 ⟶ 2 4 5 5 5 4 3 2 5 3 1 4 , 0 4 1 5 4 3 5 5 0 0 5 1 2 ⟶ 0 3 5 4 5 0 5 2 0 4 2 4 , 2 2 2 1 0 2 2 5 1 0 1 5 1 ⟶ 5 4 0 3 2 5 0 1 2 4 3 3 , 0 2 5 5 1 2 2 5 5 0 5 2 1 0 ⟶ 2 0 5 5 5 0 1 2 3 4 0 1 1 , 2 4 1 3 4 1 0 0 3 2 4 4 1 2 ⟶ 3 4 5 1 4 4 4 5 4 5 1 4 3 1 , 0 3 3 2 0 2 2 3 4 0 5 1 2 5 1 2 ⟶ 0 1 0 1 3 0 1 1 2 2 4 0 3 4 4 , 2 2 0 0 2 0 5 2 4 0 4 3 2 5 2 0 ⟶ 4 5 4 1 3 5 1 3 0 2 5 0 2 5 3 , 1 4 4 3 4 5 3 5 1 2 5 0 4 4 4 0 4 ⟶ 1 2 3 3 1 0 1 1 1 0 3 3 3 3 5 3 4 , 3 0 2 0 3 2 3 3 0 4 3 0 0 2 0 2 0 ⟶ 3 5 5 3 2 1 2 2 2 0 3 0 4 5 1 1 , 4 0 4 3 3 5 2 1 3 5 5 3 2 4 5 1 0 ⟶ 4 4 5 5 4 2 2 0 2 1 5 2 1 5 4 5 0 , 1 2 4 3 4 4 2 2 1 4 2 1 3 1 5 1 5 3 ⟶ 1 0 3 2 0 0 1 3 0 3 4 0 0 0 3 5 3 , 4 5 5 5 4 0 0 3 3 4 4 3 3 5 5 3 1 0 ⟶ 3 3 2 5 1 1 5 4 1 5 1 2 5 4 1 2 1 , 1 1 1 3 0 3 5 0 5 1 1 4 2 2 0 3 2 3 3 ⟶ 3 5 2 2 4 4 1 2 4 3 0 5 5 0 0 1 2 2 3 , 0 2 1 3 1 2 0 3 4 2 2 5 3 0 1 3 3 5 3 2 ⟶ 1 3 1 0 2 5 3 1 1 3 1 5 0 1 1 0 3 0 3 , 1 0 0 3 2 0 4 5 1 1 2 5 0 1 0 2 1 4 3 2 ⟶ 3 1 1 4 4 5 4 3 1 0 3 0 4 0 1 0 2 2 2 1 , 0 0 3 3 3 1 1 0 0 2 5 0 4 5 1 4 2 4 1 0 5 ⟶ 1 2 3 0 5 2 3 0 3 5 4 1 4 4 5 0 1 1 1 5 , 0 5 3 1 0 2 1 4 5 1 1 0 1 1 3 2 5 4 3 0 4 ⟶ 1 1 5 5 4 2 3 5 3 1 0 0 5 3 5 5 4 1 3 4 } The system was reversed. After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 4 ↦ 2, 3 ↦ 3, 2 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 30-rule system { 0 1 0 0 ⟶ 2 3 4 , 1 4 1 1 5 3 ⟶ 1 3 1 3 3 3 , 2 5 5 3 3 0 0 ⟶ 2 3 0 3 3 4 , 5 2 2 0 0 2 0 ⟶ 2 4 1 2 5 3 , 3 2 2 4 5 4 5 5 5 ⟶ 4 5 2 0 5 1 0 5 , 0 1 2 1 1 1 0 3 2 0 ⟶ 3 1 5 0 1 4 4 0 5 4 , 1 1 0 3 5 1 4 5 2 0 ⟶ 0 0 0 5 0 3 4 0 3 5 , 0 0 5 3 0 4 2 1 3 3 ⟶ 4 4 4 1 3 5 4 1 1 0 , 0 5 2 4 5 1 4 4 5 2 ⟶ 0 5 5 5 2 1 2 5 4 2 , 5 5 1 2 0 2 2 3 1 1 0 ⟶ 0 2 4 3 5 5 5 2 2 4 0 , 1 2 2 0 1 2 5 5 3 1 1 4 ⟶ 0 4 1 0 2 0 4 2 3 5 5 4 , 1 2 5 5 4 3 1 1 1 5 2 2 ⟶ 1 3 3 2 0 0 0 4 0 1 4 2 , 2 0 5 4 0 4 5 0 1 4 5 2 ⟶ 2 0 0 4 0 0 4 3 5 0 0 3 , 2 0 2 5 2 1 5 4 2 4 4 5 ⟶ 2 1 3 5 4 3 2 5 5 5 2 4 , 4 1 5 0 0 5 5 3 2 5 1 2 0 ⟶ 2 4 2 0 4 5 0 5 2 5 3 0 , 1 5 1 0 1 5 4 4 0 1 4 4 4 ⟶ 3 3 2 4 1 0 5 4 3 0 2 5 , 0 1 4 5 0 5 5 4 4 1 5 5 4 0 ⟶ 1 1 0 2 3 4 1 0 5 5 5 0 4 , 4 1 2 2 4 3 0 0 1 2 3 1 2 4 ⟶ 1 3 2 1 5 2 5 2 2 2 1 5 2 3 , 4 1 5 4 1 5 0 2 3 4 4 0 4 3 3 0 ⟶ 2 2 3 0 2 4 4 1 1 0 3 1 0 1 0 , 0 4 5 4 3 2 0 2 4 5 0 4 0 0 4 4 ⟶ 3 5 4 0 5 4 0 3 1 5 3 1 2 5 2 , 2 0 2 2 2 0 5 4 1 5 3 5 2 3 2 2 1 ⟶ 2 3 5 3 3 3 3 0 1 1 1 0 1 3 3 4 1 , 0 4 0 4 0 0 3 2 0 3 3 4 3 0 4 0 3 ⟶ 1 1 5 2 0 3 0 4 4 4 1 4 3 5 5 3 , 0 1 5 2 4 3 5 5 3 1 4 5 3 3 2 0 2 ⟶ 0 5 2 5 1 4 5 1 4 0 4 4 2 5 5 2 2 , 3 5 1 5 1 3 1 4 2 1 4 4 2 2 3 2 4 1 ⟶ 3 5 3 0 0 0 2 3 0 3 1 0 0 4 3 0 1 , 0 1 3 5 5 3 3 2 2 3 3 0 0 2 5 5 5 2 ⟶ 1 4 1 2 5 4 1 5 1 2 5 1 1 5 4 3 3 , 3 3 4 3 0 4 4 2 1 1 5 0 5 3 0 3 1 1 1 ⟶ 3 4 4 1 0 0 5 5 0 3 2 4 1 2 2 4 4 5 3 , 