/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5 }, it remains to prove termination of the 50-rule system { 0 1 1 ⟶ 0 1 2 3 4 1 , 0 1 1 ⟶ 1 3 1 3 4 0 , 0 1 1 ⟶ 5 1 3 0 3 1 , 0 1 4 ⟶ 0 1 3 4 , 0 1 4 ⟶ 1 3 4 2 0 , 0 1 4 ⟶ 1 5 3 4 0 , 0 1 4 ⟶ 3 1 3 4 0 , 0 1 4 ⟶ 1 1 5 3 4 0 , 0 1 4 ⟶ 1 2 3 4 3 0 , 0 1 4 ⟶ 1 3 3 4 4 0 , 0 1 4 ⟶ 1 3 4 5 0 5 , 0 1 4 ⟶ 3 4 5 5 0 1 , 1 2 4 ⟶ 1 2 3 4 1 , 1 2 4 ⟶ 5 3 4 1 2 , 1 2 4 ⟶ 1 5 2 3 4 3 , 1 2 4 ⟶ 2 3 3 4 5 1 , 5 2 1 ⟶ 1 2 2 3 5 4 , 5 2 1 ⟶ 1 3 2 5 3 4 , 5 2 4 ⟶ 0 5 2 3 4 , 5 2 4 ⟶ 5 5 3 4 2 , 5 2 4 ⟶ 0 3 4 4 5 2 , 5 2 4 ⟶ 2 2 5 3 4 4 , 5 2 4 ⟶ 2 3 3 4 5 5 , 5 2 4 ⟶ 2 3 4 3 5 3 , 5 2 4 ⟶ 2 5 3 4 0 5 , 5 2 4 ⟶ 3 1 2 5 3 4 , 5 2 4 ⟶ 5 2 3 4 0 3 , 0 0 2 4 ⟶ 0 4 3 0 2 , 0 1 1 5 ⟶ 0 1 3 5 1 2 , 0 1 2 4 ⟶ 0 1 2 3 3 4 , 0 1 4 5 ⟶ 3 4 0 5 1 , 0 1 4 5 ⟶ 3 4 5 3 0 1 , 0 4 2 1 ⟶ 0 4 1 2 3 4 , 0 5 1 4 ⟶ 0 0 3 5 4 1 , 1 0 1 4 ⟶ 3 4 0 1 2 1 , 1 1 2 4 ⟶ 1 3 4 1 2 , 1 2 2 4 ⟶ 2 2 2 3 4 1 , 1 2 4 2 ⟶ 1 2 3 4 2 3 , 1 5 2 1 ⟶ 1 0 3 5 1 2 , 1 5 2 4 ⟶ 3 2 3 5 1 4 , 1 5 2 4 ⟶ 5 2 3 3 1 4 , 5 0 1 4 ⟶ 3 4 0 5 3 1 , 5 2 5 1 ⟶ 3 5 1 5 2 , 0 1 1 5 4 ⟶ 0 0 5 4 1 1 , 1 0 0 2 4 ⟶ 0 2 0 4 4 1 , 1 0 4 2 1 ⟶ 1 2 3 4 1 0 , 1 2 5 0 1 ⟶ 2 3 5 1 0 1 , 1 5 3 0 4 ⟶ 5 1 3 4 0 4 , 5 0 5 2 4 ⟶ 4 0 0 5 5 2 , 5 3 2 4 2 ⟶ 2 1 5 3 4 2 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,1) ↦ 2, (1,0) ↦ 3, (1,2) ↦ 4, (2,3) ↦ 5, (3,4) ↦ 6, (4,1) ↦ 7, (1,3) ↦ 8, (1,4) ↦ 9, (1,5) ↦ 10, (1,7) ↦ 11, (2,0) ↦ 12, (3,0) ↦ 13, (4,0) ↦ 14, (5,0) ↦ 15, (6,0) ↦ 16, (3,1) ↦ 17, (0,2) ↦ 18, (0,3) ↦ 19, (0,4) ↦ 20, (0,5) ↦ 21, (0,7) ↦ 22, (2,1) ↦ 23, (5,1) ↦ 24, (6,1) ↦ 25, (2,5) ↦ 26, (3,5) ↦ 27, (4,5) ↦ 28, (5,5) ↦ 29, (6,5) ↦ 30, (4,2) ↦ 31, (4,3) ↦ 32, (4,4) ↦ 33, (4,7) ↦ 34, (5,3) ↦ 35, (3,3) ↦ 36, (6,3) ↦ 37, (5,2) ↦ 38, (5,4) ↦ 39, (5,7) ↦ 40, (2,4) ↦ 41, (2,2) ↦ 42, (2,7) ↦ 43, (3,2) ↦ 44, (3,7) ↦ 45, (6,2) ↦ 46, (6,4) ↦ 47 }, it remains to prove termination of the 2450-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 4 5 6 7 3 , 0 1 2 2 ⟶ 0 1 4 5 6 7 2 , 0 1 2 4 ⟶ 0 1 4 5 6 7 4 , 0 1 2 8 ⟶ 0 1 4 5 6 7 8 , 0 1 2 9 ⟶ 0 1 4 5 6 7 9 , 0 1 2 10 ⟶ 0 1 4 5 6 7 10 , 0 1 2 11 ⟶ 0 1 4 5 6 7 11 , 3 1 2 3 ⟶ 3 1 4 5 6 7 3 , 3 1 2 2 ⟶ 3 1 4 5 6 7 2 , 3 1 2 4 ⟶ 3 1 4 5 6 7 4 , 3 1 2 8 ⟶ 3 1 4 5 6 7 8 , 3 1 2 9 ⟶ 3 1 4 5 6 7 9 , 3 1 2 10 ⟶ 3 1 4 5 6 7 10 , 3 1 2 11 ⟶ 3 1 4 5 6 7 11 , 12 1 2 3 ⟶ 12 1 4 5 6 7 3 , 12 1 2 2 ⟶ 12 1 4 5 6 7 2 , 12 1 2 4 ⟶ 12 1 4 5 6 7 4 , 12 1 2 8 ⟶ 12 1 4 5 6 7 8 , 12 1 2 9 ⟶ 12 1 4 5 6 7 9 , 12 1 2 10 ⟶ 12 1 4 5 6 7 10 , 12 1 2 11 ⟶ 12 1 4 5 6 7 11 , 13 1 2 3 ⟶ 13 1 4 5 6 7 3 , 13 1 2 2 ⟶ 13 1 4 5 6 7 2 , 13 