/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 49-rule system { 0 0 0 ⟶ 0 0 1 0 2 , 0 3 2 ⟶ 4 3 0 2 , 0 0 4 2 ⟶ 0 4 1 0 2 , 0 0 5 2 ⟶ 5 0 2 3 0 , 0 1 3 2 ⟶ 0 3 1 0 2 , 0 1 3 2 ⟶ 3 1 1 0 2 , 0 1 3 2 ⟶ 0 1 4 3 1 2 , 0 4 1 3 ⟶ 1 4 3 0 2 2 , 0 4 2 3 ⟶ 5 4 3 0 2 , 0 4 5 2 ⟶ 5 0 2 2 4 2 , 0 5 1 3 ⟶ 3 0 1 5 1 2 , 0 5 3 0 ⟶ 5 0 1 4 3 0 , 0 5 3 2 ⟶ 5 1 5 0 2 3 , 4 0 2 3 ⟶ 3 4 3 0 2 , 4 0 2 3 ⟶ 4 3 5 0 2 , 4 4 1 3 ⟶ 4 3 4 1 2 2 , 4 5 2 0 ⟶ 4 2 1 5 0 2 , 4 5 2 0 ⟶ 5 1 0 2 2 4 , 5 1 0 0 ⟶ 5 1 0 2 0 , 5 1 0 0 ⟶ 5 2 1 0 2 0 , 5 1 3 0 ⟶ 5 0 2 1 3 , 5 1 3 2 ⟶ 3 0 1 5 1 2 , 5 1 3 2 ⟶ 3 1 1 5 2 2 , 5 3 0 0 ⟶ 5 0 4 3 0 2 , 0 0 4 1 3 ⟶ 4 0 1 0 2 3 , 0 0 4 5 2 ⟶ 5 0 1 0 2 4 , 0 0 5 3 2 ⟶ 0 1 5 0 2 3 , 0 1 0 5 2 ⟶ 1 0 2 5 1 0 , 0 1 4 5 2 ⟶ 2 1 5 0 2 4 , 0 3 1 4 0 ⟶ 4 1 0 1 0 3 , 0 3 2 0 0 ⟶ 0 0 1 0 2 3 , 0 3 4 0 2 ⟶ 4 3 0 2 1 0 , 0 3 4 0 2 ⟶ 4 3 0 2 3 0 , 0 3 4 4 2 ⟶ 4 0 3 4 2 2 , 0 4 2 5 3 ⟶ 0 4 3 5 1 2 , 0 5 1 2 0 ⟶ 3 0 1 5 0 2 , 4 4 2 2 0 ⟶ 4 1 0 2 2 4 , 4 5 1 2 0 ⟶ 5 0 4 1 2 2 , 4 5 2 3 2 ⟶ 5 4 3 5 2 2 , 5 1 0 3 2 ⟶ 5 0 3 1 0 2 , 5 1 0 5 3 ⟶ 5 5 0 1 3 1 , 5 1 3 0 0 ⟶ 3 5 0 1 2 0 , 5 1 3 0 2 ⟶ 3 0 2 1 5 2 , 5 1 3 0 2 ⟶ 5 0 1 0 3 2 , 5 1 3 0 2 ⟶ 5 0 1 1 2 3 , 5 1 3 2 0 ⟶ 5 3 1 5 2 0 , 5 1 3 2 3 ⟶ 3 4 3 5 1 2 , 5 1 4 5 2 ⟶ 5 1 4 1 5 2 , 5 5 1 3 2 ⟶ 3 5 5 4 1 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 48-rule system { 0 0 0 ⟶ 0 0 1 0 2 , 0 3 2 ⟶ 4 3 0 2 , 0 0 4 2 ⟶ 0 4 1 0 2 , 0 0 5 2 ⟶ 5 0 2 3 0 , 0 1 3 2 ⟶ 0 3 1 0 2 , 0 1 3 2 ⟶ 3 1 1 0 2 , 0 1 3 2 ⟶ 0 1 4 3 1 2 , 0 4 1 3 ⟶ 1 4 3 0 2 2 , 0 4 2 3 ⟶ 5 4 3 0 2 , 0 4 5 2 ⟶ 5 0 2 2 4 2 , 0 5 1 3 ⟶ 3 0 1 5 1 2 , 0 5 3 0 ⟶ 5 0 1 4 3 0 , 0 5 3 2 ⟶ 5 1 5 0 2 3 , 4 0 2 3 ⟶ 3 4 3 0 2 , 4 0 2 3 ⟶ 4 3 5 0 2 , 4 4 1 3 ⟶ 4 3 4 1 2 2 , 4 5 2 0 ⟶ 4 2 1 5 0 2 , 4 5 2 0 ⟶ 5 1 0 2 2 4 , 5 1 0 0 ⟶ 5 1 0 2 0 , 5 1 0 0 ⟶ 5 2 1 0 2 0 , 5 1 3 0 ⟶ 5 0 2 1 3 , 5 1 3 2 ⟶ 3 0 1 5 1 2 , 5 1 3 2 ⟶ 3 1 1 5 2 2 , 5 3 0 0 ⟶ 5 0 4 3 0 2 , 0 0 4 1 3 ⟶ 4 0 1 0 2 3 , 0 0 4 5 2 ⟶ 5 0 1 0 2 4 , 0 0 5 3 2 ⟶ 0 1 5 0 2 3 , 0 1 0 5 2 ⟶ 1 0 2 5 1 0 , 0 1 4 5 2 ⟶ 2 1 5 0 2 4 , 0 3 1 4 0 ⟶ 4 1 0 1 0 3 , 0 3 2 0 0 ⟶ 0 0 1 0 2 3 , 0 3 4 0 2 ⟶ 4 3 0 2 1 0 , 0 3 4 0 2 ⟶ 4 3 0 2 3 0 , 0 3 4 4 2 ⟶ 4 0 3 4 2 2 , 0 4 2 5 3 ⟶ 0 4 3 5 1 2 , 0 5 1 2 0 ⟶ 3 0 1 5 0 2 , 4 4 2 2 0 ⟶ 4 1 0 2 2 4 , 4 5 1 2 0 ⟶ 5 0 4 1 2 2 , 4 5 2 3 2 ⟶ 5 4 3 5 2 2 , 5 1 0 3 2 ⟶ 5 0 3 1 0 2 , 5 1 0 5 3 ⟶ 5 5 0 1 3 1 , 5 1 3 0 0 ⟶ 3 5 0 1 2 0 , 5 1 3 0 2 ⟶ 3 0 2 1 5 2 , 5 1 3 0 2 ⟶ 5 0 1 0 3 2 , 5 1 3 0 2 ⟶ 5 0 1 1 2 3 , 5 1 3 2 3 ⟶ 3 4 3 5 1 2 , 5 1 4 5 2 ⟶ 5 1 4 1 5 2 , 5 5 1 3 2 ⟶ 3 5 5 4 1 2 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,0) ↦ 4, (2,1) ↦ 5, (2,2) ↦ 6, (0,3) ↦ 7, (2,3) ↦ 8, (0,4) ↦ 9, (2,4) ↦ 10, (0,5) ↦ 11, (2,5) ↦ 12, (0,7) ↦ 13, (2,7) ↦ 14, (3,0) ↦ 15, (4,0) ↦ 16, (5,0) ↦ 17, (6,0) ↦ 18, (3,2) ↦ 19, (4,3) ↦ 20, (1,4) ↦ 21, (3,4) ↦ 22, (4,4) ↦ 23, (5,4) ↦ 24, (6,4) ↦ 25, (4,2) ↦ 26, (4,1) ↦ 27, (5,2) ↦ 28, (1,5) ↦ 29, (3,5) ↦ 30, (4,5) ↦ 31, (5,5) ↦ 32, (6,5) ↦ 33, (1,3) ↦ 34, (3,1) ↦ 35, (1,1) ↦ 36, (3,3) ↦ 37, (5,3) ↦ 38, (6,3) ↦ 39, (1,2) ↦ 40, (3,7) ↦ 41, (5,1) ↦ 42, (6,1) ↦ 43, (4,7) ↦ 44, (6,2) ↦ 45, (1,7) ↦ 46 }, it remains to prove termination of the 2352-rule system { 0 0 0 0 ⟶ 0 0 1 2 3 4 , 0 0 0 1 ⟶ 0 0 1 2 3 5 , 0 0 0 3 ⟶ 0 0 1 2 3 6 , 0 0 0 7 ⟶ 0 0 1 2 3 8 , 0 0 0 9 ⟶ 0 0 1 2 3 10 , 0 0 0 11 ⟶ 0 0 1 2 3 12 , 0 0 0 13 ⟶ 0 0 1 2 3 14 , 2 0 0 0 ⟶ 2 0 1 2 3 4 , 2 0 0 1 ⟶ 2 0 1 2 3 5 , 2 0 0 3 ⟶ 2 0 1 2 3 6 , 2 0 0 7 ⟶ 2 0 1 2 3 8 , 2 0 0 9 ⟶ 2 0 1 2 3 10 , 2 0 0 11 ⟶ 2 0 1 2 3 12 , 2 0 0 13 ⟶ 2 0 1 2 3 14 , 4 0 0 0 ⟶ 4 0 1 2 3 4 , 4 0 0 1 ⟶ 4 0 1 2 3 5 , 4 0 0 3 ⟶ 4 0 1 2 3 6 , 4 0 0 7 ⟶ 4 0 1 2 3 8 , 4 0 0 9 ⟶ 4 0 1 2 3 10 , 4 0 0 11 ⟶ 4 0 1 2 3 12 , 4 0 0 13 ⟶ 4 0 1 2 3 14 , 15 0 0 0 ⟶ 15 0 1 2 3 4 , 15 0 0 1 ⟶ 15 0 1 2 3 5 , 15 0 0 3 ⟶ 15 0 1 2 3 6 , 15 0 0 7 ⟶ 15 0 1 2 3 8 , 15 0 0 9 ⟶ 15 0 1 2 3 10 , 15 0 0 11 ⟶ 15 0 1 2 3 12 , 15 0 0 13 ⟶ 15 0 1 2 3 14 , 16 0 0 0 ⟶ 16 0 1 2 3 4 , 16 0 0 1 ⟶ 16 0 1 2 3 5 , 16 0 0 3 ⟶ 16 0 1 2 3 6 , 16 0 0 7 ⟶ 16 0 1 2 3 8 , 16 0 0 9 ⟶ 16 0 1 2 3 10 , 16 0 0 11 ⟶ 16 0 1 2 3 12 , 16 0 0 13 ⟶ 16 0 1 2 3 14 , 17 0 0 0 ⟶ 17 0 1 2 3 4 , 17 0 0 1 ⟶ 17 0 1 2 3 5 , 17 0 0 3 ⟶ 17 0 1 2 3 6 , 17 0 0 7 ⟶ 17 0 1 2 3 8 , 17 0 0 9 ⟶ 17 0 1 2 3 10 , 17 0 0 11 ⟶ 17 0 1 2 3 12 , 17 0 0 13 ⟶ 17 0 1 2 3 14 , 18 0 0 0 ⟶ 18 0 1 2 3 4 , 18 0 0 1 ⟶ 18 0 1 2 3 5 , 18 0 0 3 ⟶ 18 0 1 2 3 6 , 18 0 0 7 ⟶ 18 0 1 2 3 8 , 18 0 0 9 ⟶ 18 0 1 2 3 10 , 18 0 0 11 ⟶ 18 0 1 2 3 12 , 18 0 0 13 ⟶ 18 0 1 2 3 14 , 0 7 19 4 ⟶ 9 20 15 3 4 , 0 7 19 5 ⟶ 9 20 15 3 5 , 0 7 19 6 ⟶ 9 20 15 3 6 , 0 7 19 8 ⟶ 9 20 15 3 8 , 0 7 19 10 ⟶ 9 20 15 3 