/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 2 ↦ 1, 3 ↦ 2, 1 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 1 2 3 1 2 1 3 2 0 3 2 1 3 0 2 ⟶ 0 3 1 2 1 0 3 1 1 0 3 0 3 2 2 0 2 2 , 0 0 0 2 1 3 2 1 3 2 3 0 2 2 2 1 1 2 ⟶ 0 3 3 0 1 3 2 2 1 1 1 2 0 0 2 2 2 2 , 0 0 1 0 2 0 1 1 3 0 2 1 3 1 3 1 0 1 ⟶ 0 0 1 0 3 1 1 2 0 1 2 0 1 1 0 1 3 3 , 0 0 1 3 3 3 3 0 2 1 1 3 2 0 3 1 0 2 ⟶ 0 3 0 3 1 1 1 1 2 0 2 0 3 3 3 2 0 3 , 0 0 1 1 3 0 1 0 0 3 3 2 2 1 3 2 0 1 ⟶ 0 0 2 3 0 1 3 3 2 3 1 2 0 0 1 0 1 1 , 0 3 0 0 3 0 2 1 1 0 0 0 2 3 1 0 1 3 ⟶ 0 3 0 0 3 1 1 3 1 2 0 0 2 0 3 0 1 0 , 0 3 3 3 1 3 0 0 0 2 2 3 0 1 1 0 2 2 ⟶ 0 3 0 3 0 0 0 2 1 0 3 1 2 3 1 2 3 2 , 0 1 0 3 3 0 0 1 3 0 1 0 0 1 3 1 0 0 ⟶ 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0 3 0 1 3 3 1 0 0 , 0 1 3 3 0 0 2 2 0 2 2 3 1 3 3 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0 1 3 1 , 1 1 2 3 1 1 2 1 0 1 0 2 0 3 1 1 3 2 ⟶ 2 1 1 1 1 2 0 0 3 1 0 3 3 1 1 1 2 2 , 1 1 2 3 2 1 0 2 0 1 0 0 3 3 2 3 3 2 ⟶ 1 1 2 3 0 3 2 3 1 1 2 0 2 3 0 3 0 2 , 1 1 2 1 3 3 3 1 0 1 3 3 1 0 1 3 0 0 ⟶ 1 1 1 2 0 0 3 3 3 3 0 3 3 1 1 1 1 0 , 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 0 0 1 1 3 3 ⟶ 1 1 3 1 2 0 2 2 3 1 2 1 1 1 0 1 3 3 , 1 2 3 3 2 3 0 3 1 1 3 1 0 3 1 3 0 1 ⟶ 1 2 3 0 1 3 1 1 3 3 1 0 3 2 0 3 3 1 , 1 2 3 1 3 0 3 0 2 1 2 3 3 0 2 2 3 1 ⟶ 1 1 2 2 3 2 0 1 1 3 3 3 2 0 3 2 0 3 , 1 2 1 0 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 2 2 1 2 ⟶ 1 1 1 3 1 2 2 3 2 3 0 2 2 1 2 1 2 2 , 1 2 1 1 0 2 2 3 0 0 1 1 0 1 1 1 3 1 ⟶ 1 2 0 1 1 1 3 0 0 2 1 1 2 3 0 1 1 1 , 2 0 1 1 3 2 0 2 3 1 0 2 2 1 1 0 1 2 ⟶ 2 0 1 0 2 2 1 1 1 1 2 1 2 0 3 3 0 2 , 2 0 2 2 0 1 3 1 1 0 2 2 3 3 0 0 2 2 ⟶ 2 0 0 1 2 3 3 0 0 0 1 3 2 1 2 2 2 2 , 2 3 3 1 0 2 1 1 0 2 3 3 0 1 2 3 1 1 ⟶ 2 0 3 3 2 0 1 2 1 1 1 0 3 2 1 3 3 1 , 2 3 3 1 2 2 3 0 2 2 1 0 2 1 0 2 3 2 ⟶ 2 3 1 2 0 2 1 2 3 2 0 1 3 0 2 2 3 2 , 2 3 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 0 1 1 0 1 3 ⟶ 2 0 3 2 1 1 2 0 3 3 1 1 2 3 1 2 3 3 , 2 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1 2 3 1 0 1 2 3 0 2 1 ⟶ 2 1 3 3 1 2 0 1 0 3 1 2 3 1 2 2 2 1 , 2 1 2 2 1 2 3 0 2 3 3 2 1 2 2 2 2 3 ⟶ 2 1 2 2 1 3 3 2 2 2 0 3 1 2 2 2 2 3 , 2 2 3 0 2 0 2 2 2 1 0 1 2 1 0 2 2 0 ⟶ 2 2 2 2 2 1 0 2 0 0 3 2 0 2 1 1 2 0 , 2 2 3 3 0 3 0 1 0 1 0 1 3 0 3 0 2 0 ⟶ 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 3 3 0 3 0 3 2 0 , 2 2 1 1 3 2 3 3 1 0 2 3 1 2 1 0 2 2 ⟶ 2 2 3 0 3 1 1 2 1 2 0 3 1 2 2 3 1 2 , 2 2 2 1 3 1 0 0 3 3 2 0 1 3 0 2 0 2 ⟶ 2 2 0 0 3 0 1 2 3 1 2 0 1 3 3 0 2 2 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,3) ↦ 3, (3,1) ↦ 4, (2,1) ↦ 5, (1,3) ↦ 6, (3,2) ↦ 7, (2,0) ↦ 8, (0,3) ↦ 9, (3,0) ↦ 10, (0,2) ↦ 11, (1,0) ↦ 12, (1,1) ↦ 13, (2,2) ↦ 14, (2,5) ↦ 15, (4,0) ↦ 16, (3,3) ↦ 17, (1,5) ↦ 18, (3,5) ↦ 19, (0,5) ↦ 20, (4,3) ↦ 21, (4,1) ↦ 22, (4,2) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 3 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 15 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 15 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 3 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 15 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 15 , 8 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 8 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 8 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 8 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 8 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 8 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 8 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 8 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 3 , 8 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 15 ⟶ 8 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 15 , 10 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 10 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 10 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 10 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 10 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 10 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 10 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 10 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 3 , 10 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 15 ⟶ 10 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 15 , 16 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 16 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 16 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 16 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 16 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 16 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 16 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 16 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 3 , 16 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 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17 10 11 14 3 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1990-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 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↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1985-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 16 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 16 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 3 , 0 