/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 3 ↦ 1, 1 ↦ 2, 2 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 80-rule system { 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 ⟶ 0 0 0 0 0 1 2 1 1 3 2 2 1 0 2 0 2 1 , 0 0 0 2 2 2 1 2 3 2 3 0 1 0 3 1 2 3 ⟶ 0 1 3 2 0 0 1 3 2 0 2 3 2 1 2 3 0 2 , 0 0 0 2 3 1 2 0 1 3 1 0 0 1 1 2 3 3 ⟶ 0 1 1 2 0 3 0 0 3 0 2 1 2 0 3 1 1 3 , 0 0 0 3 0 3 3 1 1 0 1 2 1 2 1 2 3 0 ⟶ 1 1 0 0 1 3 1 0 0 2 3 3 1 3 2 0 2 0 , 0 0 0 1 2 0 3 3 1 3 0 1 0 3 2 3 2 0 ⟶ 0 3 1 1 3 0 2 1 0 0 2 0 3 3 2 0 0 3 , 0 0 0 1 2 2 1 0 1 3 1 0 3 1 1 1 3 0 ⟶ 0 2 1 1 3 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 1 3 3 , 0 2 2 0 0 0 2 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2 3 ⟶ 0 2 2 3 3 3 2 0 1 3 2 1 3 2 0 2 0 2 , 0 2 3 0 0 2 2 1 2 1 0 1 2 2 2 0 1 3 ⟶ 0 2 2 2 2 0 3 2 1 2 0 3 2 1 0 1 1 0 , 0 2 3 2 2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 1 2 3 2 ⟶ 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 0 2 0 2 1 3 2 2 , 0 2 3 3 2 1 2 2 3 0 1 3 2 2 2 3 3 2 ⟶ 0 2 3 3 0 2 2 3 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 , 0 3 0 0 3 0 3 2 1 0 3 2 2 1 2 1 0 1 ⟶ 0 3 3 1 3 3 2 1 0 0 2 2 1 0 0 0 2 1 , 0 3 2 3 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 2 1 0 ⟶ 0 1 3 0 1 1 0 2 0 1 2 1 1 3 2 0 0 0 , 0 3 2 1 0 0 3 2 2 2 2 2 2 1 3 0 0 3 ⟶ 0 0 2 2 3 2 2 1 1 2 0 2 3 2 0 0 3 3 , 0 1 0 2 2 3 0 0 2 3 1 0 0 1 2 0 0 2 ⟶ 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 0 1 1 1 2 2 0 2 , 0 1 0 2 1 3 3 1 2 3 3 2 2 0 1 3 2 0 ⟶ 0 2 3 2 0 0 1 3 2 3 0 2 1 1 1 3 2 3 , 0 1 0 1 1 2 3 0 3 1 3 0 1 2 2 2 2 1 ⟶ 1 3 2 1 3 3 2 1 1 0 0 1 2 0 2 0 2 1 , 0 1 2 0 0 3 1 3 0 2 3 1 0 1 3 0 3 3 ⟶ 0 3 3 0 0 3 0 0 3 2 2 0 1 1 3 1 1 3 , 0 1 2 0 1 3 0 0 0 1 3 1 2 3 0 3 1 0 ⟶ 0 0 3 3 1 1 0 1 0 0 1 3 1 0 2 2 3 0 , 0 1 3 0 0 0 0 2 1 2 0 1 2 1 1 0 2 3 ⟶ 0 0 2 1 0 2 0 0 0 2 0 3 1 1 1 1 3 2 , 0 1 3 0 2 3 1 0 3 3 1 2 1 3 1 1 0 3 ⟶ 3 1 1 3 1 1 1 3 0 0 0 0 2 3 3 1 2 3 , 0 1 3 3 3 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0 0 ⟶ 3 0 0 2 0 1 1 3 0 2 1 0 2 3 1 1 0 0 , 2 0 2 3 2 0 3 3 0 0 2 2 2 0 1 2 3 0 ⟶ 3 3 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1 1 1 1 , 3 2 2 2 3 1 0 3 0 0 1 2 0 0 1 3 3 0 ⟶ 3 0 2 1 3 0 0 2 3 2 1 3 1 3 0 2 0 0 , 3 2 1 2 3 0 2 1 2 3 3 3 2 3 1 0 2 3 ⟶ 3 3 2 1 1 3 3 3 0 3 2 0 1 3 2 2 2 2 , 3 1 2 0 1 1 2 1 1 0 1 0 3 3 1 3 3 3 ⟶ 3 1 2 1 0 3 0 0 2 1 1 3 1 3 1 1 3 3 , 3 1 2 3 1 0 1 1 2 3 3 1 3 2 2 1 3 3 ⟶ 3 1 3 3 1 2 2 3 1 3 3 2 1 1 1 2 0 3 , 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 0 0 2 1 2 2 2 1 ⟶ 3 3 2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 2 0 3 0 2 1 , 3 1 1 0 1 2 0 1 2 3 3 3 2 0 1 0 2 0 ⟶ 3 1 0 1 2 0 1 3 1 1 3 2 0 2 3 0 2 0 , 3 1 1 2 3 1 2 3 0 2 0 3 0 3 2 2 2 3 ⟶ 3 2 1 1 2 3 2 0 3 2 3 0 1 3 2 0 2 3 , 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3 2 1 0 3 1 ⟶ 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 0 3 1 0 0 0 3 1 , 1 0 0 1 3 3 2 0 3 1 0 2 0 3 2 1 2 2 ⟶ 1 3 2 2 2 2 0 0 3 1 1 3 2 0 0 3 1 0 , 1 0 2 2 0 1 3 1 0 0 3 1 2 1 2 2 3 3 ⟶ 3 2 2 1 1 3 2 1 0 0 3 1 2 0 0 1 3 2 , 1 0 2 3 0 3 1 1 2 2 1 2 3 0 1 1 0 2 ⟶ 1 0 2 2 1 2 0 2 2 3 1 0 1 1 1 3 3 0 , 1 0 2 3 0 1 0 2 0 3 0 2 3 1 0 1 2 0 ⟶ 0 0 3 2 0 2 1 1 1 1 0 3 2 0 2 3 0 0 , 1 0 3 2 3 3 1 2 2 1 2 2 0 1 0 1 0 2 ⟶ 1 2 2 3 1 3 2 1 0 3 2 1 1 0 2 0 2 0 , 1 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3 3 2 3 0 1 2 2 2 3 1 ⟶ 0 3 1 2 1 1 3 0 0 2 2 3 2 3 3 2 3 1 , 1 3 2 3 3 0 1 1 0 3 3 0 0 3 1 2 0 0 ⟶ 0 3 3 1 1 1 1 3 3 2 0 3 2 3 0 0 0 0 , 1 3 1 0 2 3 0 2 0 1 1 0 0 2 2 1 3 0 ⟶ 1 3 1 3 0 0 0 3 1 1 0 2 2 1 2 0 2 0 , 1 3 1 0 1 3 3 3 1 2 3 1 3 1 1 2 3 2 ⟶ 1 2 1 3 3 2 3 3 1 1 1 3 1 1 0 2 3 3 , 1 1 2 3 0 3 3 1 2 3 0 1 3 2 0 2 2 3 ⟶ 1 2 0 2 1 3 0 1 3 3 3 1 3 2 3 2 0 2 , 1 1 3 0 1 3 1 0 3 1 1 2 2 2 1 3 3 2 ⟶ 1 1 1 1 3 1 0 2 0 3 3 1 1 2 3 3 2 2 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,1) ↦ 4, (1,2) ↦ 5, (2,3) ↦ 6, (3,1) ↦ 7, (2,0) ↦ 8, (1,1) ↦ 9, (1,3) ↦ 10, (3,2) ↦ 11, (2,2) ↦ 12, (2,5) ↦ 13, (1,5) ↦ 14, (3,0) ↦ 15, (4,0) ↦ 16, (0,3) ↦ 17, (3,3) ↦ 18, (3,5) ↦ 19, (0,5) ↦ 20, (4,1) ↦ 21, (4,3) ↦ 22, (4,2) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 2000-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 13 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 14 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 13 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 14 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 13 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 14 , 15 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 15 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 15 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 15 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 15 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 15 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 