10 , 0 7 19 12 ⟶ 9 20 15 3 12 , 0 7 19 14 ⟶ 9 20 15 3 14 , 2 7 19 4 ⟶ 21 20 15 3 4 , 2 7 19 5 ⟶ 21 20 15 3 5 , 2 7 19 6 ⟶ 21 20 15 3 6 , 2 7 19 8 ⟶ 21 20 15 3 8 , 2 7 19 10 ⟶ 21 20 15 3 10 , 2 7 19 12 ⟶ 21 20 15 3 12 , 2 7 19 14 ⟶ 21 20 15 3 14 , 4 7 19 4 ⟶ 10 20 15 3 4 , 4 7 19 5 ⟶ 10 20 15 3 5 , 4 7 19 6 ⟶ 10 20 15 3 6 , 4 7 19 8 ⟶ 10 20 15 3 8 , 4 7 19 10 ⟶ 10 20 15 3 10 , 4 7 19 12 ⟶ 10 20 15 3 12 , 4 7 19 14 ⟶ 10 20 15 3 14 , 15 7 19 4 ⟶ 22 20 15 3 4 , 15 7 19 5 ⟶ 22 20 15 3 5 , 15 7 19 6 ⟶ 22 20 15 3 6 , 15 7 19 8 ⟶ 22 20 15 3 8 , 15 7 19 10 ⟶ 22 20 15 3 10 , 15 7 19 12 ⟶ 22 20 15 3 12 , 15 7 19 14 ⟶ 22 20 15 3 14 , 16 7 19 4 ⟶ 23 20 15 3 4 , 16 7 19 5 ⟶ 23 20 15 3 5 , 16 7 19 6 ⟶ 23 20 15 3 6 , 16 7 19 8 ⟶ 23 20 15 3 8 , 16 7 19 10 ⟶ 23 20 15 3 10 , 16 7 19 12 ⟶ 23 20 15 3 12 , 16 7 19 14 ⟶ 23 20 15 3 14 , 17 7 19 4 ⟶ 24 20 15 3 4 , 17 7 19 5 ⟶ 24 20 15 3 5 , 17 7 19 6 ⟶ 24 20 15 3 6 , 17 7 19 8 ⟶ 24 20 15 3 8 , 17 7 19 10 ⟶ 24 20 15 3 10 , 17 7 19 12 ⟶ 24 20 15 3 12 , 17 7 19 14 ⟶ 24 20 15 3 14 , 18 7 19 4 ⟶ 25 20 15 3 4 , 18 7 19 5 ⟶ 25 20 15 3 5 , 18 7 19 6 ⟶ 25 20 15 3 6 , 18 7 19 8 ⟶ 25 20 15 3 8 , 18 7 19 10 ⟶ 25 20 15 3 10 , 18 7 19 12 ⟶ 25 20 15 3 12 , 18 7 19 14 ⟶ 25 20 15 3 14 , 0 0 9 26 4 ⟶ 0 9 27 2 3 4 , 0 0 9 26 5 ⟶ 0 9 27 2 3 5 , 0 0 9 26 6 ⟶ 0 9 27 2 3 6 , 0 0 9 26 8 ⟶ 0 9 27 2 3 8 , 0 0 9 26 10 ⟶ 0 9 27 2 3 10 , 0 0 9 26 12 ⟶ 0 9 27 2 3 12 , 0 0 9 26 14 ⟶ 0 9 27 2 3 14 , 2 0 9 26 4 ⟶ 2 9 27 2 3 4 , 2 0 9 26 5 ⟶ 2 9 27 2 3 5 , 2 0 9 26 6 ⟶ 2 9 27 2 3 6 , 2 0 9 26 8 ⟶ 2 9 27 2 3 8 , 2 0 9 26 10 ⟶ 2 9 27 2 3 10 , 2 0 9 26 12 ⟶ 2 9 27 2 3 12 , 2 0 9 26 14 ⟶ 2 9 27 2 3 14 , 4 0 9 26 4 ⟶ 4 9 27 2 3 4 , 4 0 9 26 5 ⟶ 4 9 27 2 3 5 , 4 0 9 26 6 ⟶ 4 9 27 2 3 6 , 4 0 9 26 8 ⟶ 4 9 27 2 3 8 , 4 0 9 26 10 ⟶ 4 9 27 2 3 10 , 4 0 9 26 12 ⟶ 4 9 27 2 3 12 , 4 0 9 26 14 ⟶ 4 9 27 2 3 14 , 15 0 9 26 4 ⟶ 15 9 27 2 3 4 , 15 0 9 26 5 ⟶ 15 9 27 2 3 5 , 15 0 9 26 6 ⟶ 15 9 27 2 3 6 , 15 0 9 26 8 ⟶ 15 9 27 2 3 8 , 15 0 9 26 10 ⟶ 15 9 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27 29 28 10 , 32 42 21 31 28 12 ⟶ 32 42 21 27 29 28 12 , 32 42 21 31 28 14 ⟶ 32 42 21 27 29 28 14 , 33 42 21 31 28 4 ⟶ 33 42 21 27 29 28 4 , 33 42 21 31 28 5 ⟶ 33 42 21 27 29 28 5 , 33 42 21 31 28 6 ⟶ 33 42 21 27 29 28 6 , 33 42 21 31 28 8 ⟶ 33 42 21 27 29 28 8 , 33 42 21 31 28 10 ⟶ 33 42 21 27 29 28 10 , 33 42 21 31 28 12 ⟶ 33 42 21 27 29 28 12 , 33 42 21 31 28 14 ⟶ 33 42 21 27 29 28 14 , 11 32 42 34 19 4 ⟶ 7 30 32 24 27 40 4 , 11 32 42 34 19 5 ⟶ 7 30 32 24 27 40 5 , 11 32 42 34 19 6 ⟶ 7 30 32 24 27 40 6 , 11 32 42 34 19 8 ⟶ 7 30 32 24 27 40 8 , 11 32 42 34 19 10 ⟶ 7 30 32 24 27 40 10 , 11 32 42 34 19 12 ⟶ 7 30 32 24 27 40 12 , 11 32 42 34 19 14 ⟶ 7 30 32 24 27 40 14 , 29 32 42 34 19 4 ⟶ 34 30 32 24 27 40 4 , 29 32 42 34 19 5 ⟶ 34 30 32 24 27 40 5 , 29 32 42 34 19 6 ⟶ 34 30 32 24 27 40 6 , 29 32 42 34 19 8 ⟶ 34 30 32 24 27 40 8 , 29 32 42 34 19 10 ⟶ 34 30 32 24 27 40 10 , 29 32 42 34 19 12 ⟶ 34 30 32 24 27 40 12 , 29 32 42 34 19 14 ⟶ 34 30 32 24 27 40 14 , 12 32 42 34 19 4 ⟶ 8 30 32 24 27 40 4 , 12 32 42 34 19 5 ⟶ 8 30 32 24 27 40 5 , 12 32 42 34 19 6 ⟶ 8 30 32 24 27 40 6 , 12 32 42 34 19 8 ⟶ 8 30 32 24 27 40 8 , 12 32 42 34 19 10 ⟶ 8 30 32 24 27 40 10 , 12 32 42 34 19 12 ⟶ 8 30 32 24 27 40 12 , 12 32 42 34 19 14 ⟶ 8 30 32 24 27 40 14 , 30 32 42 34 19 4 ⟶ 37 30 32 24 27 40 4 , 30 32 42 34 19 5 ⟶ 37 30 32 24 27 40 5 , 30 32 42 34 19 6 ⟶ 37 30 32 24 27 40 6 , 30 32 42 34 19 8 ⟶ 37 30 32 24 27 40 8 , 30 32 42 34 19 10 ⟶ 37 30 32 24 27 40 10 , 30 32 42 34 19 12 ⟶ 37 30 32 24 27 40 12 , 30 32 42 34 19 14 ⟶ 37 30 32 24 27 40 14 , 31 32 42 34 19 4 ⟶ 20 30 32 24 27 40 4 , 31 32 42 34 19 5 ⟶ 20 30 32 24 27 40 5 , 31 32 42 34 19 6 ⟶ 20 30 32 24 27 40 6 , 31 32 42 34 19 8 ⟶ 20 30 32 24 27 40 8 , 31 32 42 34 19 10 ⟶ 20 30 32 24 27 40 10 , 31 32 42 34 19 12 ⟶ 20 30 32 24 27 40 12 , 31 32 42 34 19 14 ⟶ 20 30 32 24 27 40 14 , 32 32 42 34 19 4 ⟶ 38 30 32 24 27 40 4 , 32 32 42 34 19 5 ⟶ 38 30 32 24 27 40 5 , 32 32 42 34 19 6 ⟶ 38 30 32 24 27 40 6 , 32 32 42 34 19 8 ⟶ 38 30 32 24 27 40 8 , 32 32 42 34 19 10 ⟶ 38 30 32 24 27 40 10 , 32 32 42 34 19 12 ⟶ 38 30 32 24 27 40 12 , 32 32 42 34 19 14 ⟶ 38 30 32 24 27 40 14 , 33 32 42 34 19 4 ⟶ 39 30 32 24 27 40 4 , 33 32 42 34 19 5 ⟶ 39 30 32 24 27 40 5 , 33 32 42 34 19 6 ⟶ 39 30 32 24 27 40 6 , 33 32 42 34 19 8 ⟶ 39 30 32 24 27 40 8 , 33 32 42 34 19 10 ⟶ 39 30 32 24 27 40 10 , 33 32 42 34 19 12 ⟶ 39 30 32 24 27 40 12 , 33 32 42 34 19 14 ⟶ 39 30 32 24 27 40 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 28 ↦ 27, 29 ↦ 28, 30 ↦ 