4 3 5 3 3 1 0 3 5 4 4 2 3 0 4 1 3 1 4 0 ⟶ 3 0 3 0 1 1 0 5 1 3 1 1 3 5 4 0 1 3 1 , 4 3 2 1 4 0 1 0 5 4 1 1 5 2 0 4 3 0 0 1 ⟶ 1 4 4 4 0 1 0 2 0 3 0 1 3 2 5 2 2 1 1 3 , 5 0 1 2 4 2 1 5 2 0 5 4 0 0 1 1 3 3 3 0 0 ⟶ 5 1 1 1 0 5 2 2 1 2 5 3 0 3 4 5 0 3 4 1 , 2 0 3 2 5 4 3 1 1 0 1 1 5 2 1 4 0 1 3 5 0 ⟶ 2 3 1 2 5 5 3 5 0 0 1 3 5 3 4 2 5 5 1 1 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 1 ↦ 0, 4 ↦ 1, 5 ↦ 2, 3 ↦ 3, 0 ↦ 4, 2 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 15-rule system { 0 1 0 0 2 3 ⟶ 0 3 0 3 3 3 , 4 0 5 0 0 0 4 3 5 4 ⟶ 3 0 2 4 0 1 1 4 2 1 , 0 0 4 3 2 0 1 2 5 4 ⟶ 4 4 4 2 4 3 1 4 3 2 , 4 4 2 3 4 1 5 0 3 3 ⟶ 1 1 1 0 3 2 1 0 0 4 , 4 2 5 1 2 0 1 1 2 5 ⟶ 4 2 2 2 5 0 5 2 1 5 , 2 2 0 5 4 5 5 3 0 0 4 ⟶ 4 5 1 3 2 2 2 5 5 1 4 , 0 5 5 4 0 5 2 2 3 0 0 1 ⟶ 4 1 0 4 5 4 1 5 3 2 2 1 , 0 5 2 2 1 3 0 0 0 2 5 5 ⟶ 0 3 3 5 4 4 4 1 4 0 1 5 , 5 4 2 1 4 1 2 4 0 1 2 5 ⟶ 5 4 4 1 4 4 1 3 2 4 4 3 , 5 4 5 2 5 0 2 1 5 1 1 2 ⟶ 5 0 3 2 1 3 5 2 2 2 5 1 , 1 0 5 5 1 3 4 4 0 5 3 0 5 1 ⟶ 0 3 5 0 2 5 2 5 5 5 0 2 5 3 , 5 4 5 5 5 4 2 1 0 2 3 2 5 3 5 5 0 ⟶ 5 3 2 3 3 3 3 4 0 0 0 4 0 3 3 1 0 , 4 0 2 5 1 3 2 2 3 0 1 2 3 3 5 4 5 ⟶ 4 2 5 2 0 1 2 0 1 4 1 1 5 2 2 5 5 , 3 3 1 3 4 1 1 5 0 0 2 4 2 3 4 3 0 0 0 ⟶ 3 1 1 0 4 4 2 2 4 3 5 1 0 5 5 1 1 2 3 , 1 3 5 0 1 4 0 4 2 1 0 0 2 5 4 1 3 4 4 0 ⟶ 0 1 1 1 4 0 4 5 4 3 4 0 3 5 2 5 5 0 0 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 13: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 14-rule system { 0 1 0 0 2 3 ⟶ 0 3 0 3 3 3 , 4 0 5 0 0 0 4 3 5 4 ⟶ 3 0 2 4 0 1 1 4 2 1 , 0 0 4 3 2 0 1 2 5 4 ⟶ 4 4 4 2 4 3 1 4 3 2 , 4 4 2 3 4 1 5 0 3 3 ⟶ 1 1 1 0 3 2 1 0 0 4 , 4 2 5 1 2 0 1 1 2 5 ⟶ 4 2 2 2 5 0 5 2 1 5 , 2 2 0 5 4 5 5 3 0 0 4 ⟶ 4 5 1 3 2 2 2 5 5 1 4 , 0 5 5 4 0 5 2 2 3 0 0 1 ⟶ 4 1 0 4 5 4 1 5 3 2 2 1 , 5 4 2 1 4 1 2 4 0 1 2 5 ⟶ 5 4 4 1 4 4 1 3 2 4 4 3 , 5 4 5 2 5 0 2 1 5 1 1 2 ⟶ 5 0 3 2 1 3 5 2 2 2 5 1 , 1 0 5 5 1 3 4 4 0 5 3 0 5 1 ⟶ 0 3 5 0 2 5 2 5 5 5 0 2 5 3 , 5 4 5 5 5 4 2 1 0 2 3 2 5 3 5 5 0 ⟶ 5 3 2 3 3 3 3 4 0 0 0 4 0 3 3 1 0 , 4 0 2 5 1 3 2 2 3 0 1 2 3 3 5 4 5 ⟶ 4 2 5 2 0 1 2 0 1 4 1 1 5 2 2 5 5 , 3 3 1 3 4 1 1 5 0 0 2 4 2 3 4 3 0 0 0 ⟶ 3 1 1 0 4 4 2 2 4 3 5 1 0 5 5 1 1 2 3 , 1 3 5 0 1 4 0 4 2 1 0 0 2 5 4 1 3 4 4 0 ⟶ 0 1 1 1 4 0 4 5 4 3 4 0 3 5 2 5 5 0 0 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 13: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 13-rule system { 0 1 0 0 2 3 ⟶ 0 3 0 3 3 3 , 4 0 5 0 0 0 4 3 5 4 ⟶ 3 0 2 4 0 1 1 4 2 1 , 0 0 4 3 2 0 1 2 5 4 ⟶ 4 4 4 2 4 3 1 4 3 2 , 4 4 2 3 4 1 5 0 3 3 ⟶ 1 1 1 0 3 2 1 0 0 4 , 4 2 5 1 2 0 1 1 2 5 ⟶ 4 2 2 2 5 0 5 2 1 5 , 2 2 0 5 4 5 5 3 0 0 4 ⟶ 4 5 1 3 2 2 2 5 5 1 4 , 0 5 5 4 0 5 2 2 3 0 0 1 ⟶ 4 1 0 4 5 4 1 5 3 2 2 1 , 5 4 5 2 5 0 2 1 5 1 1 2 ⟶ 5 0 3 2 1 3 5 2 2 2 5 1 , 1 0 5 5 