15 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 15 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 15 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 13 ⟶ 15 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 14 , 16 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 16 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 16 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 16 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 16 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 16 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 16 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 16 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 16 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 13 ⟶ 16 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 14 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 15 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 8 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 7 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 4 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 11 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 12 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 18 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 6 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 19 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 13 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 15 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 8 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 7 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 4 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 11 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 12 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 18 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 6 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 19 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 13 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 15 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 8 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 7 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 4 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 11 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 12 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 18 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 6 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 19 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 13 , 15 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 15 ⟶ 15 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 8 , 15 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 7 ⟶ 15 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 4 , 15 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 11 ⟶ 15 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 12 , 15 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 18 ⟶ 15 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 6 , 15 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 19 ⟶ 15 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 13 , 16 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 15 ⟶ 16 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 8 , 16 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 7 ⟶ 16 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 4 , 16 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 11 ⟶ 16 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 12 , 16 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 18 ⟶ 16 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 6 , 16 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 15 1 2 17 7 5 6 19 ⟶ 16 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 15 3 13 , 0 0 0 3 6 7 5 8 1 10 7 2 0 1 9 5 6 18 15 ⟶ 0 1 9 5 8 17 15 0 17 15 3 4 5 8 17 7 9 10 15 , 0 0 0 3 6 7 5 8 1 10 7 2 0 1 9 5 6 18 7 ⟶ 0 1 9 5 8 17 15 0 17 15 3 4 5 8 17 7 9 10 7 , 0 0 0 3 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18 7 9 5 6 18 11 12 13 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 15 ↦ 13, 16 ↦ 14, 17 ↦ 15, 18 ↦ 16, 19 ↦ 17, 13 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 14 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 1990-rule system { 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 0 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 0 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 2 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 2 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 8 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 8 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 13 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 13 