29, 31 ↦ 30, 32 ↦ 31, 34 ↦ 32, 35 ↦ 33, 36 ↦ 34, 37 ↦ 35, 38 ↦ 36, 40 ↦ 37, 41 ↦ 38, 42 ↦ 39, 25 ↦ 40, 39 ↦ 41, 44 ↦ 42, 33 ↦ 43, 46 ↦ 44 }, it remains to prove termination of the 2226-rule system { 0 0 0 0 ⟶ 0 0 1 2 3 4 , 0 0 0 1 ⟶ 0 0 1 2 3 5 , 0 0 0 3 ⟶ 0 0 1 2 3 6 , 0 0 0 7 ⟶ 0 0 1 2 3 8 , 0 0 0 9 ⟶ 0 0 1 2 3 10 , 0 0 0 11 ⟶ 0 0 1 2 3 12 , 0 0 0 13 ⟶ 0 0 1 2 3 14 , 2 0 0 0 ⟶ 2 0 1 2 3 4 , 2 0 0 1 ⟶ 2 0 1 2 3 5 , 2 0 0 3 ⟶ 2 0 1 2 3 6 , 2 0 0 7 ⟶ 2 0 1 2 3 8 , 2 0 0 9 ⟶ 2 0 1 2 3 10 , 2 0 0 11 ⟶ 2 0 1 2 3 12 , 2 0 0 13 ⟶ 2 0 1 2 3 14 , 4 0 0 0 ⟶ 4 0 1 2 3 4 , 4 0 0 1 ⟶ 4 0 1 2 3 5 , 4 0 0 3 ⟶ 4 0 1 2 3 6 , 4 0 0 7 ⟶ 4 0 1 2 3 8 , 4 0 0 9 ⟶ 4 0 1 2 3 10 , 4 0 0 11 ⟶ 4 0 1 2 3 12 , 4 0 0 13 ⟶ 4 0 1 2 3 14 , 15 0 0 0 ⟶ 15 0 1 2 3 4 , 15 0 0 1 ⟶ 15 0 1 2 3 5 , 15 0 0 3 ⟶ 15 0 1 2 3 6 , 15 0 0 7 ⟶ 15 0 1 2 3 8 , 15 0 0 9 ⟶ 15 0 1 2 3 10 , 15 0 0 11 ⟶ 15 0 1 2 3 12 , 15 0 0 13 ⟶ 15 0 1 2 3 14 , 16 0 0 0 ⟶ 16 0 1 2 3 4 , 16 0 0 1 ⟶ 16 0 1 2 3 5 , 16 0 0 3 ⟶ 16 0 1 2 3 6 , 16 0 0 7 ⟶ 16 0 1 2 3 8 , 16 0 0 9 ⟶ 16 0 1 2 3 10 , 16 0 0 11 ⟶ 16 0 1 2 3 12 , 16 0 0 13 ⟶ 16 0 1 2 3 14 , 17 0 0 0 ⟶ 17 0 1 2 3 4 , 17 0 0 1 ⟶ 17 0 1 2 3 5 , 17 0 0 3 ⟶ 17 0 1 2 3 6 , 17 0 0 7 ⟶ 17 0 1 2 3 8 , 17 0 0 9 ⟶ 17 0 1 2 3 10 , 17 0 0 11 ⟶ 17 0 1 2 3 12 , 17 0 0 13 ⟶ 17 0 1 2 3 14 , 18 0 0 0 ⟶ 18 0 1 2 3 4 , 18 0 0 1 ⟶ 18 0 1 2 3 5 , 18 0 0 3 ⟶ 18 0 1 2 3 6 , 18 0 0 7 ⟶ 18 0 1 2 3 8 , 18 0 0 9 ⟶ 18 0 1 2 3 10 , 18 0 0 11 ⟶ 18 0 1 2 3 12 , 18 0 0 13 ⟶ 18 0 1 2 3 14 , 0 7 19 4 ⟶ 9 20 15 3 4 , 0 7 19 5 ⟶ 9 20 15 3 5 , 0 7 19 6 ⟶ 9 20 15 3 6 , 0 7 19 8 ⟶ 9 20 15 3 8 , 0 7 19 10 ⟶ 9 20 15 3 10 , 0 7 19 12 ⟶ 9 20 15 3 12 , 0 7 19 14 ⟶ 9 20 15 3 14 , 2 7 19 4 ⟶ 21 20 15 3 4 , 2 7 19 5 ⟶ 21 20 15 3 5 , 2 7 19 6 ⟶ 21 20 15 3 6 , 2 7 19 8 ⟶ 21 20 15 3 8 , 2 7 19 10 ⟶ 21 20 15 3 10 , 2 7 19 12 ⟶ 21 20 15 3 12 , 2 7 19 14 ⟶ 21 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2 9 26 2 3 4 , 2 0 9 25 5 ⟶ 2 9 26 2 3 5 , 2 0 9 25 6 ⟶ 2 9 26 2 3 6 , 2 0 9 25 8 ⟶ 2 9 26 2 3 8 , 2 0 9 25 10 ⟶ 2 9 26 2 3 10 , 2 0 9 25 12 ⟶ 2 9 26 2 3 12 , 2 0 9 25 14 ⟶ 2 9 26 2 3 14 , 4 0 9 25 4 ⟶ 4 9 26 2 3 4 , 4 0 9 25 5 ⟶ 4 9 26 2 3 5 , 4 0 9 25 6 ⟶ 4 9 26 2 3 6 , 4 0 9 25 8 ⟶ 4 9 26 2 3 8 , 4 0 9 25 10 ⟶ 4 9 26 2 3 10 , 4 0 9 25 12 ⟶ 4 9 26 2 3 12 , 4 0 9 25 14 ⟶ 4 9 26 2 3 14 , 15 0 9 25 4 ⟶ 15 9 26 2 3 4 , 15 0 9 25 5 ⟶ 15 9 26 2 3 5 , 15 0 9 25 6 ⟶ 15 9 26 2 3 6 , 15 0 9 25 8 ⟶ 15 9 26 2 3 8 , 15 0 9 25 10 ⟶ 15 9 26 2 3 10 , 15 0 9 25 12 ⟶ 15 9 26 2 3 12 , 15 0 9 25 14 ⟶ 15 9 26 2 3 14 , 16 0 9 25 4 ⟶ 16 9 26 2 3 4 , 16 0 9 25 5 ⟶ 16 9 26 2 3 5 , 16 0 9 25 6 ⟶ 16 9 26 2 3 6 , 16 0 9 25 8 ⟶ 16 9 26 2 3 8 , 16 0 9 25 10 ⟶ 16 9 26 2 3 10 , 16 0 9 25 12 ⟶ 16 9 26 2 3 12 , 16 0 9 25 14 ⟶ 16 9 26 2 3 14 , 17 0 9 25 4 ⟶ 17 9 26 2 3 4 , 17 0 9 25 5 ⟶ 17 9 26 2 3 5 , 17 0 9 25 6 ⟶ 17 9 26 2 3 6 , 17 0 9 25 8 ⟶ 17 9 26 2 3 8 , 17 0 9 25 10 ⟶ 17 9 26 2 3 10 , 17 0 9 25 12 ⟶ 17 9 26 2 3 12 , 17 0 9 25 14 ⟶ 17 9 26 2 3 14 , 18 0 9 25 4 ⟶ 18 9 26 2 3 4 , 18 0 9 25 5 ⟶ 18 9 26 2 3 5 , 18 0 9 25 6 ⟶ 18 9 26 2 3 6 , 18 0 9 25 8 ⟶ 18 9 26 2 3 8 , 18 0 9 25 10 ⟶ 18 9 26 2 3 10 , 18 0 9 25 12 ⟶ 18 9 26 2 3 12 , 18 0 9 25 14 ⟶ 18 9 26 2 3 14 , 0 0 11 27 4 ⟶ 11 17 3 8 15 0 , 0 0 11 27 5 ⟶ 11 17 3 8 15 1 , 0 0 11 27 6 ⟶ 11 17 3 8 15 3 , 0 0 11 27 8 ⟶ 11 17 3 8 15 7 , 0 0 11 27 10 ⟶ 11 17 3 8 15 9 , 0 0 11 27 12 ⟶ 11 17 3 8 15 11 , 0 0 11 27 14 ⟶ 11 17 3 8 15 13 , 2 0 11 27 4 ⟶ 28 17 3 8 15 0 , 2 0 11 27 5 ⟶ 28 17 3 8 15 1 , 2 0 11 27 6 ⟶ 28 17 3 8 15 3 , 2 0 11 27 8 ⟶ 28 17 3 8 15 7 , 2 0 11 27 10 ⟶ 28 17 3 8 15 9 , 2 0 11 27 12 ⟶ 28 17 3 8 15 11 , 2 0 11 27 14 ⟶ 28 17 3 8 15 13 , 4 0 11 27 4 ⟶ 12 17 3 8 15 0 , 4 0 11 27 5 ⟶ 12 17 3 8 15 1 , 4 0 11 27 6 ⟶ 12 17 3 8 15 3 , 4 0 11 27 8 ⟶ 12 17 3 8 15 7 , 4 0 11 27 10 ⟶ 12 17 3 8 15 9 , 4 0 11 27 12 ⟶ 12 17 3 8 15 11 , 4 0 11 27 14 ⟶ 12 17 3 8 15 13 , 15 0 11 27 4 ⟶ 29 17 3 8 15 0 , 15 0 11 27 5 ⟶ 29 17 3 8 15 1 , 15 0 11 27 6 ⟶ 29 17 3 8 15 3 , 15 0 11 27 8 ⟶ 29 17 3 8 15 7 , 15 0 11 27 10 ⟶ 29 17 3 8 15 9 , 15 0 11 27 12 ⟶ 29 17 3 8 15 11 , 15 0 11 27 14 ⟶ 29 17 3 8 15 13 , 16 0 11 27 4 ⟶ 30 17 3 8 15 0 , 16 0 11 27 5 ⟶ 30 17 3 8 15 1 , 16 0 11 27 6 ⟶ 30 17 3 8 15 3 , 16 0 11 27 8 ⟶ 30 17 3 8 15 7 , 16 0 11 27 10 ⟶ 30 17 3 8 15 9 , 16 0 11 27 12 ⟶ 30 17 3 8 15 11 , 16 0 11 27 14 ⟶ 30 17 3 8 15 13 , 17 0 11 27 4 ⟶ 31 17 3 8 15 0 , 17 0 11 27 5 ⟶ 31 17 3 8 15 1 , 17 0 11 27 6 ⟶ 31 17 3 8 15 3 , 17 0 11 27 8 ⟶ 31 17 3 8 15 7 , 17 0 11 27 10 ⟶ 31 17 3 8 15 9 , 17 0 11 27 12 ⟶ 31 17 3 8 15 11 , 17 0 11 27 14 ⟶ 31 17 3 8 15 13 , 0 1 32 19 4 ⟶ 0 7 33 2 3 4 , 0 1 