/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 3 0 1 1 0 2 1 3 ⟶ 0 0 2 1 1 0 0 1 0 2 0 1 3 1 2 1 1 3 , 0 0 0 1 0 1 1 3 3 0 2 3 0 0 0 1 0 2 ⟶ 0 0 0 3 1 3 1 1 0 3 0 1 0 2 0 2 0 0 , 0 0 1 2 2 3 3 3 3 0 0 0 3 1 1 2 3 2 ⟶ 2 0 0 3 1 0 3 1 0 2 1 2 3 3 0 3 3 2 , 0 0 1 3 0 1 1 2 0 2 2 3 2 2 2 1 0 1 ⟶ 0 0 0 2 1 2 3 2 0 2 2 0 3 1 1 1 2 1 , 0 0 1 3 1 3 0 0 0 3 0 0 2 3 1 3 1 0 ⟶ 0 3 0 1 3 0 2 1 0 0 3 0 3 0 1 3 1 0 , 0 0 3 1 0 1 1 1 1 0 1 3 3 0 0 0 3 1 ⟶ 0 0 3 1 1 1 0 0 0 1 3 1 0 3 1 0 3 1 , 0 0 3 2 0 0 2 2 3 0 0 1 3 1 3 3 3 1 ⟶ 0 0 0 3 1 1 2 2 0 3 3 0 0 2 3 3 3 1 , 0 1 1 0 2 3 3 1 1 3 3 2 2 0 1 2 1 3 ⟶ 1 1 1 3 2 0 3 1 2 3 1 0 2 1 0 3 3 2 , 0 1 1 2 1 2 0 0 3 3 0 1 3 2 0 1 3 3 ⟶ 1 0 3 3 2 1 1 0 3 3 0 1 2 0 2 1 0 3 , 0 1 1 2 1 2 2 0 1 1 2 3 0 0 0 3 3 2 ⟶ 0 1 0 3 3 2 2 3 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 , 0 1 1 2 2 1 0 1 3 2 1 3 3 2 3 2 1 3 ⟶ 3 3 1 2 1 1 0 2 0 3 3 1 1 2 2 2 1 3 , 0 1 2 1 3 0 1 0 0 0 2 2 0 0 3 2 2 1 ⟶ 0 1 3 0 2 1 0 2 2 0 1 0 3 1 0 0 2 2 , 0 1 3 0 2 3 0 2 2 2 2 3 0 1 0 3 3 3 ⟶ 3 2 3 3 2 1 2 3 1 0 0 2 3 0 0 2 0 3 , 0 1 3 1 3 0 2 0 1 3 0 3 2 1 2 1 0 3 ⟶ 3 2 0 1 1 0 3 2 1 1 3 1 0 0 3 2 0 3 , 0 1 3 3 3 0 1 1 0 3 2 2 2 0 3 0 2 2 ⟶ 3 2 1 0 2 0 3 2 1 0 3 0 3 1 0 3 2 2 , 0 2 0 3 0 0 1 1 2 3 2 3 0 0 2 2 2 3 ⟶ 0 2 2 2 0 0 3 3 2 0 0 3 1 2 3 1 0 2 , 0 2 3 0 1 0 0 0 3 2 0 0 0 2 1 0 1 2 ⟶ 0 0 1 1 0 0 2 3 0 0 0 2 1 0 0 3 2 2 , 0 2 3 2 2 2 2 3 0 0 2 2 1 3 0 1 2 2 ⟶ 0 2 2 1 1 2 0 0 2 3 2 2 2 0 2 3 3 2 , 0 2 3 3 0 0 1 0 0 1 1 1 3 2 0 2 1 3 ⟶ 0 3 2 3 1 1 0 2 0 2 0 3 1 0 0 3 1 1 , 0 3 1 1 0 1 2 0 3 3 0 0 0 0 3 3 2 1 ⟶ 0 0 0 3 3 1 0 3 1 1 0 0 3 3 2 0 2 1 , 0 3 3 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 3 2 2 3 ⟶ 0 0 2 2 1 0 0 3 2 2 3 1 1 0 3 1 1 3 , 0 3 3 3 3 3 3 0 0 1 2 3 2 0 1 1 2 0 ⟶ 0 0 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3 3 2 1 , 2 2 2 1 3 0 2 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ⟶ 2 0 0 2 0 0 2 1 0 2 0 2 1 2 0 3 0 0 , 2 2 3 0 1 3 0 0 1 3 2 2 2 1 1 2 1 3 ⟶ 2 3 1 0 2 0 2 1 2 1 1 2 2 0 3 3 1 3 , 2 2 3 1 1 0 1 3 3 1 0 3 2 0 0 0 1 0 ⟶ 2 0 2 0 2 3 3 1 0 3 1 1 0 1 0 3 1 0 , 2 2 3 3 0 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 0 3 ⟶ 2 2 3 3 3 1 3 2 0 2 3 3 2 1 2 2 0 3 , 2 2 3 3 3 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 0 0 1 ⟶ 2 0 3 2 3 0 2 2 1 3 3 3 1 1 3 1 2 1 , 2 3 0 0 0 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 3 2 3 ⟶ 2 3 2 3 2 2 1 1 1 0 3 0 3 2 0 3 1 3 , 2 3 0 1 2 3 2 0 1 3 0 1 2 0 3 1 1 3 ⟶ 2 3 1 2 3 0 2 3 3 1 1 2 0 0 0 1 1 3 , 2 3 0 2 2 3 2 1 2 0 0 0 1 2 2 3 3 3 ⟶ 2 3 2 3 2 0 0 0 2 2 1 0 1 3 2 2 3 3 , 2 3 3 2 1 2 0 1 1 2 2 0 1 3 1 0 1 2 ⟶ 2 3 1 2 2 0 2 0 3 1 1 0 2 2 1 1 3 1 , 3 0 0 0 1 3 3 1 3 3 0 0 1 3 1 0 0 0 ⟶ 3 3 0 3 0 3 0 0 1 1 3 0 3 1 0 0 1 0 , 3 0 1 0 3 3 0 3 0 1 2 2 3 3 0 0 3 2 ⟶ 3 3 0 0 0 2 0 2 3 2 3 1 1 0 0 3 3 3 , 3 0 1 2 2 1 0 1 1 3 0 1 3 2 0 0 1 3 ⟶ 3 1 1 0 0 0 3 1 0 1 1 3 2 0 3 2 2 1 , 3 0 1 2 2 1 1 0 2 3 3 3 3 1 3 3 1 3 ⟶ 3 3 1 1 0 3 3 1 1 2 2 2 1 3 0 3 3 3 , 3 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1 3 2 2 0 3 3 1 2 2 3 ⟶ 3 1 2 3 3 2 0 2 3 1 1 3 2 3 2 3 0 3 , 3 3 3 0 1 0 1 1 3 0 2 1 2 1 0 1 2 1 ⟶ 1 1 0 2 3 3 1 1 1 0 3 2 0 1 3 0 2 1 , 3 3 3 0 1 2 2 0 1 2 1 0 0 1 0 1 3 0 ⟶ 3 0 2 0 3 1 3 0 2 1 2 1 0 1 0 3 1 0 , 