/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 3 ↦ 0, 5 ↦ 1, 1 ↦ 2, 0 ↦ 3, 4 ↦ 4, 2 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 51-rule system { 0 1 0 ⟶ 2 3 0 4 4 0 2 4 1 4 , 1 3 3 ⟶ 1 3 0 5 2 5 0 4 3 3 , 3 2 3 4 ⟶ 4 5 2 5 0 4 4 0 3 4 , 4 1 3 4 ⟶ 4 3 4 3 4 3 0 4 4 4 , 1 1 1 1 ⟶ 1 5 3 3 0 5 2 4 4 0 , 1 1 1 1 ⟶ 1 4 3 3 2 2 2 4 0 1 , 2 1 0 2 0 ⟶ 2 0 4 4 5 3 5 0 2 5 , 5 0 1 1 3 ⟶ 4 3 2 4 5 2 5 3 2 3 , 5 1 1 1 1 ⟶ 5 3 1 2 5 3 0 5 2 1 , 4 2 3 3 3 ⟶ 4 2 4 2 3 1 2 5 4 5 , 4 2 1 1 0 ⟶ 5 2 5 0 3 0 5 1 2 5 , 4 0 2 1 1 ⟶ 4 3 0 2 5 0 5 2 2 1 , 1 3 5 4 5 ⟶ 1 5 2 5 0 3 3 0 4 5 , 1 0 2 1 2 ⟶ 0 5 2 2 3 0 3 2 1 2 , 1 1 0 3 5 ⟶ 0 5 0 4 1 5 2 5 3 3 , 1 1 1 1 4 ⟶ 0 4 1 4 3 3 4 3 0 4 , 3 2 1 2 3 4 ⟶ 0 5 3 4 3 2 4 0 3 4 , 3 2 1 2 1 3 ⟶ 4 4 4 5 1 1 3 2 4 3 , 3 2 1 0 3 2 ⟶ 4 4 1 2 2 2 4 3 0 2 , 3 0 2 0 3 1 ⟶ 4 4 0 0 4 4 3 1 5 0 , 2 1 1 1 1 0 ⟶ 2 5 1 2 4 3 3 5 1 4 , 5 3 1 0 4 2 ⟶ 5 0 4 3 0 0 3 2 5 2 , 5 4 3 2 0 1 ⟶ 5 0 5 3 5 3 0 2 4 0 , 5 1 4 1 1 1 ⟶ 5 4 5 2 5 4 4 4 3 1 , 0 1 0 2 1 1 ⟶ 0 5 4 4 2 2 4 3 5 4 , 4 2 0 2 1 3 ⟶ 3 5 5 5 2 2 5 0 2 4 , 4 0 1 3 4 5 ⟶ 4 0 4 0 4 2 0 2 4 5 , 1 3 1 3 4 5 ⟶ 1 4 4 4 4 3 4 4 0 3 , 1 1 2 1 0 3 ⟶ 5 5 3 2 4 0 3 0 0 4 , 1 1 0 5 0 1 ⟶ 2 4 5 4 2 5 5 4 2 1 , 1 1 1 2 0 2 ⟶ 1 2 5 4 4 4 2 0 0 4 , 2 3 4 1 0 1 3 ⟶ 2 3 5 2 5 1 5 3 1 5 , 2 1 2 0 1 1 1 ⟶ 1 2 5 0 3 5 5 3 1 1 , 0 3 2 1 2 0 3 ⟶ 0 3 3 0 2 5 2 1 4 5 , 0 5 4 2 1 1 2 ⟶ 3 1 3 0 4 2 3 0 1 2 , 0 1 1 1 2 4 2 ⟶ 2 4 4 3 3 2 3 2 0 2 , 4 3 1 1 1 1 4 ⟶ 5 2 4 0 1 4 3 2 1 4 , 4 2 1 3 3 2 0 ⟶ 3 5 2 2 2 2 4 1 2 0 , 4 2 1 3 3 2 1 ⟶ 4 0 3 1 0 1 5 2 4 1 , 4 5 0 1 3 1 3 ⟶ 4 4 4 3 3 2 1 5 0 4 , 4 5 1 1 3 5 5 ⟶ 4 5 2 3 3 2 4 1 2 5 , 4 1 1 0 1 1 0 ⟶ 3 2 4 3 2 0 5 4 2 4 , 4 1 1 1 3 4 0 ⟶ 3 0 0 0 5 3 5 0 5 0 , 1 3 1 1 0 1 4 ⟶ 1 0 1 1 3 2 2 5 0 4 , 1 5 1 1 3 3 0 ⟶ 2 4 4 0 2 3 2 0 3 0 , 1 0 1 1 1 0 3 ⟶ 1 4 0 4 1 5 1 1 1 3 , 1 4 1 0 5 1 0 ⟶ 1 4 0 2 2 4 5 3 0 1 , 1 1 3 1 1 3 2 ⟶ 5 0 4 1 4 5 2 5 1 2 , 1 1 3 1 1 1 0 ⟶ 1 3 4 4 3 2 5 0 0 0 , 1 1 5 1 0 1 3 ⟶ 1 5 3 4 3 0 5 0 0 3 , 1 1 1 0 3 4 5 ⟶ 1 1 5 2 1 4 0 4 4 5 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,3) ↦ 4, (3,0) ↦ 5, (0,4) ↦ 6, (4,4) ↦ 7, (4,0) ↦ 8, (2,4) ↦ 9, (4,1) ↦ 10, (1,4) ↦ 11, (4,2) ↦ 12, (0,3) ↦ 13, (4,3) ↦ 14, (0,5) ↦ 15, (4,5) ↦ 16, (0,7) ↦ 17, (4,7) ↦ 18, (1,2) ↦ 19, (2,0) ↦ 20, (2,2) ↦ 21, (3,2) ↦ 22, (5,0) ↦ 23, (5,2) ↦ 24, (6,0) ↦ 25, (6,2) ↦ 26, (1,3) ↦ 27, (3,3) ↦ 28, (2,5) ↦ 29, (3,1) ↦ 30, (3,4) ↦ 31, (3,5) ↦ 32, (3,7) ↦ 33, (1,1) ↦ 34, (2,1) ↦ 35, (5,1) ↦ 36, (6,1) ↦ 37, (5,3) ↦ 38, (5,4) ↦ 39, (6,3) ↦ 40, (6,4) ↦ 41, (1,5) ↦ 42, (1,7) ↦ 43, (5,5) ↦ 44, (5,7) ↦ 45, (6,5) ↦ 46, (2,7) ↦ 47 }, it remains to prove termination of the 2499-rule system { 0 1 2 0 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 0 1 2 1 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 0 1 2 3 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 0 1 2 13 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 0 1 2 6 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 0 1 2 15 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 0 1 2 17 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 2 1 2 0 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 2 1 2 1 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 2 1 2 3 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 2 1 2 13 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 2 1 2 6 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 2 1 2 15 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 2 1 2 17 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 20 1 2 0 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 20 1 2 1 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 20 1 2 3 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 20 1 2 13 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 20 1 2 6 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 20 1 2 15 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 20 1 2 17 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 5 1 2 0 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 5 1 2 1 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 5 1 2 3 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 5 1 2 13 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 5 1 2 6 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 5 1 2 15 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 5 1 2 17 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 8 1 2 0 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 8 1 2 1 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 8 1 2 3 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 8 1 2 13 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 8 1 2 6 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 8 1 2 15 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 8 1 2 17 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 23 1 2 0 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 23 1 2 1 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 23 1 2 3 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 23 1 2 13 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 23 1 2 6 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 23 1 2 15 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 23 1 2 17 ⟶ 24 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 25 1 2 0 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 25 1 2 1 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 25 1 2 3 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 25 1 2 13 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 25 1 2 6 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 25 1 2 15 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 25 1 2 17 ⟶ 26 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 1 27 28 5 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 5 , 1 27 28 30 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 30 , 1 27 28 22 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 22 , 1 27 28 28 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 28 , 1 27 28 31 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 31 , 1 27 28 32 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 32 , 1 27 28 33 ⟶ 1 27 5 15 24 29 23 6 14 28 33 , 34 27 28 5 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 5 , 34 27 28 30 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 30 , 34 27 28 22 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 22 , 34 27 28 28 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 28 , 34 27 28 31 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 31 , 34 27 28 32 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 32 , 34 27 28 33 ⟶ 34 27 5 15 24 29 23 6 14 28 33 , 35 27 28 5 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 5 , 35 27 28 30 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 30 , 35 27 28 22 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 22 , 35 27 28 28 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 28 , 35 27 28 31 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 31 , 35 27 28 32 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 32 , 35 27 28 33 ⟶ 35 27 5 15 24 29 23 6 14 28 33 , 30 27 28 5 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 5 , 30 27 28 30 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 30 , 30 27 28 22 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 22 , 30 27 28 28 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 28 , 30 27 28 31 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 31 , 30 27 28 32 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 32 , 30 27 28 33 ⟶ 30 27 5 15 24 29 23 6 14 28 33 , 10 27 28 5 ⟶ 10 27 5 15 24 29 23 6 14 28 5 , 10 27 28 30 ⟶ 10 27 5 15 24 29 23 6 14 28 30 , 10 27 28 22 ⟶ 10 27 5 15 24 29 23 6 14 28 22 , 10 27 28 28 ⟶ 10 27 5 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36 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 36 