1 3 4 4 0 5 3 0 5 1 ⟶ 0 3 5 0 2 5 2 5 5 5 0 2 5 3 , 5 4 5 5 5 4 2 1 0 2 3 2 5 3 5 5 0 ⟶ 5 3 2 3 3 3 3 4 0 0 0 4 0 3 3 1 0 , 4 0 2 5 1 3 2 2 3 0 1 2 3 3 5 4 5 ⟶ 4 2 5 2 0 1 2 0 1 4 1 1 5 2 2 5 5 , 3 3 1 3 4 1 1 5 0 0 2 4 2 3 4 3 0 0 0 ⟶ 3 1 1 0 4 4 2 2 4 3 5 1 0 5 5 1 1 2 3 , 1 3 5 0 1 4 0 4 2 1 0 0 2 5 4 1 3 4 4 0 ⟶ 0 1 1 1 4 0 4 5 4 3 4 0 3 5 2 5 5 0 0 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 13: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 12-rule system { 0 1 0 0 2 3 ⟶ 0 3 0 3 3 3 , 4 0 5 0 0 0 4 3 5 4 ⟶ 3 0 2 4 0 1 1 4 2 1 , 0 0 4 3 2 0 1 2 5 4 ⟶ 4 4 4 2 4 3 1 4 3 2 , 4 4 2 3 4 1 5 0 3 3 ⟶ 1 1 1 0 3 2 1 0 0 4 , 4 2 5 1 2 0 1 1 2 5 ⟶ 4 2 2 2 5 0 5 2 1 5 , 2 2 0 5 4 5 5 3 0 0 4 ⟶ 4 5 1 3 2 2 2 5 5 1 4 , 0 5 5 4 0 5 2 2 3 0 0 1 ⟶ 4 1 0 4 5 4 1 5 3 2 2 1 , 1 0 5 5 1 3 4 4 0 5 3 0 5 1 ⟶ 0 3 5 0 2 5 2 5 5 5 0 2 5 3 , 5 4 5 5 5 4 2 1 0 2 3 2 5 3 5 5 0 ⟶ 5 3 2 3 3 3 3 4 0 0 0 4 0 3 3 1 0 , 4 0 2 5 1 3 2 2 3 0 1 2 3 3 5 4 5 ⟶ 4 2 5 2 0 1 2 0 1 4 1 1 5 2 2 5 5 , 3 3 1 3 4 1 1 5 0 0 2 4 2 3 4 3 0 0 0 ⟶ 3 1 1 0 4 4 2 2 4 3 5 1 0 5 5 1 1 2 3 , 1 3 5 0 1 4 0 4 2 1 0 0 2 5 4 1 3 4 4 0 ⟶ 0 1 1 1 4 0 4 5 4 3 4 0 3 5 2 5 5 0 0 3 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,3) ↦ 4, (3,0) ↦ 5, (0,3) ↦ 6, (3,3) ↦ 7, (3,1) ↦ 8, (3,2) ↦ 9, (3,4) ↦ 10, (3,5) ↦ 11, (3,7) ↦ 12, (2,0) ↦ 13, (4,0) ↦ 14, (5,0) ↦ 15, (6,0) ↦ 16, (0,4) ↦ 17, (0,5) ↦ 18, (4,3) ↦ 19, (5,4) ↦ 20, (2,4) ↦ 21, (1,1) ↦ 22, (1,4) ↦ 23, (4,2) ↦ 24, (2,1) ↦ 25, (4,1) ↦ 26, (1,2) ↦ 27, (1,3) ↦ 28, (4,4) ↦ 29, (4,5) ↦ 30, (1,5) ↦ 31, (4,7) ↦ 32, (1,7) ↦ 33, (5,3) ↦ 34, (6,4) ↦ 35, (6,3) ↦ 36, (2,5) ↦ 37, (2,2) ↦ 38, (2,7) ↦ 39, (5,1) ↦ 40, (6,1) ↦ 41, (5,2) ↦ 42, (5,5) ↦ 43, (5,7) ↦ 44, (0,7) ↦ 45, (6,5) ↦ 46 }, it remains to prove termination of the 581-rule system { 0 1 2 0 3 4 5 ⟶ 0 6 5 6 7 7 5 , 0 1 2 0 3 4 8 ⟶ 0 6 5 6 7 7 8 , 0 1 2 0 3 4 9 ⟶ 0 6 5 6 7 7 9 , 0 1 2 0 3 4 7 ⟶ 0 6 5 6 7 7 7 , 0 1 2 0 3 4 10 ⟶ 0 6 5 6 7 7 10 , 0 1 2 0 3 4 11 ⟶ 0 6 5 6 7 7 11 , 0 1 2 0 3 4 12 ⟶ 0 6 5 6 7 7 12 , 2 1 2 0 3 4 5 ⟶ 2 6 5 6 7 7 5 , 2 1 2 0 3 4 8 ⟶ 2 6 5 6 7 7 8 , 2 1 2 0 3 4 9 ⟶ 2 6 5 6 7 7 9 , 2 1 2 0 3 4 7 ⟶ 2 6 5 6 7 7 7 , 2 1 2 0 3 4 10 ⟶ 2 6 5 6 7 7 10 , 2 1 2 0 3 4 11 ⟶ 2 6 5 6 7 7 11 , 2 1 2 0 3 4 12 ⟶ 2 6 5 6 7 7 12 , 13 1 2 0 3 4 5 ⟶ 13 6 5 6 7 7 5 , 13 1 2 0 3 4 8 ⟶ 13 6 5 6 7 7 8 , 13 1 2 0 3 4 9 ⟶ 13 6 5 6 7 7 9 , 13 1 2 0 3 4 7 ⟶ 13 6 5 6 7 7 7 , 13 1 2 0 3 4 10 ⟶ 13 6 5 6 7 7 10 , 13 1 2 0 3 4 11 ⟶ 13 6 5 6 7 7 11 , 13 1 2 0 3 4 12 ⟶ 13 6 5 6 7 7 12 , 5 1 2 0 3 4 5 ⟶ 5 6 5 6 7 7 5 , 5 1 2 0 3 4 8 ⟶ 5 6 5 6 7 7 8 , 5 1 2 0 3 4 9 ⟶ 5 6 5 6 7 7 9 , 5 1 2 0 3 4 7 ⟶ 5 6 5 6 7 7 7 , 5 1 2 0 3 4 10 ⟶ 5 6 5 6 7 7 10 , 5 1 2 0 3 4 11 ⟶ 5 6 5 6 7 7 11 , 5 1 2 0 3 4 12 ⟶ 5 6 5 6 7 7 12 , 14 1 