3 3 3 1 2 1 3 0 0 3 3 0 2 2 2 3 3 3 ⟶ 3 0 3 3 3 3 3 0 2 2 1 2 3 2 1 0 3 3 , 3 3 3 2 2 0 3 3 3 2 0 0 0 0 1 2 2 2 ⟶ 3 3 2 2 0 3 0 0 2 2 0 3 0 3 2 3 1 2 , 3 3 3 3 0 1 3 0 2 2 0 0 0 1 2 2 2 2 ⟶ 3 3 3 3 0 1 3 0 0 2 1 0 2 2 2 0 2 2 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,2) ↦ 2, (2,1) ↦ 3, (1,1) ↦ 4, (1,3) ↦ 5, (3,0) ↦ 6, (1,0) ↦ 7, (0,2) ↦ 8, (2,0) ↦ 9, (3,1) ↦ 10, (3,2) ↦ 11, (3,3) ↦ 12, (3,5) ↦ 13, (4,0) ↦ 14, (2,3) ↦ 15, (0,3) ↦ 16, (2,2) ↦ 17, (2,5) ↦ 18, (0,5) ↦ 19, (4,2) ↦ 20, (1,5) ↦ 21, (4,1) ↦ 22, (4,3) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 6 ⟶ 0 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 6 , 0 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 10 ⟶ 0 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 10 , 0 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 11 ⟶ 0 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 11 , 0 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 12 ⟶ 0 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 12 , 0 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 13 ⟶ 0 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 13 , 7 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 6 ⟶ 7 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 6 , 7 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 10 ⟶ 7 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 10 , 7 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 11 ⟶ 7 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 11 , 7 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 12 ⟶ 7 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 12 , 7 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 13 ⟶ 7 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 13 , 9 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 6 ⟶ 9 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 6 , 9 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 10 ⟶ 9 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 10 , 9 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 11 ⟶ 9 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 11 , 9 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 12 ⟶ 9 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 12 , 9 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 13 ⟶ 9 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 13 , 6 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 6 ⟶ 6 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 6 , 6 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 10 ⟶ 6 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 10 , 6 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 11 ⟶ 6 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 11 , 6 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 12 ⟶ 6 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 12 , 6 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 13 ⟶ 6 0 8 3 4 7 0 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8 9 8 9 0 8 , 6 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 15 ⟶ 6 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 16 , 6 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 18 ⟶ 6 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 