1 2 4 ⟶ 13 1 4 5 6 7 4 , 13 1 2 8 ⟶ 13 1 4 5 6 7 8 , 13 1 2 9 ⟶ 13 1 4 5 6 7 9 , 13 1 2 10 ⟶ 13 1 4 5 6 7 10 , 13 1 2 11 ⟶ 13 1 4 5 6 7 11 , 14 1 2 3 ⟶ 14 1 4 5 6 7 3 , 14 1 2 2 ⟶ 14 1 4 5 6 7 2 , 14 1 2 4 ⟶ 14 1 4 5 6 7 4 , 14 1 2 8 ⟶ 14 1 4 5 6 7 8 , 14 1 2 9 ⟶ 14 1 4 5 6 7 9 , 14 1 2 10 ⟶ 14 1 4 5 6 7 10 , 14 1 2 11 ⟶ 14 1 4 5 6 7 11 , 15 1 2 3 ⟶ 15 1 4 5 6 7 3 , 15 1 2 2 ⟶ 15 1 4 5 6 7 2 , 15 1 2 4 ⟶ 15 1 4 5 6 7 4 , 15 1 2 8 ⟶ 15 1 4 5 6 7 8 , 15 1 2 9 ⟶ 15 1 4 5 6 7 9 , 15 1 2 10 ⟶ 15 1 4 5 6 7 10 , 15 1 2 11 ⟶ 15 1 4 5 6 7 11 , 16 1 2 3 ⟶ 16 1 4 5 6 7 3 , 16 1 2 2 ⟶ 16 1 4 5 6 7 2 , 16 1 2 4 ⟶ 16 1 4 5 6 7 4 , 16 1 2 8 ⟶ 16 1 4 5 6 7 8 , 16 1 2 9 ⟶ 16 1 4 5 6 7 9 , 16 1 2 10 ⟶ 16 1 4 5 6 7 10 , 16 1 2 11 ⟶ 16 1 4 5 6 7 11 , 0 1 2 3 ⟶ 1 8 17 8 6 14 0 , 0 1 2 2 ⟶ 1 8 17 8 6 14 1 , 0 1 2 4 ⟶ 1 8 17 8 6 14 18 , 0 1 2 8 ⟶ 1 8 17 8 6 14 19 , 0 1 2 9 ⟶ 1 8 17 8 6 14 20 , 0 1 2 10 ⟶ 1 8 17 8 6 14 21 , 0 1 2 11 ⟶ 1 8 17 8 6 14 22 , 3 1 2 3 ⟶ 2 8 17 8 6 14 0 , 3 1 2 2 ⟶ 2 8 17 8 6 14 1 , 3 1 2 4 ⟶ 2 8 17 8 6 14 18 , 3 1 2 8 ⟶ 2 8 17 8 6 14 19 , 3 1 2 9 ⟶ 2 8 17 8 6 14 20 , 3 1 2 10 ⟶ 2 8 17 8 6 14 21 , 3 1 2 11 ⟶ 2 8 17 8 6 14 22 , 12 1 2 3 ⟶ 23 8 17 8 6 14 0 , 12 1 2 2 ⟶ 23 8 17 8 6 14 1 , 12 1 2 4 ⟶ 23 8 17 8 6 14 18 , 12 1 2 8 ⟶ 23 8 17 8 6 14 19 , 12 1 2 9 ⟶ 23 8 17 8 6 14 20 , 12 1 2 10 ⟶ 23 8 17 8 6 14 21 , 12 1 2 11 ⟶ 23 8 17 8 6 14 22 , 13 1 2 3 ⟶ 17 8 17 8 6 14 0 , 13 1 2 2 ⟶ 17 8 17 8 6 14 1 , 13 1 2 4 ⟶ 17 8 17 8 6 14 18 , 13 1 2 8 ⟶ 17 8 17 8 6 14 19 , 13 1 2 9 ⟶ 17 8 17 8 6 14 20 , 13 1 2 10 ⟶ 17 8 17 8 6 14 21 , 13 1 2 11 ⟶ 17 8 17 8 6 14 22 , 14 1 2 3 ⟶ 7 8 17 8 6 14 0 , 14 1 2 2 ⟶ 7 8 17 8 6 14 1 , 14 1 2 4 ⟶ 7 8 17 8 6 14 18 , 14 1 2 8 ⟶ 7 8 17 8 6 14 19 , 14 1 2 9 ⟶ 7 8 17 8 6 14 20 , 14 1 2 10 ⟶ 7 8 17 8 6 14 21 , 14 1 2 11 ⟶ 7 8 17 8 6 14 22 , 15 1 2 3 ⟶ 24 8 17 8 6 14 0 , 15 1 2 2 ⟶ 24 8 17 8 6 14 1 , 15 1 2 4 ⟶ 24 8 17 8 6 14 18 , 15 1 2 8 ⟶ 24 8 17 8 6 14 19 , 15 1 2 9 ⟶ 24 8 17 8 6 14 20 , 15 1 2 10 ⟶ 24 8 17 8 6 14 21 , 15 1 2 11 ⟶ 24 8 17 8 6 14 22 , 16 1 2 3 ⟶ 25 8 17 8 6 14 0 , 16 1 2 2 ⟶ 25 8 17 8 6 14 1 , 16 1 2 4 ⟶ 25 8 17 8 6 14 18 , 16 1 2 8 ⟶ 25 8 17 8 6 14 19 , 16 1 2 9 ⟶ 25 8 17 8 6 14 20 , 16 1 2 10 ⟶ 25 8 17 8 6 14 21 , 16 1 2 11 ⟶ 25 8 17 8 6 14 22 , 0 1 2 3 ⟶ 21 24 8 13 19 17 3 , 0 1 2 2 ⟶ 21 24 8 13 19 17 2 , 0 1 2 4 ⟶ 21 24 8 13 19 17 4 , 0 1 2 8 ⟶ 21 24 8 13 19 17 8 , 0 1 2 9 ⟶ 21 24 8 13 19 17 9 , 0 1 2 10 ⟶ 21 24 8 13 19 17 10 , 0 1 2 11 ⟶ 21 24 8 13 19 17 11 , 3 1 2 3 ⟶ 10 24 8 13 19 17 3 , 3 1 2 2 ⟶ 10 24 8 13 19 17 2 , 3 1 2 4 ⟶ 10 24 8 13 19 17 4 , 3 1 2 8 ⟶ 10 24 8 13 