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 36 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 36 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 36 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 36 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 36 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 37 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 37 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 37 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 37 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 37 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 37 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 37 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 47 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23, 24 ↦ 24, 25 ↦ 25, 26 ↦ 26, 27 ↦ 27, 28 ↦ 28, 29 ↦ 29, 30 ↦ 30, 31 ↦ 31, 32 ↦ 32, 33 ↦ 33, 34 ↦ 34, 35 ↦ 35, 36 ↦ 36, 37 ↦ 37, 38 ↦ 38, 39 ↦ 39, 40 ↦ 40, 41 ↦ 41, 42 ↦ 42, 43 ↦ 43, 44 ↦ 44, 45 ↦ 45, 46 ↦ 46, 47 ↦ 47 }, it remains to prove termination of the 2492-rule system { 0 1 2 0 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 0 1 2 1 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 0 1 2 3 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 0 1 2 13 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 0 1 2 6 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 0 1 2 15 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 0 1 2 17 ⟶ 3 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 2 1 2 0 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 2 1 2 1 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 2 1 2 3 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 2 1 2 13 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 2 1 2 6 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 2 1 2 15 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 2 1 2 17 ⟶ 19 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 20 1 2 0 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 20 1 2 1 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 20 1 2 3 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 20 1 2 13 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 20 1 2 6 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 20 1 2 15 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 20 1 2 17 ⟶ 21 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 5 1 2 0 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 5 1 2 1 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 5 1 2 3 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 5 1 2 13 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 14 , 5 1 2 6 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 7 , 5 1 2 15 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 16 , 5 1 2 17 ⟶ 22 4 5 6 7 8 3 9 10 11 18 , 8 1 2 0 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 8 , 8 1 2 1 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 10 , 8 1 2 3 ⟶ 12 4 5 6 7 8 3 9 10 11 12 , 8 1 2 13 ⟶ 12 4 5 6 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34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 1 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 1 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 1 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 1 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 1 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 34 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 34 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 34 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 34 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 34 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 34 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 34 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 34 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 35 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 35 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 35 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 35 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 35 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 35 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 35 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 35 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 30 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 30 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 30 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 30 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 30 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 30 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 30 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 30 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 10 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 10 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 10 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 10 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 10 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 10 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 10 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 10 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 36 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 36 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 36 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 36 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 36 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 36 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 36 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 36 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 , 37 34 34 2 13 31 16 23 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 23 , 37 34 34 2 13 31 16 36 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 36 , 37 34 34 2 13 31 16 24 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 24 , 37 34 34 2 13 31 16 38 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 38 , 37 34 34 2 13 31 16 39 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 39 , 37 34 34 2 13 31 16 44 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 44 , 37 34 34 2 13 31 16 45 ⟶ 37 34 42 24 35 11 8 6 7 16 45 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 47 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 1 ↦ 0, 27 ↦ 1, 28 ↦ 2, 5 ↦ 3, 15 ↦ 4, 24 ↦ 5, 29 ↦ 6, 23 ↦ 7, 6 ↦ 8, 14 ↦ 9, 30 ↦ 10, 22 ↦ 11, 31 ↦ 12, 32 ↦ 13, 33 ↦ 14, 34 ↦ 15, 35 ↦ 16, 10 ↦ 17, 36 ↦ 18, 37 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 49-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 10 1 2 3 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 10 1 2 10 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 10 1 2 11 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 10 1 2 2 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 10 1 2 12 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 10 1 2 13 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 10 1 2 14 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 17 1 2 10 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 18 1 2 10 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 19 1 2 10 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 19 1 2 11 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 19 1 2 12 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 19 1 2 13 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 19 1 2 14 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 48-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 3 1 2 4 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 3 1 2 3 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 3 1 2 11 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 3 1 2 2 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 3 1 2 12 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 3 1 2 13 