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 13 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 13 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 13 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 13 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 13 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 13 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 14 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 8 ⟶ 14 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 2 , 14 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 4 ⟶ 14 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 9 , 14 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 12 ⟶ 14 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 5 , 14 0 0 0 0 1 2 0 3 4 5 4 5 6 7 5 4 5 6 ⟶ 14 0 0 0 0 1 5 4 9 10 11 12 4 2 3 8 3 4 10 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 13 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 8 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 7 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 4 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 11 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 12 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 16 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 6 , 0 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 17 ⟶ 0 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 18 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 13 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 8 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 7 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 4 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 11 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 12 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 16 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 6 , 2 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 17 ⟶ 2 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 18 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 13 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 8 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 7 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 4 , 8 0 0 3 12 12 4 5 6 11 6 13 1 2 15 7 5 6 11 ⟶ 8 1 10 11 8 0 1 10 11 8 3 6 11 4 5 6 13 3 12 , 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9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 8 , 9 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 4 ⟶ 9 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 4 , 9 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 12 ⟶ 9 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 12 , 9 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 6 ⟶ 9 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 6 , 9 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 18 ⟶ 9 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 18 , 4 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 8 ⟶ 4 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 8 , 4 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 4 ⟶ 4 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 4 , 4 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 12 ⟶ 4 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 12 , 4 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 6 ⟶ 4 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 6 , 4 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 18 ⟶ 4 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 18 , 7 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 8 ⟶ 7 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 8 , 7 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 4 ⟶ 7 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 4 , 7 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 12 ⟶ 7 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 12 , 7 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 6 ⟶ 7 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 6 , 7 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 18 ⟶ 7 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 18 , 20 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 8 ⟶ 20 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 8 , 20 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 4 ⟶ 20 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 4 , 20 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 12 ⟶ 20 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 12 , 20 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 6 ⟶ 20 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 6 , 20 9 10 13 1 10 7 2 15 7 9 5 12 12 4 10 16 11 18 ⟶ 20 9 9 9 10 7 2 3 8 15 16 7 9 5 6 16 11 12 18 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.