19 17 8 , 3 1 2 9 ⟶ 10 24 8 13 19 17 9 , 3 1 2 10 ⟶ 10 24 8 13 19 17 10 , 3 1 2 11 ⟶ 10 24 8 13 19 17 11 , 12 1 2 3 ⟶ 26 24 8 13 19 17 3 , 12 1 2 2 ⟶ 26 24 8 13 19 17 2 , 12 1 2 4 ⟶ 26 24 8 13 19 17 4 , 12 1 2 8 ⟶ 26 24 8 13 19 17 8 , 12 1 2 9 ⟶ 26 24 8 13 19 17 9 , 12 1 2 10 ⟶ 26 24 8 13 19 17 10 , 12 1 2 11 ⟶ 26 24 8 13 19 17 11 , 13 1 2 3 ⟶ 27 24 8 13 19 17 3 , 13 1 2 2 ⟶ 27 24 8 13 19 17 2 , 13 1 2 4 ⟶ 27 24 8 13 19 17 4 , 13 1 2 8 ⟶ 27 24 8 13 19 17 8 , 13 1 2 9 ⟶ 27 24 8 13 19 17 9 , 13 1 2 10 ⟶ 27 24 8 13 19 17 10 , 13 1 2 11 ⟶ 27 24 8 13 19 17 11 , 14 1 2 3 ⟶ 28 24 8 13 19 17 3 , 14 1 2 2 ⟶ 28 24 8 13 19 17 2 , 14 1 2 4 ⟶ 28 24 8 13 19 17 4 , 14 1 2 8 ⟶ 28 24 8 13 19 17 8 , 14 1 2 9 ⟶ 28 24 8 13 19 17 9 , 14 1 2 10 ⟶ 28 24 8 13 19 17 10 , 14 1 2 11 ⟶ 28 24 8 13 19 17 11 , 15 1 2 3 ⟶ 29 24 8 13 19 17 3 , 15 1 2 2 ⟶ 29 24 8 13 19 17 2 , 15 1 2 4 ⟶ 29 24 8 13 19 17 4 , 15 1 2 8 ⟶ 29 24 8 13 19 17 8 , 15 1 2 9 ⟶ 29 24 8 13 19 17 9 , 15 1 2 10 ⟶ 29 24 8 13 19 17 10 , 15 1 2 11 ⟶ 29 24 8 13 19 17 11 , 16 1 2 3 ⟶ 30 24 8 13 19 17 3 , 16 1 2 2 ⟶ 30 24 8 13 19 17 2 , 16 1 2 4 ⟶ 30 24 8 13 19 17 4 , 16 1 2 8 ⟶ 30 24 8 13 19 17 8 , 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13 20 31 ⟶ 27 24 8 6 14 20 31 , 17 10 35 13 20 32 ⟶ 27 24 8 6 14 20 32 , 17 10 35 13 20 33 ⟶ 27 24 8 6 14 20 33 , 17 10 35 13 20 28 ⟶ 27 24 8 6 14 20 28 , 17 10 35 13 20 34 ⟶ 27 24 8 6 14 20 34 , 7 10 35 13 20 14 ⟶ 28 24 8 6 14 20 14 , 7 10 35 13 20 7 ⟶ 28 24 8 6 14 20 7 , 7 10 35 13 20 31 ⟶ 28 24 8 6 14 20 31 , 7 10 35 13 20 32 ⟶ 28 24 8 6 14 20 32 , 7 10 35 13 20 33 ⟶ 28 24 8 6 14 20 33 , 7 10 35 13 20 28 ⟶ 28 24 8 6 14 20 28 , 7 10 35 13 20 34 ⟶ 28 24 8 6 14 20 34 , 24 10 35 13 20 14 ⟶ 29 24 8 6 14 20 14 , 24 10 35 13 20 7 ⟶ 29 24 8 6 14 20 7 , 24 10 35 13 20 31 ⟶ 29 24 8 6 14 20 31 , 24 10 35 13 20 32 ⟶ 29 24 8 6 14 20 32 , 24 10 35 13 20 33 ⟶ 29 24 8 6 14 20 33 , 24 10 35 13 20 28 ⟶ 29 24 8 6 14 20 28 , 24 10 35 13 20 34 ⟶ 29 24 8 6 14 20 34 , 25 10 35 13 20 14 ⟶ 30 24 8 6 14 20 14 , 25 10 35 13 20 7 ⟶ 30 24 8 6 14 20 7 , 25 10 35 13 20 31 ⟶ 30 24 8 6 14 20 31 , 25 10 35 13 20 32 ⟶ 30 24 8 6 14 20 32 , 25 10 35 13 20 33 ⟶ 30 24 8 6 14 20 33 , 25 10 35 13 20 28 ⟶ 30 24 8 6 14 20 28 , 25 10 35 13 20 34 ⟶ 30 24 8 6 14 20 34 , 21 15 21 38 41 14 ⟶ 20 14 0 21 29 38 12 , 21 15 21 38 41 7 ⟶ 20 14 0 21 29 38 23 , 21 15 21 38 41 31 ⟶ 20 14 0 21 29 38 42 , 21 15 21 38 41 32 ⟶ 20 14 0 21 29 38 5 , 21 15 21 38 41 33 ⟶ 20 14 0 21 29 38 41 , 21 15 21 38 41 28 ⟶ 20 14 0 21 29 38 26 , 21 15 21 38 41 34 ⟶ 20 14 0 21 29 38 43 , 10 15 21 38 41 14 ⟶ 9 