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 3 1 2 14 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 19 1 2 4 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 19 1 2 11 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 19 1 2 12 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 19 1 2 13 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 19 1 2 14 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 47-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 15 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 19 1 2 4 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 19 1 2 15 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 19 1 2 11 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 19 1 2 12 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 19 1 2 13 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 46-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 14 1 2 14 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 14 1 2 10 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 17 1 2 10 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 18 1 2 10 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 19 1 2 14 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 19 1 2 15 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 19 1 2 10 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 19 1 2 11 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 19 1 2 12 ⟶ 19 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 45-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 14 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 19 1 2 4 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 19 1 2 14 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 19 1 2 15 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 19 1 2 11 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 19 1 2 12 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 44-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 15 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 13 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 19 1 2 4 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 19 1 2 13 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 19 1 2 14 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 19 1 2 15 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 19 1 2 11 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 43-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 11 1 2 4 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 11 1 2 12 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 11 1 2 13 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 11 1 2 2 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 11 1 2 14 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 11 1 2 15 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 11 1 2 3 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 12 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 15 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 19 1 2 4 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 19 1 2 12 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 19 1 2 13 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 19 1 2 2 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 19 1 2 14 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 19 1 2 15 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 19 1 2 3 ⟶ 19 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 12 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 15 ↦ 13, 3 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 42-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 10 1 2 3 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 10 1 2 10 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 10 1 2 11 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 10 1 2 2 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 10 1 2 12 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 10 1 2 13 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 10 1 2 14 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 17 1 2 10 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 18 1 2 10 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 41-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 3 1 2 4 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 3 1 2 3 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 3 1 2 11 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 3 1 2 2 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 3 1 2 12 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 3 1 2 13 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 3 1 2 14 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 40-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 15 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 39-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 14 1 2 14 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 14 1 2 10 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 17 1 2 10 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 18 1 2 10 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 38-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 14 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 37-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 15 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 13 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 11 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 36-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 11 1 2 4 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 11 1 2 12 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 11 1 2 13 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 11 1 2 2 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 11 1 2 14 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 11 1 2 15 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 11 1 2 3 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 12 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 15 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 15 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 18 1 2 4 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 18 1 2 12 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 18 1 2 13 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 18 1 2 2 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 18 1 2 14 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 18 1 2 15 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 18 1 2 3 ⟶ 18 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 12 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 15 ↦ 13, 3 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 35-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 10 1 2 3 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 10 1 2 10 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 10 1 2 11 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 10 1 2 2 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 10 1 2 12 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 10 1 2 13 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 10 1 2 14 ⟶ 10 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 17 1 2 10 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 34-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 3 1 2 4 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 3 1 2 3 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 3 1 2 11 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 3 1 2 2 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 3 1 2 12 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 3 1 2 13 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 3 1 2 14 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 33-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 14 