2 0 3 4 5 ⟶ 14 6 5 6 7 7 5 , 14 1 2 0 3 4 8 ⟶ 14 6 5 6 7 7 8 , 14 1 2 0 3 4 9 ⟶ 14 6 5 6 7 7 9 , 14 1 2 0 3 4 7 ⟶ 14 6 5 6 7 7 7 , 14 1 2 0 3 4 10 ⟶ 14 6 5 6 7 7 10 , 14 1 2 0 3 4 11 ⟶ 14 6 5 6 7 7 11 , 14 1 2 0 3 4 12 ⟶ 14 6 5 6 7 7 12 , 15 1 2 0 3 4 5 ⟶ 15 6 5 6 7 7 5 , 15 1 2 0 3 4 8 ⟶ 15 6 5 6 7 7 8 , 15 1 2 0 3 4 9 ⟶ 15 6 5 6 7 7 9 , 15 1 2 0 3 4 7 ⟶ 15 6 5 6 7 7 7 , 15 1 2 0 3 4 10 ⟶ 15 6 5 6 7 7 10 , 15 1 2 0 3 4 11 ⟶ 15 6 5 6 7 7 11 , 15 1 2 0 3 4 12 ⟶ 15 6 5 6 7 7 12 , 16 1 2 0 3 4 5 ⟶ 16 6 5 6 7 7 5 , 16 1 2 0 3 4 8 ⟶ 16 6 5 6 7 7 8 , 16 1 2 0 3 4 9 ⟶ 16 6 5 6 7 7 9 , 16 1 2 0 3 4 7 ⟶ 16 6 5 6 7 7 7 , 16 1 2 0 3 4 10 ⟶ 16 6 5 6 7 7 10 , 16 1 2 0 3 4 11 ⟶ 16 6 5 6 7 7 11 , 16 1 2 0 3 4 12 ⟶ 16 6 5 6 7 7 12 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 14 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 2 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 26 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 22 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 24 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 27 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 19 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 28 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 29 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 23 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 30 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 31 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 32 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 33 , 23 14 18 15 0 0 17 19 11 20 14 ⟶ 28 5 3 21 14 1 22 23 24 25 2 , 23 14 18 15 0 0 17 19 11 20 26 ⟶ 28 5 3 21 14 1 22 23 24 25 22 , 23 14 18 15 0 0 17 19 11 20 24 ⟶ 28 5 3 21 14 1 22 23 24 25 27 , 23 14 18 15 0 0 17 19 11 20 19 ⟶ 28 5 3 21 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22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 42 37 43 15 0 6 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 37 ↦ 35, 35 ↦ 36, 40 ↦ 37, 41 ↦ 38, 38 ↦ 39, 43 ↦ 40, 42 ↦ 41, 45 ↦ 42, 46 ↦ 43, 44 ↦ 44 }, it remains to prove termination of the 427-rule system { 0 1 2 0 3 4 5 ⟶ 0 6 5 6 7 7 5 , 0 1 2 0 3 4 8 ⟶ 0 6 5 6 7 7 8 , 0 1 2 0 3 4 9 ⟶ 0 6 5 6 7 7 9 , 0 1 2 0 3 4 7 ⟶ 0 6 5 6 7 7 7 , 0 1 2 0 3 4 10 ⟶ 0 6 5 6 7 7 10 , 0 1 2 0 3 4 11 ⟶ 0 6 5 6 7 7 11 , 0 1 2 0 3 4 12 ⟶ 0 6 5 6 7 7 12 , 2 1 2 0 3 4 5 ⟶ 2 6 5 6 7 7 5 , 2 1 2 0 3 4 8 ⟶ 2 6 5 6 7 7 8 , 2 1 2 0 3 4 9 ⟶ 2 6 5 6 7 7 9 , 2 1 2 0 3 4 7 ⟶ 2 6 5 6 7 7 7 , 2 1 2 0 3 4 10 ⟶ 2 6 5 6 7 7 10 , 2 1 2 0 3 4 11 ⟶ 2 6 5 6 7 7 11 , 2 1 2 0 3 4 12 ⟶ 2 6 5 6 7 7 12 , 13 1 2 0 3 4 5 ⟶ 13 6 5 6 7 7 5 , 13 1 2 0 3 4 8 ⟶ 13 6 5 6 7 7 8 , 13 1 2 0 3 4 9 ⟶ 13 6 5 6 7 7 9 , 13 1 2 0 3 4 7 ⟶ 13 6 5 6 7 7 7 , 13 1 2 0 3 4 10 ⟶ 13 6 5 6 7 