14 0 21 29 38 12 , 10 15 21 38 41 7 ⟶ 9 14 0 21 29 38 23 , 10 15 21 38 41 31 ⟶ 9 14 0 21 29 38 42 , 10 15 21 38 41 32 ⟶ 9 14 0 21 29 38 5 , 10 15 21 38 41 33 ⟶ 9 14 0 21 29 38 41 , 10 15 21 38 41 28 ⟶ 9 14 0 21 29 38 26 , 10 15 21 38 41 34 ⟶ 9 14 0 21 29 38 43 , 26 15 21 38 41 14 ⟶ 41 14 0 21 29 38 12 , 26 15 21 38 41 7 ⟶ 41 14 0 21 29 38 23 , 26 15 21 38 41 31 ⟶ 41 14 0 21 29 38 42 , 26 15 21 38 41 32 ⟶ 41 14 0 21 29 38 5 , 26 15 21 38 41 33 ⟶ 41 14 0 21 29 38 41 , 26 15 21 38 41 28 ⟶ 41 14 0 21 29 38 26 , 26 15 21 38 41 34 ⟶ 41 14 0 21 29 38 43 , 27 15 21 38 41 14 ⟶ 6 14 0 21 29 38 12 , 27 15 21 38 41 7 ⟶ 6 14 0 21 29 38 23 , 27 15 21 38 41 31 ⟶ 6 14 0 21 29 38 42 , 27 15 21 38 41 32 ⟶ 6 14 0 21 29 38 5 , 27 15 21 38 41 33 ⟶ 6 14 0 21 29 38 41 , 27 15 21 38 41 28 ⟶ 6 14 0 21 29 38 26 , 27 15 21 38 41 34 ⟶ 6 14 0 21 29 38 43 , 28 15 21 38 41 14 ⟶ 33 14 0 21 29 38 12 , 28 15 21 38 41 7 ⟶ 33 14 0 21 29 38 23 , 28 15 21 38 41 31 ⟶ 33 14 0 21 29 38 42 , 28 15 21 38 41 32 ⟶ 33 14 0 21 29 38 5 , 28 15 21 38 41 33 ⟶ 33 14 0 21 29 38 41 , 28 15 21 38 41 28 ⟶ 33 14 0 21 29 38 26 , 28 15 21 38 41 34 ⟶ 33 14 0 21 29 38 43 , 29 15 21 38 41 14 ⟶ 39 14 0 21 29 38 12 , 29 15 21 38 41 7 ⟶ 39 14 0 21 29 38 23 , 29 15 21 38 41 31 ⟶ 39 14 0 21 29 38 42 , 29 15 21 38 41 32 ⟶ 39 14 0 21 29 38 5 , 29 15 21 38 41 33 ⟶ 39 14 0 21 29 38 41 , 29 15 21 38 41 28 ⟶ 39 14 0 21 29 38 26 , 29 15 21 38 41 34 ⟶ 39 14 0 21 29 38 43 , 30 15 21 38 41 14 ⟶ 47 14 0 21 29 38 12 , 30 15 21 38 41 7 ⟶ 47 14 0 21 29 38 23 , 30 15 21 38 41 31 ⟶ 47 14 0 21 29 38 42 , 30 15 21 38 41 32 ⟶ 47 14 0 21 29 38 5 , 30 15 21 38 41 33 ⟶ 47 14 0 21 29 38 41 , 30 15 21 38 41 28 ⟶ 47 14 0 21 29 38 26 , 30 15 21 38 41 34 ⟶ 47 14 0 21 29 38 43 , 21 35 44 41 31 12 ⟶ 18 23 10 35 6 31 12 , 21 35 44 41 31 23 ⟶ 18 23 10 35 6 31 23 , 21 35 44 41 31 42 ⟶ 18 23 10 35 6 31 42 , 21 35 44 41 31 5 ⟶ 18 23 10 35 6 31 5 , 21 35 44 41 31 41 ⟶ 18 23 10 35 6 31 41 , 21 35 44 41 31 26 ⟶ 18 23 10 35 6 31 26 , 21 35 44 41 31 43 ⟶ 18 23 10 35 6 31 43 , 10 35 44 41 31 12 ⟶ 4 23 10 35 6 31 12 , 10 35 44 41 31 23 ⟶ 4 23 10 35 6 31 23 , 10 35 44 41 31 42 ⟶ 4 23 10 35 6 31 42 , 10 35 44 41 31 5 ⟶ 4 23 10 35 6 31 5 , 10 35 44 41 31 41 ⟶ 4 23 10 35 6 31 41 , 10 35 44 41 31 26 ⟶ 4 23 10 35 6 31 26 , 10 35 44 41 31 43 ⟶ 4 23 10 35 6 31 43 , 26 35 44 41 31 12 ⟶ 42 23 10 35 6 31 12 , 26 35 44 41 31 23 ⟶ 42 23 10 35 6 31 23 , 26 35 44 41 31 42 ⟶ 42 23 10 35 6 31 42 , 26 35 44 41 31 5 ⟶ 42 23 10 35 6 31 5 , 26 35 44 41 31 41 ⟶ 42 23 10 35 6 31 41 , 26 35 44 41 31 26 ⟶ 42 23 10 35 6 31 26 , 26 35 44 41 31 