32 19 5 ⟶ 0 7 33 2 3 5 , 0 1 32 19 6 ⟶ 0 7 33 2 3 6 , 0 1 32 19 8 ⟶ 0 7 33 2 3 8 , 0 1 32 19 10 ⟶ 0 7 33 2 3 10 , 0 1 32 19 12 ⟶ 0 7 33 2 3 12 , 0 1 32 19 14 ⟶ 0 7 33 2 3 14 , 2 1 32 19 4 ⟶ 2 7 33 2 3 4 , 2 1 32 19 5 ⟶ 2 7 33 2 3 5 , 2 1 32 19 6 ⟶ 2 7 33 2 3 6 , 2 1 32 19 8 ⟶ 2 7 33 2 3 8 , 2 1 32 19 10 ⟶ 2 7 33 2 3 10 , 2 1 32 19 12 ⟶ 2 7 33 2 3 12 , 2 1 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39 32 19 4 ⟶ 36 29 31 24 26 37 4 , 31 31 39 32 19 5 ⟶ 36 29 31 24 26 37 5 , 31 31 39 32 19 6 ⟶ 36 29 31 24 26 37 6 , 31 31 39 32 19 8 ⟶ 36 29 31 24 26 37 8 , 31 31 39 32 19 10 ⟶ 36 29 31 24 26 37 10 , 31 31 39 32 19 12 ⟶ 36 29 31 24 26 37 12 , 31 31 39 32 19 14 ⟶ 36 29 31 24 26 37 14 , 43 31 39 32 19 4 ⟶ 41 29 31 24 26 37 4 , 43 31 39 32 19 5 ⟶ 41 29 31 24 26 37 5 , 43 31 39 32 19 6 ⟶ 41 29 31 24 26 37 6 , 43 31 39 32 19 8 ⟶ 41 29 31 24 26 37 8 , 43 31 39 32 19 10 ⟶ 41 29 31 24 26 37 10 , 43 31 39 32 19 12 ⟶ 41 29 31 24 26 37 12 , 43 31 39 32 19 14 ⟶ 41 29 31 24 26 37 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36, 37 ↦ 37, 38 ↦ 38, 39 ↦ 39, 40 ↦ 40, 42 ↦ 41, 43 ↦ 42, 41 ↦ 43, 44 ↦ 44 }, it remains to prove termination of the 2198-rule system { 0 0 0 0 ⟶ 0 0 1 2 3 4 , 0 0 0 1 ⟶ 0 0 1 2 3 5 , 0 0 0 3 ⟶ 0 0 1 2 3 6 , 0 0 0 7 ⟶ 0 0 1 2 3 8 , 0 0 0 9 ⟶ 0 0 1 2 3 10 , 0 0 0 11 ⟶ 0 0 1 2 3 12 , 0 0 0 13 ⟶ 0 0 1 2 3 14 , 2 0 0 0 ⟶ 2 0 1 2 3 4 , 2 0 0 1 ⟶ 2 0 1 2 3 5 , 2 0 0 3 ⟶ 2 0 1 2 3 6 , 2 0 0 7 ⟶ 2 0 1 2 3 8 , 2 0 0 9 ⟶ 2 0 1 2 3 10 , 2 0 0 11 ⟶ 2 0 1 2 3 12 , 2 0 0 13 ⟶ 2 0 1 2 3 14 , 4 0 0 0 ⟶ 4 0 1 2 3 4 , 4 0 0 1 ⟶ 4 0 1 2 3 5 , 4 0 0 3 ⟶ 4 0 1 2 3 6 , 4 0 0 7 ⟶ 4 0 1 2 3 8 , 4 0 0 9 ⟶ 4 0 1 2 3 10 , 4 0 0 11 ⟶ 4 0 1 2 3 12 , 4 0 0 13 ⟶ 4 0 1 2 3 14 , 15 0 0 0 ⟶ 15 0 1 2 3 4 , 15 0 0 1 ⟶ 15 0 1 2 3 5 , 15 0 0 3 ⟶ 15 0 1 2 3 6 , 15 0 0 7 ⟶ 15 0 1 2 3 8 , 15 0 0 9 ⟶ 15 0 1 2 3 10 , 15 0 0 11 ⟶ 15 0 1 2 3 12 , 15 0 0 13 ⟶ 15 0 1 2 3 14 , 16 0 0 0 ⟶ 16 0 1 2 3 4 , 16 0 0 1 ⟶ 16 0 1 2 3 5 , 16 0 0 3 ⟶ 16 0 1 2 3 6 , 16 0 0 7 ⟶ 16 0 1 2 3 8 , 16 0 0 9 ⟶ 16 0 1 2 3 10 , 16 0 0 11 ⟶ 16 0 1 2 3 12 , 16 0 0 13 ⟶ 16 0 1 2 3 14 , 17 0 0 0 ⟶ 17 0 1 2 3 4 , 17 0 0 1 ⟶ 17 0 1 2 3 5 , 17 0 0 3 ⟶ 17 0 1 2 3 6 , 17 0 0 7 ⟶ 17 0 1 2 3 8 , 17 0 0 9 ⟶ 17 0 1 2 3 10 , 17 0 0 11 ⟶ 17 0 1 2 3 12 , 17 0 0 13 ⟶ 17 0 1 2 3 14 , 18 0 0 0 ⟶ 18 0 1 2 3 4 , 18 0 0 1 ⟶ 18 0 1 2 3 5 , 18 0 0 3 ⟶ 18 0 1 2 3 6 , 18 0 0 7 ⟶ 18 0 1 2 3 8 , 18 0 0 9 ⟶ 18 0 1 2 3 10 , 18 0 0 11 ⟶ 18 0 1 2 3 12 , 18 0 0 13 ⟶ 18 0 1 2 3 14 , 0 7 19 4 ⟶ 9 20 15 3 4 , 0 7 19 5 ⟶ 9 20 15 3 5 , 0 7 19 6 ⟶ 9 20 15 3 6 , 0 7 19 8 ⟶ 9 20 15 3 8 , 0 7 19 10 ⟶ 9 20 15 3 10 , 0 7 19 12 ⟶ 9 20 15 3 12 , 0 7 19 14 ⟶ 9 20 15 3 14 , 2 7 19 4 ⟶ 21 20 15 3 4 , 2 7 19 5 ⟶ 21 20 15 3 5 , 2 7 19 6 ⟶ 21 20 15 3 6 , 2 7 19 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26 28 27 8 , 28 39 21 30 27 10 ⟶ 28 39 21 26 28 27 10 , 28 39 21 30 27 12 ⟶ 28 39 21 26 28 27 12 , 28 39 21 30 27 14 ⟶ 28 39 21 26 28 27 14 , 12 39 21 30 27 4 ⟶ 12 39 21 26 28 27 4 , 12 39 21 30 27 5 ⟶ 12 39 21 26 28 27 5 , 12 39 21 30 27 6 ⟶ 12 39 21 26 28 27 6 , 12 39 21 30 27 8 ⟶ 12 39 21 26 28 27 8 , 12 39 21 30 27 10 ⟶ 12 39 21 26 28 27 10 , 12 39 21 30 27 12 ⟶ 12 39 21 26 28 27 12 , 12 39 21 30 27 14 ⟶ 12 39 21 26 28 27 14 , 29 39 21 30 27 4 ⟶ 29 39 21 26 28 27 4 , 29 39 21 30 27 5 ⟶ 29 39 21 26 28 27 5 , 29 39 21 30 27 6 ⟶ 29 39 21 26 28 27 6 , 29 39 21 30 27 8 ⟶ 29 39 21 26 28 27 8 , 29 39 21 30 27 10 ⟶ 29 39 21 26 28 27 10 , 29 39 21 30 27 12 ⟶ 29 39 21 26 28 27 12 , 29 39 21 30 27 14 ⟶ 29 39 21 26 28 27 14 , 30 39 21 30 27 4 ⟶ 30 39 21 26 28 27 4 , 30 39 21 30 27 5 ⟶ 30 39 21 26 28 27 5 , 30 39 21 30 27 6 ⟶ 30 39 21 26 28 27 6 , 30 39 21 30 27 8 ⟶ 30 39 21 26 28 27 8 , 30 39 21 30 27 10 ⟶ 30 39 21 26 28 27 10 , 30 39 21 30 27 12 ⟶ 30 39 21 26 28 27 12 , 30 39 21 30 27 14 ⟶ 30 39 21 26 28 27 14 , 31 39 21 30 27 4 ⟶ 31 39 21 26 28 27 4 , 31 39 21 30 27 5 ⟶ 31 39 21 26 28 27 5 , 31 39 21 30 27 6 ⟶ 31 39 21 26 28 27 6 , 31 39 21 30 27 8 ⟶ 31 39 21 26 28 27 8 , 31 39 21 30 27 10 ⟶ 31 39 21 26 28 27 10 , 31 39 21 30 27 12 ⟶ 31 39 21 26 28 27 12 , 31 39 21 30 27 14 ⟶ 31 39 21 26 28 27 14 , 42 39 21 30 27 4 ⟶ 42 39 21 26 28 27 4 , 42 39 21 30 27 5 ⟶ 42 39 21 26 28 27 5 , 42 39 21 30 27 6 ⟶ 42 39 21 26 28 27 6 , 42 39 21 30 27 8 ⟶ 42 39 21 26 28 27 8 , 42 39 21 30 27 10 ⟶ 42 39 21 26 28 27 10 , 42 39 21 30 27 12 ⟶ 42 39 21 26 28 27 12 , 42 39 21 30 27 14 ⟶ 42 39 21 26 28 27 14 , 11 31 39 32 19 4 ⟶ 7 29 31 24 26 37 4 , 11 31 39 32 19 5 ⟶ 7 29 31 24 26 37 5 , 11 31 39 32 19 6 ⟶ 7 29 31 24 26 37 6 , 11 31 39 32 19 8 ⟶ 7 29 31 24 