7 10 , 13 1 2 0 3 4 11 ⟶ 13 6 5 6 7 7 11 , 13 1 2 0 3 4 12 ⟶ 13 6 5 6 7 7 12 , 5 1 2 0 3 4 5 ⟶ 5 6 5 6 7 7 5 , 5 1 2 0 3 4 8 ⟶ 5 6 5 6 7 7 8 , 5 1 2 0 3 4 9 ⟶ 5 6 5 6 7 7 9 , 5 1 2 0 3 4 7 ⟶ 5 6 5 6 7 7 7 , 5 1 2 0 3 4 10 ⟶ 5 6 5 6 7 7 10 , 5 1 2 0 3 4 11 ⟶ 5 6 5 6 7 7 11 , 5 1 2 0 3 4 12 ⟶ 5 6 5 6 7 7 12 , 14 1 2 0 3 4 5 ⟶ 14 6 5 6 7 7 5 , 14 1 2 0 3 4 8 ⟶ 14 6 5 6 7 7 8 , 14 1 2 0 3 4 9 ⟶ 14 6 5 6 7 7 9 , 14 1 2 0 3 4 7 ⟶ 14 6 5 6 7 7 7 , 14 1 2 0 3 4 10 ⟶ 14 6 5 6 7 7 10 , 14 1 2 0 3 4 11 ⟶ 14 6 5 6 7 7 11 , 14 1 2 0 3 4 12 ⟶ 14 6 5 6 7 7 12 , 15 1 2 0 3 4 5 ⟶ 15 6 5 6 7 7 5 , 15 1 2 0 3 4 8 ⟶ 15 6 5 6 7 7 8 , 15 1 2 0 3 4 9 ⟶ 15 6 5 6 7 7 9 , 15 1 2 0 3 4 7 ⟶ 15 6 5 6 7 7 7 , 15 1 2 0 3 4 10 ⟶ 15 6 5 6 7 7 10 , 15 1 2 0 3 4 11 ⟶ 15 6 5 6 7 7 11 , 15 1 2 0 3 4 12 ⟶ 15 6 5 6 7 7 12 , 16 1 2 0 3 4 5 ⟶ 16 6 5 6 7 7 5 , 16 1 2 0 3 4 8 ⟶ 16 6 5 6 7 7 8 , 16 1 2 0 3 4 9 ⟶ 16 6 5 6 7 7 9 , 16 1 2 0 3 4 7 ⟶ 16 6 5 6 7 7 7 , 16 1 2 0 3 4 10 ⟶ 16 6 5 6 7 7 10 , 16 1 2 0 3 4 11 ⟶ 16 6 5 6 7 7 11 , 16 1 2 0 3 4 12 ⟶ 16 6 5 6 7 7 12 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 14 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 2 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 26 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 22 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 24 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 27 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 19 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 28 , 17 14 18 15 0 0 17 19 11 20 29 ⟶ 6 5 3 21 14 1 22 23 24 25 23 , 17 14 18 15 0 0 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14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 12 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 0 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 5 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 1 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 8 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 3 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 9 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 6 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 7 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 17 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 10 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 18 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 11 , 37 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 42 ⟶ 15 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 12 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 0 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 5 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 1 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 8 