43 ⟶ 42 23 10 35 6 31 43 , 27 35 44 41 31 12 ⟶ 44 23 10 35 6 31 12 , 27 35 44 41 31 23 ⟶ 44 23 10 35 6 31 23 , 27 35 44 41 31 42 ⟶ 44 23 10 35 6 31 42 , 27 35 44 41 31 5 ⟶ 44 23 10 35 6 31 5 , 27 35 44 41 31 41 ⟶ 44 23 10 35 6 31 41 , 27 35 44 41 31 26 ⟶ 44 23 10 35 6 31 26 , 27 35 44 41 31 43 ⟶ 44 23 10 35 6 31 43 , 28 35 44 41 31 12 ⟶ 31 23 10 35 6 31 12 , 28 35 44 41 31 23 ⟶ 31 23 10 35 6 31 23 , 28 35 44 41 31 42 ⟶ 31 23 10 35 6 31 42 , 28 35 44 41 31 5 ⟶ 31 23 10 35 6 31 5 , 28 35 44 41 31 41 ⟶ 31 23 10 35 6 31 41 , 28 35 44 41 31 26 ⟶ 31 23 10 35 6 31 26 , 28 35 44 41 31 43 ⟶ 31 23 10 35 6 31 43 , 29 35 44 41 31 12 ⟶ 38 23 10 35 6 31 12 , 29 35 44 41 31 23 ⟶ 38 23 10 35 6 31 23 , 29 35 44 41 31 42 ⟶ 38 23 10 35 6 31 42 , 29 35 44 41 31 5 ⟶ 38 23 10 35 6 31 5 , 29 35 44 41 31 41 ⟶ 38 23 10 35 6 31 41 , 29 35 44 41 31 26 ⟶ 38 23 10 35 6 31 26 , 29 35 44 41 31 43 ⟶ 38 23 10 35 6 31 43 , 30 35 44 41 31 12 ⟶ 46 23 10 35 6 31 12 , 30 35 44 41 31 23 ⟶ 46 23 10 35 6 31 23 , 30 35 44 41 31 42 ⟶ 46 23 10 35 6 31 42 , 30 35 44 41 31 5 ⟶ 46 23 10 35 6 31 5 , 30 35 44 41 31 41 ⟶ 46 23 10 35 6 31 41 , 30 35 44 41 31 26 ⟶ 46 23 10 35 6 31 26 , 30 35 44 41 31 43 ⟶ 46 23 10 35 6 31 43 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 10 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 24 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 26 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 27 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 28 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 29 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 30 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 31 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 32 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 33 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 34 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 35 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 36 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 37 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 38 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 39 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 40 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 41 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 12 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 42 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 43 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 44 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 45 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 