26 37 8 , 11 31 39 32 19 10 ⟶ 7 29 31 24 26 37 10 , 11 31 39 32 19 12 ⟶ 7 29 31 24 26 37 12 , 11 31 39 32 19 14 ⟶ 7 29 31 24 26 37 14 , 28 31 39 32 19 4 ⟶ 32 29 31 24 26 37 4 , 28 31 39 32 19 5 ⟶ 32 29 31 24 26 37 5 , 28 31 39 32 19 6 ⟶ 32 29 31 24 26 37 6 , 28 31 39 32 19 8 ⟶ 32 29 31 24 26 37 8 , 28 31 39 32 19 10 ⟶ 32 29 31 24 26 37 10 , 28 31 39 32 19 12 ⟶ 32 29 31 24 26 37 12 , 28 31 39 32 19 14 ⟶ 32 29 31 24 26 37 14 , 12 31 39 32 19 4 ⟶ 8 29 31 24 26 37 4 , 12 31 39 32 19 5 ⟶ 8 29 31 24 26 37 5 , 12 31 39 32 19 6 ⟶ 8 29 31 24 26 37 6 , 12 31 39 32 19 8 ⟶ 8 29 31 24 26 37 8 , 12 31 39 32 19 10 ⟶ 8 29 31 24 26 37 10 , 12 31 39 32 19 12 ⟶ 8 29 31 24 26 37 12 , 12 31 39 32 19 14 ⟶ 8 29 31 24 26 37 14 , 29 31 39 32 19 4 ⟶ 35 29 31 24 26 37 4 , 29 31 39 32 19 5 ⟶ 35 29 31 24 26 37 5 , 29 31 39 32 19 6 ⟶ 35 29 31 24 26 37 6 , 29 31 39 32 19 8 ⟶ 35 29 31 24 26 37 8 , 29 31 39 32 19 10 ⟶ 35 29 31 24 26 37 10 , 29 31 39 32 19 12 ⟶ 35 29 31 24 26 37 12 , 29 31 39 32 19 14 ⟶ 35 29 31 24 26 37 14 , 30 31 39 32 19 4 ⟶ 20 29 31 24 26 37 4 , 30 31 39 32 19 5 ⟶ 20 29 31 24 26 37 5 , 30 31 39 32 19 6 ⟶ 20 29 31 24 26 37 6 , 30 31 39 32 19 8 ⟶ 20 29 31 24 26 37 8 , 30 31 39 32 19 10 ⟶ 20 29 31 24 26 37 10 , 30 31 39 32 19 12 ⟶ 20 29 31 24 26 37 12 , 30 31 39 32 19 14 ⟶ 20 29 31 24 26 37 14 , 31 31 39 32 19 4 ⟶ 36 29 31 24 26 37 4 , 31 31 39 32 19 5 ⟶ 36 29 31 24 26 37 5 , 31 31 39 32 19 6 ⟶ 36 29 31 24 26 37 6 , 31 31 39 32 19 8 ⟶ 36 29 31 24 26 37 8 , 31 31 39 32 19 10 ⟶ 36 29 31 24 26 37 10 , 31 31 39 32 19 12 ⟶ 36 29 31 24 26 37 12 , 31 31 39 32 19 14 ⟶ 36 29 31 24 26 37 14 , 42 31 39 32 19 4 ⟶ 43 29 31 24 26 37 4 , 42 31 39 32 19 5 ⟶ 43 29 31 24 26 37 5 , 42 31 39 32 19 6 ⟶ 43 29 31 24 26 37 6 , 42 31 39 32 19 8 ⟶ 43 29 31 24 26 37 8 , 42 31 39 32 19 10 ⟶ 43 29 31 24 26 37 10 , 42 31 39 32 19 12 ⟶ 43 29 31 24 26 37 12 , 42 31 39 32 19 14 ⟶ 43 29 31 24 26 37 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36, 37 ↦ 37, 38 ↦ 38, 39 ↦ 39, 40 ↦ 40, 41 ↦ 41, 42 ↦ 42, 44 ↦ 43 }, it remains to prove termination of the 2156-rule system { 0 0 0 0 ⟶ 0 0 1 2 3 4 , 0 0 0 1 ⟶ 0 0 1 2 3 5 , 0 0 0 3 ⟶ 0 0 1 2 3 6 , 0 0 0 7 ⟶ 0 0 1 2 3 8 , 0 0 0 9 ⟶ 0 0 1 2 3 10 , 0 0 0 11 ⟶ 0 0 1 2 3 12 , 0 0 0 13 ⟶ 0 0 1 2 3 14 , 2 0 0 0 ⟶ 2 0 1 2 3 4 , 2 0 0 1 ⟶ 2 0 1 2 3 5 , 2 0 0 3 ⟶ 2 0 1 2 3 6 , 2 0 0 7 ⟶ 2 0 1 2 3 8 , 2 0 0 9 ⟶ 2 0 1 2 3 10 , 2 0 0 11 ⟶ 2 0 1 2 3 12 , 2 0 0 13 ⟶ 2 0 1 2 3 14 , 4 0 0 0 ⟶ 4 0 1 2 3 4 , 4 0 0 1 ⟶ 4 0 1 2 3 5 , 4 0 0 3 ⟶ 4 0 1 2 3 6 , 4 0 0 7 ⟶ 4 0 1 2 3 8 , 4 0 0 9 ⟶ 4 0 1 2 3 10 , 4 0 0 11 ⟶ 4 0 1 2 3 12 , 4 0 0 13 ⟶ 4 0 1 2 3 14 , 15 0 0 0 ⟶ 15 0 1 2 3 4 , 15 0 0 1 ⟶ 15 0 1 2 3 5 , 15 0 0 3 ⟶ 15 0 1 2 3 6 , 15 0 0 7 ⟶ 15 0 1 2 3 8 , 15 0 0 9 ⟶ 15 0 1 2 3 10 , 15 0 0 11 ⟶ 15 0 1 2 3 12 , 15 0 0 13 ⟶ 15 0 1 2 3 14 , 16 0 0 0 ⟶ 16 0 1 2 3 4 , 16 0 0 1 ⟶ 16 0 1 2 3 5 , 16 0 0 3 ⟶ 16 0 1 2 3 6 , 16 0 0 7 ⟶ 16 0 1 2 3 8 , 16 0 0 9 ⟶ 16 0 1 2 3 10 , 16 0 0 11 ⟶ 16 0 1 2 3 12 , 16 0 0 13 ⟶ 16 0 1 2 3 14 , 17 0 0 0 ⟶ 17 0 1 2 3 4 , 17 0 0 1 ⟶ 17 0 1 2 3 5 , 17 0 0 3 ⟶ 17 0 1 2 3 6 , 17 0 0 7 ⟶ 17 0 1 2 3 8 , 17 0 0 9 ⟶ 17 0 1 2 3 10 , 17 0 0 11 ⟶ 17 0 1 2 3 12 , 17 0 0 13 ⟶ 17 0 1 2 3 14 , 18 0 0 0 ⟶ 18 0 1 2 3 4 , 18 0 0 1 ⟶ 18 0 1 2 3 5 , 18 0 0 3 ⟶ 18 0 1 2 3 6 , 18 0 0 7 ⟶ 18 0 1 2 3 8 , 18 0 0 9 ⟶ 18 0 1 2 3 10 , 18 0 0 11 ⟶ 18 0 1 2 3 12 , 18 0 0 13 ⟶ 18 0 1 2 3 14 , 0 7 19 4 ⟶ 9 20 15 3 4 , 0 7 19 5 ⟶ 9 20 15 3 5 , 0 7 19 6 ⟶ 9 20 15 3 6 , 0 7 19 8 ⟶ 9 20 15 3 8 , 0 7 19 10 ⟶ 9 20 15 3 10 , 0 7 19 12 ⟶ 9 20 15 3 12 , 0 7 19 14 ⟶ 9 20 15 3 14 , 2 7 19 4 ⟶ 21 20 15 3 4 , 2 7 19 5 ⟶ 21 20 15 3 5 , 2 7 19 6 ⟶ 21 20 15 3 6 , 2 7 19 8 ⟶ 21 20 15 3 8 , 2 7 19 10 ⟶ 21 20 15 3 10 , 2 7 19 12 ⟶ 21 20 15 3 12 , 2 7 19 14 ⟶ 21 20 15 3 14 , 4 7 19 4 ⟶ 10 20 15 3 4 , 4 7 19 5 ⟶ 10 20 15 3 5 , 4 7 19 6 ⟶ 10 20 15 3 6 , 4 7 19 8 ⟶ 10 20 15 3 8 , 4 7 19 10 ⟶ 10 20 15 3 10 , 4 7 19 12 ⟶ 10 20 15 3 12 , 4 7 19 14 ⟶ 10 20 15 3 14 , 15 7 19 4 ⟶ 22 20 15 3 4 , 15 7 19 5 ⟶ 22 20 15 3 5 , 15 7 19 6 ⟶ 22 20 15 3 6 , 15 7 19 8 ⟶ 22 20 15 3 8 , 15 7 19 10 ⟶ 22 20 15 3 10 , 15 7 19 12 ⟶ 22 20 15 3 12 , 15 7 19 14 ⟶ 22 20 15 3 14 , 16 7 19 4 ⟶ 23 20 15 3 4 , 16 7 19 5 ⟶ 23 20 15 3 5 , 16 7 19 6 ⟶ 23 20 15 3 6 , 16 7 19 8 ⟶ 23 20 15 3 8 , 16 7 19 10 ⟶ 23 20 15 3 10 , 16 7 19 12 ⟶ 23 20 15 3 12 , 16 7 19 14 ⟶ 23 20 15 3 14 , 17 7 19 4 ⟶ 24 20 15 3 4 , 17 7 19 5 ⟶ 24 20 15 3 5 , 17 7 19 6 ⟶ 24 20 15 3 6 , 17 7 19 8 ⟶ 24 20 15 3 8 , 17 7 19 10 ⟶ 24 20 15 3 10 , 17 7 19 12 ⟶ 24 20 15 3 12 , 17 7 19 14 ⟶ 24 20 15 3 14 , 0 0 9 25 4 ⟶ 0 9 26 2 3 4 , 0 0 9 25 5 ⟶ 0 9 