19 , 14 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 9 ⟶ 14 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 0 , 14 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 3 ⟶ 14 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 1 , 14 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 17 ⟶ 14 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 8 , 14 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 15 ⟶ 14 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 16 , 14 0 0 1 7 1 4 5 12 6 8 15 6 0 0 1 7 8 18 ⟶ 14 0 0 16 10 5 10 4 7 16 6 1 7 8 9 8 9 0 19 , 0 0 1 2 17 15 12 12 12 6 0 0 16 10 4 2 15 11 9 ⟶ 8 9 0 16 10 7 16 10 7 8 3 2 15 12 6 16 12 11 9 , 0 0 1 2 17 15 12 12 12 6 0 0 16 10 4 2 15 11 3 ⟶ 8 9 0 16 10 7 16 10 7 8 3 2 15 12 6 16 12 11 3 , 0 0 1 2 17 15 12 12 12 6 0 0 16 10 4 2 15 11 17 ⟶ 8 9 0 16 10 7 16 10 7 8 3 2 15 12 6 16 12 11 17 , 0 0 1 2 17 15 12 12 12 6 0 0 16 10 4 2 15 11 15 ⟶ 8 9 0 16 10 7 16 10 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2 9 , 23 12 12 11 17 9 16 12 12 11 9 0 0 0 1 2 17 17 3 ⟶ 23 12 11 17 9 16 6 0 8 17 9 16 6 16 11 15 10 2 3 , 23 12 12 11 17 9 16 12 12 11 9 0 0 0 1 2 17 17 17 ⟶ 23 12 11 17 9 16 6 0 8 17 9 16 6 16 11 15 10 2 17 , 23 12 12 11 17 9 16 12 12 11 9 0 0 0 1 2 17 17 15 ⟶ 23 12 11 17 9 16 6 0 8 17 9 16 6 16 11 15 10 2 15 , 23 12 12 11 17 9 16 12 12 11 9 0 0 0 1 2 17 17 18 ⟶ 23 12 11 17 9 16 6 0 8 17 9 16 6 16 11 15 10 2 18 , 16 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 16 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 16 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 16 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 16 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 16 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 16 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 16 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 16 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 16 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 19 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1995-rule system { 0 0 0 0 1 2 3 2 3 4 5 6 1 4 7 8 3 5 6 ⟶ 0 0 8 3 4 7 0 1 7 8 9 1 5 10 2 3 4 5 6 , 0 0 0 0 1 2 3 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, 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 5 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 5 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 15 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 15 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 12 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 12 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 9 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 9 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 3 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 3 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 17 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 17 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 15 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 15 , 23 12 12 12 6 1 5 6 8 17 9 0 0 1 2 17 17 17 18 ⟶ 23 12 12 12 6 1 5 6 0 8 3 7 8 17 17 9 8 17 18 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.