46 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 47 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 27 ↦ 0, 38 ↦ 1, 41 ↦ 2, 33 ↦ 3, 13 ↦ 4, 19 ↦ 5, 6 ↦ 6, 28 ↦ 7, 26 ↦ 8, 14 ↦ 9, 29 ↦ 10, 15 ↦ 11, 24 ↦ 12, 9 ↦ 13, 36 ↦ 14, 10 ↦ 15, 32 ↦ 16, 21 ↦ 17, 0 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 16-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 7 1 2 , 0 1 2 7 ⟶ 4 5 6 3 7 1 8 , 7 1 2 3 ⟶ 9 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 7 ⟶ 9 5 6 3 7 1 8 , 10 1 2 3 ⟶ 11 5 6 3 7 1 2 , 10 1 2 7 ⟶ 11 5 6 3 7 1 8 , 0 1 8 12 13 ⟶ 14 0 12 15 1 2 , 0 1 8 12 15 ⟶ 14 0 12 15 1 8 , 7 1 8 12 13 ⟶ 16 0 12 15 1 2 , 7 1 8 12 15 ⟶ 16 0 12 15 1 8 , 15 11 17 1 2 3 ⟶ 13 9 18 17 10 1 2 , 15 11 17 1 2 7 ⟶ 13 9 18 17 10 1 8 , 8 11 17 1 2 3 ⟶ 2 9 18 17 10 1 2 , 8 11 17 1 2 7 ⟶ 2 9 18 17 10 1 8 , 7 11 17 1 2 3 ⟶ 3 9 18 17 10 1 2 , 7 11 17 1 2 7 ⟶ 3 9 18 17 10 1 8 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 9 ↦ 8, 8 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 15-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 3 ⟶ 8 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 7 ⟶ 8 5 6 3 7 1 9 , 10 1 2 3 ⟶ 11 5 6 3 7 1 2 , 10 1 2 7 ⟶ 11 5 6 3 7 1 9 , 0 1 9 12 13 ⟶ 14 0 12 15 1 2 , 0 1 9 12 15 ⟶ 14 0 12 15 1 9 , 7 1 9 12 13 ⟶ 16 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 15 ⟶ 16 0 12 15 1 9 , 15 11 17 1 2 3 ⟶ 13 8 18 17 10 1 2 , 15 11 17 1 2 7 ⟶ 13 8 18 17 10 1 9 , 9 11 17 1 2 3 ⟶ 2 8 18 17 10 1 2 , 9 11 17 1 2 7 ⟶ 2 8 18 17 10 1 9 , 7 11 17 1 2 3 ⟶ 3 8 18 17 10 1 2 , 7 11 17 1 2 7 ⟶ 3 8 18 17 10 1 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 14-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 3 ⟶ 8 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 7 ⟶ 8 5 6 3 7 1 9 , 10 1 2 3 ⟶ 11 5 6 3 7 1 2 , 10 1 2 7 ⟶ 11 5 6 3 7 1 9 , 0 1 9 12 13 ⟶ 14 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 13 ⟶ 16 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 15 ⟶ 16 0 12 15 1 9 , 15 11 17 1 2 3 ⟶ 13 8 18 17 10 1 2 , 15 11 17 1 2 7 ⟶ 13 8 18 17 10 1 9 , 9 11 17 1 2 3 ⟶ 2 8 18 17 10 1 2 , 9 11 17 1 2 7 ⟶ 2 8 18 17 10 1 9 , 7 11 17 1 2 3 ⟶ 3 8 18 17 10 1 2 , 7 11 17 1 2 7 ⟶ 3 8 18 17 10 1 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 13-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 3 ⟶ 8 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 7 ⟶ 8 5 6 3 7 1 9 , 10 1 2 3 ⟶ 11 5 6 3 7 1 2 , 10 1 2 7 ⟶ 11 5 6 3 7 1 9 , 0 1 9 12 13 ⟶ 14 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 13 ⟶ 16 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 15 ⟶ 