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 15 ⟶ 0 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 15 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 8 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 8 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 5 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 5 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 14 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 14 14 14 , 12 0 0 11 5 6 7 5 6 7 3 10 11 14 14 5 13 2 3 ⟶ 12 9 17 10 1 6 7 14 5 13 13 2 8 0 11 14 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14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 8 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 8 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 5 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 5 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 14 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1965-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 0 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 0 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 12 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 12 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 8 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 8 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 8 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 8 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 5 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 5 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 14 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 14 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 3 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 3 , 10 0 0 1 2 3 4 2 5 6 7 8 9 7 5 6 10 11 15 ⟶ 10 9 4 2 5 12 9 4 13 12 9 10 9 7 14 8 11 14 15 , 16 0 0 1 2 3 4 2 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8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 11 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 11 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 11 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 11 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 2 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 8 ⟶ 2 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 8 , 2 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 5 ⟶ 2 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 5 , 2 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 14 ⟶ 2 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 2 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 2 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 2 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 2 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 14 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 8 ⟶ 14 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 8 , 14 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 5 ⟶ 14 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 5 , 14 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 14 ⟶ 14 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 14 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 14 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 14 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 14 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 8 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 8 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 5 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 5 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 14 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 7 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 7 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 8 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 8 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 5 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 5 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 14 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 14 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 3 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 3 , 23 14 5 13 6 7 3 17 4 12 11 3 4 2 5 12 11 14 15 ⟶ 23 14 3 10 9 4 13 2 5 2 8 9 4 2 14 3 4 2 15 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 11 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 11 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 2 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 2 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 14 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 14 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 7 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 7 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 8 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 8 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 5 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 5 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 14 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 14 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 3 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 3 , 23 14 14 5 6 4 12 0 9 17 7 8 1 6 10 11 8 11 15 ⟶ 23 14 8 0 9 10 1 2 3 4 2 8 1 6 17 10 11 14 15 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.