26 2 3 5 , 0 0 9 25 6 ⟶ 0 9 26 2 3 6 , 0 0 9 25 8 ⟶ 0 9 26 2 3 8 , 0 0 9 25 10 ⟶ 0 9 26 2 3 10 , 0 0 9 25 12 ⟶ 0 9 26 2 3 12 , 0 0 9 25 14 ⟶ 0 9 26 2 3 14 , 2 0 9 25 4 ⟶ 2 9 26 2 3 4 , 2 0 9 25 5 ⟶ 2 9 26 2 3 5 , 2 0 9 25 6 ⟶ 2 9 26 2 3 6 , 2 0 9 25 8 ⟶ 2 9 26 2 3 8 , 2 0 9 25 10 ⟶ 2 9 26 2 3 10 , 2 0 9 25 12 ⟶ 2 9 26 2 3 12 , 2 0 9 25 14 ⟶ 2 9 26 2 3 14 , 4 0 9 25 4 ⟶ 4 9 26 2 3 4 , 4 0 9 25 5 ⟶ 4 9 26 2 3 5 , 4 0 9 25 6 ⟶ 4 9 26 2 3 6 , 4 0 9 25 8 ⟶ 4 9 26 2 3 8 , 4 0 9 25 10 ⟶ 4 9 26 2 3 10 , 4 0 9 25 12 ⟶ 4 9 26 2 3 12 , 4 0 9 25 14 ⟶ 4 9 26 2 3 14 , 15 0 9 25 4 ⟶ 15 9 26 2 3 4 , 15 0 9 25 5 ⟶ 15 9 26 2 3 5 , 15 0 9 25 6 ⟶ 15 9 26 2 3 6 , 15 0 9 25 8 ⟶ 15 9 26 2 3 8 , 15 0 9 25 10 ⟶ 15 9 26 2 3 10 , 15 0 9 25 12 ⟶ 15 9 26 2 3 12 , 15 0 9 25 14 ⟶ 15 9 26 2 3 14 , 16 0 9 25 4 ⟶ 16 9 26 2 3 4 , 16 0 9 25 5 ⟶ 16 9 26 2 3 5 , 16 0 9 25 6 ⟶ 16 9 26 2 3 6 , 16 0 9 25 8 ⟶ 16 9 26 2 3 8 , 16 0 9 25 10 ⟶ 16 9 26 2 3 10 , 16 0 9 25 12 ⟶ 16 9 26 2 3 12 , 16 0 9 25 14 ⟶ 16 9 26 2 3 14 , 17 0 9 25 4 ⟶ 17 9 26 2 3 4 , 17 0 9 25 5 ⟶ 17 9 26 2 3 5 , 17 0 9 25 6 ⟶ 17 9 26 2 3 6 , 17 0 9 25 8 ⟶ 17 9 26 2 3 8 , 17 0 9 25 10 ⟶ 17 9 26 2 3 10 , 17 0 9 25 12 ⟶ 17 9 26 2 3 12 , 17 0 9 25 14 ⟶ 17 9 26 2 3 14 , 18 0 9 25 4 ⟶ 18 9 26 2 3 4 , 18 0 9 25 5 ⟶ 18 9 26 2 3 5 , 18 0 9 25 6 ⟶ 18 9 26 2 3 6 , 18 0 9 25 8 ⟶ 18 9 26 2 3 8 , 18 0 9 25 10 ⟶ 18 9 26 2 3 10 , 18 0 9 25 12 ⟶ 18 9 26 2 3 12 , 18 0 9 25 14 ⟶ 18 9 26 2 3 14 , 0 0 11 27 4 ⟶ 11 17 3 8 15 0 , 0 0 11 27 5 ⟶ 11 17 3 8 15 1 , 0 0 11 27 6 ⟶ 11 17 3 8 15 3 , 0 0 11 27 8 ⟶ 11 17 3 8 15 7 , 0 0 11 27 10 ⟶ 11 17 3 8 15 9 , 0 0 11 27 12 ⟶ 11 17 3 8 15 11 , 0 0 11 27 14 ⟶ 11 17 3 8 15 13 , 2 0 11 27 4 ⟶ 28 17 3 8 15 0 , 2 0 11 27 5 ⟶ 28 17 3 8 15 1 , 2 0 11 27 6 ⟶ 28 17 3 8 15 3 , 2 0 11 27 8 ⟶ 28 17 3 8 15 7 , 2 0 11 27 10 ⟶ 28 17 3 8 15 9 , 2 0 11 27 12 ⟶ 28 17 3 8 15 11 , 2 0 11 27 14 ⟶ 28 17 3 8 15 13 , 4 0 11 27 4 ⟶ 12 17 3 8 15 0 , 4 0 11 27 5 ⟶ 12 17 3 8 15 1 , 4 0 11 27 6 ⟶ 12 17 3 8 15 3 , 4 0 11 27 8 ⟶ 12 17 3 8 15 7 , 4 0 11 27 10 ⟶ 12 17 3 8 15 9 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12 31 39 32 19 8 ⟶ 8 29 31 24 26 37 8 , 12 31 39 32 19 10 ⟶ 8 29 31 24 26 37 10 , 12 31 39 32 19 12 ⟶ 8 29 31 24 26 37 12 , 12 31 39 32 19 14 ⟶ 8 29 31 24 26 37 14 , 29 31 39 32 19 4 ⟶ 35 29 31 24 26 37 4 , 29 31 39 32 19 5 ⟶ 35 29 31 24 26 37 5 , 29 31 39 32 19 6 ⟶ 35 29 31 24 26 37 6 , 29 31 39 32 19 8 ⟶ 35 29 31 24 26 37 8 , 29 31 39 32 19 10 ⟶ 35 29 31 24 26 37 10 , 29 31 39 32 19 12 ⟶ 35 29 31 24 26 37 12 , 29 31 39 32 19 14 ⟶ 35 29 31 24 26 37 14 , 30 31 39 32 19 4 ⟶ 20 29 31 24 26 37 4 , 30 31 39 32 19 5 ⟶ 20 29 31 24 26 37 5 , 30 31 39 32 19 6 ⟶ 20 29 31 24 26 37 6 , 30 31 39 32 19 8 ⟶ 20 29 31 24 26 37 8 , 30 31 39 32 19 10 ⟶ 20 29 31 24 26 37 10 , 30 31 39 32 19 12 ⟶ 20 29 31 24 26 37 12 , 30 31 39 32 19 14 ⟶ 20 29 31 24 26 37 14 , 31 31 39 32 19 4 ⟶ 36 29 31 24 26 37 4 , 31 31 39 32 19 5 ⟶ 36 29 31 24 26 37 5 , 31 31 39 32 19 6 ⟶ 36 29 31 24 26 37 6 , 31 31 39 32 19 8 ⟶ 36 29 31 24 26 37 8 , 31 31 39 32 19 10 ⟶ 36 29 31 24 26 37 10 , 31 31 39 32 19 12 ⟶ 36 29 31 24 26 37 12 , 31 31 39 32 19 14 ⟶ 36 29 31 24 26 37 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 39 ↦ 1, 32 ↦ 2, 15 ↦ 3, 3 ↦ 4, 17 ↦ 5, 5 ↦ 6, 19 ↦ 7, 28 ↦ 8, 12 ↦ 9, 29 ↦ 10, 30 ↦ 11, 31 ↦ 12, 42 ↦ 13, 4 ↦ 14, 1 ↦ 15, 37 ↦ 16, 6 ↦ 17, 8 ↦ 18, 10 ↦ 19, 14 ↦ 20, 2 ↦ 21, 27 ↦ 22, 16 ↦ 23, 7 ↦ 24, 22 ↦ 25, 23 ↦ 26, 25 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 29-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 14 ⟶ 2 3 15 8 1 16 14 , 8 1 2 7 6 ⟶ 2 3 15 8 1 16 6 , 8 1 2 7 17 ⟶ 2 3 15 8 1 16 17 , 8 1 2 7 18 ⟶ 2 3 15 8 1 16 18 , 8 1 2 7 19 ⟶ 2 3 15 8 1 16 19 , 8 1 2 7 9 ⟶ 2 3 15 8 1 16 9 , 8 1 2 7 20 ⟶ 2 3 15 8 1 16 20 , 5 15 21 0 22 9 ⟶ 1 21 4 9 1 21 0 , 23 24 25 26 27 14 ⟶ 26 23 24 25 27 17 14 , 23 24 25 26 27 6 ⟶ 26 23 24 25 27 17 6 , 23 24 25 26 27 17 ⟶ 26 23 24 25 27 17 17 , 23 24 25 26 27 18 ⟶ 26 23 24 25 27 17 18 , 23 24 25 26 27 19 ⟶ 26 23 24 25 27 17 19 , 23 24 25 26 27 9 ⟶ 26 23 24 25 27 17 9 , 23 24 25 26 27 20 ⟶ 26 23 24 25 27 17 20 , 8 1 2 3 4 14 ⟶ 2 3 4 6 8 22 14 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 22 6 , 8 1 2 3 4 17 ⟶ 2 3 4 6 8 22 17 , 8 1 2 3 4 18 ⟶ 2 3 4 6 8 22 18 , 8 1 2 3 4 19 ⟶ 2 3 4 6 8 22 19 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 22 9 , 8 1 2 3 4 20 ⟶ 2 3 4 6 8 22 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 14 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 28-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 6 ⟶ 2 3 14 8 1 15 6 , 8 1 