16 0 12 15 1 9 , 15 11 17 1 2 3 ⟶ 13 8 18 17 10 1 2 , 9 11 17 1 2 3 ⟶ 2 8 18 17 10 1 2 , 9 11 17 1 2 7 ⟶ 2 8 18 17 10 1 9 , 7 11 17 1 2 3 ⟶ 3 8 18 17 10 1 2 , 7 11 17 1 2 7 ⟶ 3 8 18 17 10 1 9 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 7: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 12-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 3 ⟶ 8 5 6 3 7 1 2 , 7 1 2 7 ⟶ 8 5 6 3 7 1 9 , 10 1 2 3 ⟶ 11 5 6 3 7 1 2 , 10 1 2 7 ⟶ 11 5 6 3 7 1 9 , 0 1 9 12 13 ⟶ 14 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 13 ⟶ 16 0 12 15 1 2 , 7 1 9 12 15 ⟶ 16 0 12 15 1 9 , 15 11 17 1 2 3 ⟶ 13 8 18 17 10 1 2 , 9 11 17 1 2 3 ⟶ 2 8 18 17 10 1 2 , 9 11 17 1 2 7 ⟶ 2 8 18 17 10 1 9 , 7 11 17 1 2 3 ⟶ 3 8 18 17 10 1 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 5: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 7 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 8 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 9 ↦ 7, 10 ↦ 8, 11 ↦ 9, 0 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 11-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 0 1 2 , 0 1 2 0 ⟶ 4 5 6 3 0 1 7 , 8 1 2 3 ⟶ 9 5 6 3 0 1 2 , 8 1 2 0 ⟶ 9 5 6 3 0 1 7 , 10 1 7 11 12 ⟶ 13 10 11 14 1 2 , 0 1 7 11 12 ⟶ 15 10 11 14 1 2 , 0 1 7 11 14 ⟶ 15 10 11 14 1 7 , 14 9 16 1 2 3 ⟶ 12 4 17 16 8 1 2 , 7 9 16 1 2 3 ⟶ 2 4 17 16 8 1 2 , 7 9 16 1 2 0 ⟶ 2 4 17 16 8 1 7 , 0 9 16 1 2 3 ⟶ 3 4 17 16 8 1 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 9-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 4 5 6 3 0 1 2 , 0 1 2 0 ⟶ 4 5 6 3 0 1 7 , 8 1 2 3 ⟶ 9 5 6 3 0 1 2 , 8 1 2 0 ⟶ 9 5 6 3 0 1 7 , 10 1 7 11 12 ⟶ 13 10 11 14 1 2 , 14 9 15 1 2 3 ⟶ 12 4 16 15 8 1 2 , 7 9 15 1 2 3 ⟶ 2 4 16 15 8 1 2 , 7 9 15 1 2 0 ⟶ 2 4 16 15 8 1 7 , 0 9 15 1 2 3 ⟶ 3 4 16 15 8 1 2 } Applying the dependency pairs transformation. Here, ↑ marks so-called defined symbols. After renaming modulo the bijection { (0,↑) ↦ 0, (1,↓) ↦ 1, (2,↓) ↦ 2, (3,↓) ↦ 3, (0,↓) ↦ 4, (7,↓) ↦ 5, (7,↑) ↦ 6, (8,↑) ↦ 7, (10,↑) ↦ 8, (11,↓) ↦ 9, (12,↓) ↦ 10, (14,↓) ↦ 11, (14,↑) ↦ 12, (9,↓) ↦ 13, (15,↓) ↦ 14, (4,↓) ↦ 15, (5,↓) ↦ 16, (6,↓) ↦ 17, (8,↓) ↦ 18, (10,↓) ↦ 19, (13,↓) ↦ 20, (16,↓) ↦ 21 }, it remains to prove termination of the 22-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 2 , 0 1 2 4 ⟶ 0 1 5 , 0 1 2 4 ⟶ 6 , 7 1 2 3 ⟶ 0 1 2 , 7 1 2 4 ⟶ 0 1 5 , 7 1 2 4 ⟶ 6 , 8 1 5 9 10 ⟶ 8 9 11 1 2 , 8 1 5 9 10 ⟶ 12 1 2 , 12 13 14 1 2 3 ⟶ 7 1 2 , 6 13 14 1 2 3 ⟶ 7 1 2 , 6 13 14 1 2 4 ⟶ 7 1 5 , 6 13 14 1 2 4 ⟶ 6 , 0 13 14 1 2 3 ⟶ 7 1 2 , 4 1 2 3 →= 15 16 17 3 4 1 2 , 4 1 2 4 →= 15 16 17 3 4 1 