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 3 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 9 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 6 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 7 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 17 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 10 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 18 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 11 , 38 28 11 15 1 23 14 17 24 25 2 0 3 35 20 26 28 10 29 14 42 ⟶ 16 1 22 22 23 14 17 30 20 19 10 14 6 11 41 35 40 15 0 6 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 23 ↦ 0, 14 ↦ 1, 18 ↦ 2, 15 ↦ 3, 0 ↦ 4, 17 ↦ 5, 19 ↦ 6, 11 ↦ 7, 20 ↦ 8, 28 ↦ 9, 5 ↦ 10, 3 ↦ 11, 21 ↦ 12, 1 ↦ 13, 22 ↦ 14, 24 ↦ 15, 25 ↦ 16, 2 ↦ 17, 26 ↦ 18, 27 ↦ 19, 29 ↦ 20, 30 ↦ 21, 31 ↦ 22, 32 ↦ 23, 33 ↦ 24, 4 ↦ 25, 10 ↦ 26, 7 ↦ 27, 34 ↦ 28, 9 ↦ 29, 13 ↦ 30, 35 ↦ 31, 8 ↦ 32, 16 ↦ 33, 36 ↦ 34, 6 ↦ 35, 12 ↦ 36, 37 ↦ 37, 38 ↦ 38, 39 ↦ 39, 40 ↦ 40, 41 ↦ 41, 44 ↦ 42 }, it remains to prove termination of the 224-rule system { 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 17 , 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 18 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 14 , 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 15 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 19 , 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 6 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 9 , 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 20 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 0 , 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 21 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 22 , 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 23 ⟶ 9 10 11 12 1 13 14 0 15 16 24 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 17 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 18 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 14 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 15 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 19 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 6 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 9 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 20 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 0 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 21 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 22 , 12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 23 ⟶ 25 10 11 12 1 13 14 0 15 16 24 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 17 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 18 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 14 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 