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 32-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 13 1 2 13 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 17 1 2 10 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 31-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 13 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 30-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 12 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 29-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 11 1 2 4 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 11 1 2 11 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 11 1 2 12 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 11 1 2 2 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 11 1 2 13 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 11 1 2 14 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 11 1 2 3 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 17 1 2 4 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 17 1 2 11 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 17 1 2 12 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 17 1 2 2 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 17 1 2 13 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 17 1 2 14 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 17 1 2 3 ⟶ 17 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 12 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 3 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 28-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 0 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 14 1 2 0 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 14 1 2 10 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 27-rule system { 0 1 2 0 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 14 1 2 0 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 14 1 2 10 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 26-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 0 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 25-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 13 1 2 0 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 0 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 24-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 0 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 23-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 0 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 22-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 11 1 2 4 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 11 1 2 0 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 11 1 2 12 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 11 1 2 2 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 11 1 2 13 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 11 1 2 14 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 11 1 2 3 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 0 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 0 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 0 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 0 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 3 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 21-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 20-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 19-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 18-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 17-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 15 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15, 16 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 15-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 11 1 2 4 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 11 1 2 12 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 11 1 2 13 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 11 1 2 2 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 11 1 2 14 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 11 1 2 15 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 11 1 2 3 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 16 1 2 12 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 16 1 2 13 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 16 1 2 14 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 16 1 2 15 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 12 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 15 ↦ 13, 3 ↦ 14, 16 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 14-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 13-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 15 1 2 12 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 15 1 2 13 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 15 1 2 14 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 12-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 14 1 2 15 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 14 1 2 12 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 14 1 2 13 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 11-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 10-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 13 1 2 14 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 13 1 2 15 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 13 1 2 12 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 9-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 12 1 2 13 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 12 1 2 14 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 12 1 2 15 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 3 ↦ 15 }, it remains to prove termination of the 8-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 11 1 2 4 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 4 , 11 1 2 12 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 11 1 2 13 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 11 1 2 2 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 11 1 2 14 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 , 11 1 2 15 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 15 , 11 1 2 3 ⟶ 11 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 11 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 12 ↦ 10, 13 ↦ 11, 14 ↦ 12, 15 ↦ 13, 3 ↦ 14 }, it remains to prove termination of the 7-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 3 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14 }, it remains to prove termination of the 6-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 , 0 1 2 14 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 14 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13 }, it remains to prove termination of the 5-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 2 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 , 0 1 2 13 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12 }, it remains to prove termination of the 4-rule system { 0 1 2 2 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 2 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 3 4 5 6 7 8 9 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 10 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 9, 9 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12 }, it remains to prove termination of the 3-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 , 0 1 2 12 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 12 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 12 ↦ 11 }, it remains to prove termination of the 2-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 11 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 11 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10 }, it remains to prove termination of the 1-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 9 10 2 3 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.