2 7 16 ⟶ 2 3 14 8 1 15 16 , 8 1 2 7 17 ⟶ 2 3 14 8 1 15 17 , 8 1 2 7 18 ⟶ 2 3 14 8 1 15 18 , 8 1 2 7 9 ⟶ 2 3 14 8 1 15 9 , 8 1 2 7 19 ⟶ 2 3 14 8 1 15 19 , 5 14 20 0 21 9 ⟶ 1 20 4 9 1 20 0 , 22 23 24 25 26 27 ⟶ 25 22 23 24 26 16 27 , 22 23 24 25 26 6 ⟶ 25 22 23 24 26 16 6 , 22 23 24 25 26 16 ⟶ 25 22 23 24 26 16 16 , 22 23 24 25 26 17 ⟶ 25 22 23 24 26 16 17 , 22 23 24 25 26 18 ⟶ 25 22 23 24 26 16 18 , 22 23 24 25 26 9 ⟶ 25 22 23 24 26 16 9 , 22 23 24 25 26 19 ⟶ 25 22 23 24 26 16 19 , 8 1 2 3 4 27 ⟶ 2 3 4 6 8 21 27 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 21 6 , 8 1 2 3 4 16 ⟶ 2 3 4 6 8 21 16 , 8 1 2 3 4 17 ⟶ 2 3 4 6 8 21 17 , 8 1 2 3 4 18 ⟶ 2 3 4 6 8 21 18 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 21 9 , 8 1 2 3 4 19 ⟶ 2 3 4 6 8 21 19 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 16 ↦ 14, 14 ↦ 15, 15 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 27-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 14 ⟶ 2 3 15 8 1 16 14 , 8 1 2 7 17 ⟶ 2 3 15 8 1 16 17 , 8 1 2 7 18 ⟶ 2 3 15 8 1 16 18 , 8 1 2 7 9 ⟶ 2 3 15 8 1 16 9 , 8 1 2 7 19 ⟶ 2 3 15 8 1 16 19 , 5 15 20 0 21 9 ⟶ 1 20 4 9 1 20 0 , 22 23 24 25 26 27 ⟶ 25 22 23 24 26 14 27 , 22 23 24 25 26 6 ⟶ 25 22 23 24 26 14 6 , 22 23 24 25 26 14 ⟶ 25 22 23 24 26 14 14 , 22 23 24 25 26 17 ⟶ 25 22 23 24 26 14 17 , 22 23 24 25 26 18 ⟶ 25 22 23 24 26 14 18 , 22 23 24 25 26 9 ⟶ 25 22 23 24 26 14 9 , 22 23 24 25 26 19 ⟶ 25 22 23 24 26 14 19 , 8 1 2 3 4 27 ⟶ 2 3 4 6 8 21 27 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 21 6 , 8 1 2 3 4 14 ⟶ 2 3 4 6 8 21 14 , 8 1 2 3 4 17 ⟶ 2 3 4 6 8 21 17 , 8 1 2 3 4 18 ⟶ 2 3 4 6 8 21 18 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 21 9 , 8 1 2 3 4 19 ⟶ 2 3 4 6 8 21 19 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 17 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 14 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 26-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 14 ⟶ 2 3 15 8 1 16 14 , 8 1 2 7 17 ⟶ 2 3 15 8 1 16 17 , 8 1 2 7 9 ⟶ 2 3 15 8 1 16 9 , 8 1 2 7 18 ⟶ 2 3 15 8 1 16 18 , 5 15 19 0 20 9 ⟶ 1 19 4 9 1 19 0 , 21 22 23 24 25 26 ⟶ 24 21 22 23 25 27 26 , 21 22 23 24 25 6 ⟶ 24 21 22 23 25 27 6 , 21 22 23 24 25 27 ⟶ 24 21 22 23 25 27 27 , 21 22 23 24 25 14 ⟶ 24 21 22 23 25 27 14 , 21 22 23 24 25 17 ⟶ 24 21 22 23 25 27 17 , 21 22 23 24 25 9 ⟶ 24 21 22 23 25 27 9 , 21 22 23 24 25 18 ⟶ 24 21 22 23 25 27 18 , 8 1 2 3 4 26 ⟶ 2 3 4 6 8 20 26 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 20 6 , 8 1 2 3 4 27 ⟶ 2 3 4 6 8 20 27 , 8 1 2 3 4 14 ⟶ 2 3 4 6 8 20 14 , 8 1 2 3 4 17 ⟶ 2 3 4 6 8 20 17 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 20 9 , 8 1 2 3 4 18 ⟶ 2 3 4 6 8 20 18 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 17 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 14 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 25-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 14 ⟶ 2 3 15 8 1 16 14 , 8 1 2 7 9 ⟶ 2 3 15 8 1 16 9 , 8 1 2 7 17 ⟶ 2 3 15 8 1 16 17 , 5 15 18 0 19 9 ⟶ 1 18 4 9 1 18 0 , 20 21 22 23 24 25 ⟶ 23 20 21 22 24 26 25 , 20 21 22 23 24 6 ⟶ 23 20 21 22 24 26 6 , 20 21 22 23 24 26 ⟶ 23 20 21 22 24 26 26 , 20 21 22 23 24 27 ⟶ 23 20 21 22 24 26 27 , 20 21 22 23 24 14 ⟶ 23 20 21 22 24 26 14 , 20 21 22 23 24 9 ⟶ 23 20 21 22 24 26 9 , 20 21 22 23 24 17 ⟶ 23 20 21 22 24 26 17 , 8 1 2 3 4 25 ⟶ 2 3 4 6 8 19 25 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 19 6 , 8 1 2 3 4 26 ⟶ 2 3 4 6 8 19 26 , 8 1 2 3 4 27 ⟶ 2 3 4 6 8 19 27 , 8 1 2 3 4 14 ⟶ 2 3 4 6 8 19 14 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 19 9 , 8 1 2 3 4 17 ⟶ 2 3 4 6 8 19 17 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 22 ↦ 21, 23 ↦ 22, 24 ↦ 23, 25 ↦ 24, 26 ↦ 25, 27 ↦ 26, 14 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 24-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 9 ⟶ 2 3 14 8 1 15 9 , 8 1 2 7 16 ⟶ 2 3 14 8 1 15 16 , 5 14 17 0 18 9 ⟶ 1 17 4 9 1 17 0 , 19 20 21 22 23 24 ⟶ 22 19 20 21 23 25 24 , 19 20 21 22 23 6 ⟶ 22 19 20 21 23 25 6 , 19 20 21 22 23 25 ⟶ 22 19 20 21 23 25 25 , 19 20 21 22 23 26 ⟶ 22 19 20 21 23 25 26 , 19 20 21 22 23 27 ⟶ 22 19 20 21 23 25 27 , 19 20 21 22 23 9 ⟶ 22 19 20 21 23 25 9 , 19 20 21 22 23 16 ⟶ 22 19 20 21 23 25 16 , 8 1 2 3 4 24 ⟶ 2 3 4 6 8 18 24 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 18 6 , 8 1 2 3 4 25 ⟶ 2 3 4 6 8 18 25 , 8 1 2 3 4 26 ⟶ 2 3 4 6 8 18 26 , 8 1 2 3 4 27 ⟶ 2 3 4 6 8 18 27 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 18 9 , 8 1 2 3 4 16 ⟶ 2 3 4 6 8 18 16 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 