15 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 19 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 6 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 9 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 20 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 0 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 21 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 22 , 26 1 2 3 4 4 5 6 7 8 23 ⟶ 27 10 11 12 1 13 14 0 15 16 24 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 17 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 18 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 14 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 15 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 19 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 6 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 9 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 20 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 0 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 21 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 22 , 20 1 2 3 4 4 5 6 7 8 23 ⟶ 6 10 11 12 1 13 14 0 15 16 24 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 17 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 18 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 14 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 15 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 19 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 6 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 9 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 20 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 0 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 21 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 22 , 8 1 2 3 4 4 5 6 7 8 23 ⟶ 28 10 11 12 1 13 14 0 15 16 24 , 4 4 5 6 29 30 13 19 31 8 1 ⟶ 5 20 20 15 12 6 32 0 6 29 30 , 4 4 5 6 29 30 13 19 31 8 18 ⟶ 5 20 20 15 12 6 32 0 6 29 16 , 4 4 5 6 29 30 13 19 31 8 6 ⟶ 5 20 20 15 12 6 32 0 6 29 25 , 4 4 5 6 29 30 13 19 31 8 20 ⟶ 5 20 20 15 12 6 32 0 6 29 12 , 4 4 5 6 29 30 13 19 31 8 21 ⟶ 5 20 20 15 12 6 32 0 6 29 31 , 17 4 5 6 29 30 13 19 31 8 1 ⟶ 0 20 20 15 12 6 32 0 6 29 30 , 17 4 5 6 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10 13 19 25 27 7 8 21 8 ⟶ 34 15 31 41 30 13 19 30 13 0 18 14 22 41 39 31 40 8 , 34 1 11 31 37 9 29 39 25 10 13 19 25 27 7 8 21 40 ⟶ 34 15 31 41 30 13 19 30 13 0 18 14 22 41 39 31 40 40 , 34 1 11 31 37 9 29 39 25 10 13 19 25 27 7 8 21 42 ⟶ 34 15 31 41 30 13 19 30 13 0 18 14 22 41 39 31 40 42 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 4 ↦ 0, 5 ↦ 1, 6 ↦ 2, 29 ↦ 3, 30 ↦ 4, 13 ↦ 5, 19 ↦ 6, 31 ↦ 7, 8 ↦ 8, 1 ↦ 9, 20 ↦ 10, 15 ↦ 11, 12 ↦ 12, 32 ↦ 13, 0 ↦ 14, 25 ↦ 15, 21 ↦ 16, 17 ↦ 17, 10 ↦ 18, 26 ↦ 19, 3 ↦ 20, 33 ↦ 21, 34 ↦ 22, 39 ↦ 23, 2 ↦ 24, 40 ↦ 25, 28 ↦ 26, 37 ↦ 27, 9 ↦ 28, 18 ↦ 29, 23 ↦ 30 }, it remains to prove termination of the 35-rule system { 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 1 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 1 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 1 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 1 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 14 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 14 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 14 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 14 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 12 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 12 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 12 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 12 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 19 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 19 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 19 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 19 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 10 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 10 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 10 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 10 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 8 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 8 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 8 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 8 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟶ 22 10 10 11 12 2 13 14 2 3 4 , 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 ⟶ 22 10 10 11 12 2 13 14 2 3 15 , 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ⟶ 22 10 10 11 12 2 13 14 2 3 12 , 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 ⟶ 22 10 10 11 12 2 13 14 2 3 7 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 9 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 9 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 29 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 29 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 11 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 11 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 2 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 2 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 10 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 10 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 16 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 16 , 23 23 4 24 8 16 25 26 18 0 1 30 ⟶ 12 16 27 28 3 23 23 7 25 27 14 30 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.