16 ↦ 14, 14 ↦ 15, 15 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27 }, it remains to prove termination of the 23-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 8 1 2 7 14 ⟶ 2 3 15 8 1 16 14 , 5 15 17 0 18 9 ⟶ 1 17 4 9 1 17 0 , 19 20 21 22 23 24 ⟶ 22 19 20 21 23 25 24 , 19 20 21 22 23 6 ⟶ 22 19 20 21 23 25 6 , 19 20 21 22 23 25 ⟶ 22 19 20 21 23 25 25 , 19 20 21 22 23 26 ⟶ 22 19 20 21 23 25 26 , 19 20 21 22 23 27 ⟶ 22 19 20 21 23 25 27 , 19 20 21 22 23 9 ⟶ 22 19 20 21 23 25 9 , 19 20 21 22 23 14 ⟶ 22 19 20 21 23 25 14 , 8 1 2 3 4 24 ⟶ 2 3 4 6 8 18 24 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 18 6 , 8 1 2 3 4 25 ⟶ 2 3 4 6 8 18 25 , 8 1 2 3 4 26 ⟶ 2 3 4 6 8 18 26 , 8 1 2 3 4 27 ⟶ 2 3 4 6 8 18 27 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 18 9 , 8 1 2 3 4 14 ⟶ 2 3 4 6 8 18 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 15 ↦ 14, 17 ↦ 15, 18 ↦ 16, 19 ↦ 17, 20 ↦ 18, 21 ↦ 19, 22 ↦ 20, 23 ↦ 21, 24 ↦ 22, 25 ↦ 23, 26 ↦ 24, 27 ↦ 25, 14 ↦ 26 }, it remains to prove termination of the 22-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 5 4 6 2 7 , 8 1 2 3 4 ⟶ 8 5 4 6 2 7 , 9 1 2 3 4 ⟶ 9 5 4 6 2 7 , 10 1 2 3 4 ⟶ 10 5 4 6 2 7 , 11 1 2 3 4 ⟶ 11 5 4 6 2 7 , 12 1 2 3 4 ⟶ 12 5 4 6 2 7 , 13 1 2 3 4 ⟶ 13 5 4 6 2 7 , 5 14 15 0 16 9 ⟶ 1 15 4 9 1 15 0 , 17 18 19 20 21 22 ⟶ 20 17 18 19 21 23 22 , 17 18 19 20 21 6 ⟶ 20 17 18 19 21 23 6 , 17 18 19 20 21 23 ⟶ 20 17 18 19 21 23 23 , 17 18 19 20 21 24 ⟶ 20 17 18 19 21 23 24 , 17 18 19 20 21 25 ⟶ 20 17 18 19 21 23 25 , 17 18 19 20 21 9 ⟶ 20 17 18 19 21 23 9 , 17 18 19 20 21 26 ⟶ 20 17 18 19 21 23 26 , 8 1 2 3 4 22 ⟶ 2 3 4 6 8 16 22 , 8 1 2 3 4 6 ⟶ 2 3 4 6 8 16 6 , 8 1 2 3 4 23 ⟶ 2 3 4 6 8 16 23 , 8 1 2 3 4 24 ⟶ 2 3 4 6 8 16 24 , 8 1 2 3 4 25 ⟶ 2 3 4 6 8 16 25 , 8 1 2 3 4 9 ⟶ 2 3 4 6 8 16 9 , 8 1 2 3 4 26 ⟶ 2 3 4 6 8 16 26 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 17 ↦ 0, 18 ↦ 1, 19 ↦ 2, 20 ↦ 3, 21 ↦ 4, 22 ↦ 5, 23 ↦ 6, 6 ↦ 7, 24 ↦ 8, 25 ↦ 9, 9 ↦ 10, 26 ↦ 11, 8 ↦ 12, 1 ↦ 13, 2 ↦ 14, 3 ↦ 15, 4 ↦ 16, 16 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 14-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 6 7 , 0 1 2 3 4 6 ⟶ 3 0 1 2 4 6 6 , 0 1 2 3 4 8 ⟶ 3 0 1 2 4 6 8 , 0 1 2 3 4 9 ⟶ 3 0 1 2 4 6 9 , 0 1 2 3 4 10 ⟶ 3 0 1 2 4 6 10 , 0 1 2 3 4 11 ⟶ 3 0 1 2 4 6 11 , 12 13 14 15 16 5 ⟶ 14 15 16 7 12 17 5 , 12 13 14 15 16 7 ⟶ 14 15 16 7 12 17 7 , 12 13 14 15 16 6 ⟶ 14 15 16 7 12 17 6 , 12 13 14 15 16 8 ⟶ 14 15 16 7 12 17 8 , 12 13 14 15 16 9 ⟶ 14 15 16 7 12 17 9 , 12 13 14 15 16 10 ⟶ 14 15 16 7 12 17 10 , 12 13 14 15 16 11 ⟶ 14 15 16 7 12 17 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11 }, it remains to prove termination of the 7-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 6 7 , 0 1 2 3 4 6 ⟶ 3 0 1 2 4 6 6 , 0 1 2 3 4 8 ⟶ 3 0 1 2 4 6 8 , 0 1 2 3 4 9 ⟶ 3 0 1 2 4 6 9 , 0 1 2 3 4 10 ⟶ 3 0 1 2 4 6 10 , 0 1 2 3 4 11 ⟶ 3 0 1 2 4 6 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 7 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10 }, it remains to prove termination of the 6-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 , 0 1 2 3 4 6 ⟶ 3 0 1 2 4 6 6 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 6 7 , 0 1 2 3 4 8 ⟶ 3 0 1 2 4 6 8 , 0 1 2 3 4 9 ⟶ 3 0 1 2 4 6 9 , 0 1 2 3 4 10 ⟶ 3 0 1 2 4 6 10 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9 }, it remains to prove termination of the 5-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 5 5 , 0 1 2 3 4 6 ⟶ 3 0 1 2 4 5 6 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 5 7 , 0 1 2 3 4 8 ⟶ 3 0 1 2 4 5 8 , 0 1 2 3 4 9 ⟶ 3 0 1 2 4 5 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 6 ↦ 5, 5 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9 }, it remains to prove termination of the 4-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 6 7 , 0 1 2 3 4 8 ⟶ 3 0 1 2 4 6 8 , 0 1 2 3 4 9 ⟶ 3 0 1 2 4 6 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 7 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8 }, it remains to prove termination of the 3-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 6 7 , 0 1 2 3 4 8 ⟶ 3 0 1 2 4 6 8 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 7 ↦ 5, 6 ↦ 6, 8 ↦ 7 }, it remains to prove termination of the 2-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 , 0 1 2 3 4 7 ⟶ 3 0 1 2 4 6 7 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 7 ↦ 5, 6 ↦ 6 }, it remains to prove termination of the 1-rule system { 0 1 2 3 4 5 ⟶ 3 0 1 2 4 6 5 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.