5 , 18 1 2 3 →= 13 16 17 3 4 1 2 , 18 1 2 4 →= 13 16 17 3 4 1 5 , 19 1 5 9 10 →= 20 19 9 11 1 2 , 11 13 14 1 2 3 →= 10 15 21 14 18 1 2 , 5 13 14 1 2 3 →= 2 15 21 14 18 1 2 , 5 13 14 1 2 4 →= 2 15 21 14 18 1 5 , 4 13 14 1 2 3 →= 3 15 21 14 18 1 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 15 ↦ 11, 16 ↦ 12, 17 ↦ 13, 18 ↦ 14, 13 ↦ 15, 19 ↦ 16, 20 ↦ 17, 14 ↦ 18, 21 ↦ 19 }, it remains to prove termination of the 14-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 2 , 0 1 2 4 ⟶ 0 1 5 , 6 1 2 3 ⟶ 0 1 2 , 6 1 2 4 ⟶ 0 1 5 , 7 1 5 8 9 ⟶ 7 8 10 1 2 , 4 1 2 3 →= 11 12 13 3 4 1 2 , 4 1 2 4 →= 11 12 13 3 4 1 5 , 14 1 2 3 →= 15 12 13 3 4 1 2 , 14 1 2 4 →= 15 12 13 3 4 1 5 , 16 1 5 8 9 →= 17 16 8 10 1 2 , 10 15 18 1 2 3 →= 9 11 19 18 14 1 2 , 5 15 18 1 2 3 →= 2 11 19 18 14 1 2 , 5 15 18 1 2 4 →= 2 11 19 18 14 1 5 , 4 15 18 1 2 3 →= 3 11 19 18 14 1 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7, 9 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18 }, it remains to prove termination of the 12-rule system { 0 1 2 3 ⟶ 0 1 2 , 0 1 2 4 ⟶ 0 1 5 , 6 1 5 7 8 ⟶ 6 7 9 1 2 , 4 1 2 3 →= 10 11 12 3 4 1 2 , 4 1 2 4 →= 10 11 12 3 4 1 5 , 13 1 2 3 →= 14 11 12 3 4 1 2 , 13 1 2 4 →= 14 11 12 3 4 1 5 , 15 1 5 7 8 →= 16 15 7 9 1 2 , 9 14 17 1 2 3 →= 8 10 18 17 13 1 2 , 5 14 17 1 2 3 →= 2 10 18 17 13 1 2 , 5 14 17 1 2 4 →= 2 10 18 17 13 1 5 , 4 14 17 1 2 3 →= 3 10 18 17 13 1 2 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 6 ↦ 0, 1 ↦ 1, 5 ↦ 2, 7 ↦ 3, 8 ↦ 4, 9 ↦ 5, 2 ↦ 6, 4 ↦ 7, 3 ↦ 8, 10 ↦ 9, 11 ↦ 10, 12 ↦ 11, 13 ↦ 12, 14 ↦ 13, 15 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16, 18 ↦ 17 }, it remains to prove termination of the 10-rule system { 0 1 2 3 4 ⟶ 0 3 5 1 6 , 7 1 6 8 →= 9 10 11 8 7 1 6 , 7 1 6 7 →= 9 10 11 8 7 1 2 , 12 1 6 8 →= 13 10 11 8 7 1 6 , 12 1 6 7 →= 13 10 11 8 7 1 2 , 14 1 2 3 4 →= 15 14 3 5 1 6 , 5 13 16 1 6 8 →= 4 9 17 16 12 1 6 , 2 13 16 1 6 8 →= 6 9 17 16 12 1 6 , 2 13 16 1 6 7 →= 6 9 17 16 12 1 2 , 7 13 16 1 6 8 →= 8 9 17 16 12 1 6 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 6: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 7 ↦ 0, 1 ↦ 1, 6 ↦ 2, 8 ↦ 3, 9 ↦ 4, 10 ↦ 5, 11 ↦ 6, 2 ↦ 7, 12 ↦ 8, 13 ↦ 9, 14 ↦ 10, 3 ↦ 11, 4 ↦ 12, 15 ↦ 13, 5 ↦ 14, 16 ↦ 15, 17 ↦ 16 }, it remains to prove termination of the 9-rule system { 0 1 2 3 →= 4 5 6 3 0 1 2 , 0 1 2 0 →= 4 5 6 3 0 1 7 , 8 1 2 3 →= 9 5 6 3 0 1 2 , 8 1 2 0 →= 9 5 6 3 0 1 7 , 10 1 7 11 12 →= 13 10 11 14 1 2 , 14 9 15 1 2 3 →= 12 4 16 15 8 1 2 , 7 9 15 1 2 3 →= 2 4 16 15 8 1 2 , 7 9 15 1 2 0 →= 2 4 16 15 8 1 7 , 0 9 15 1 2 3 →= 3 4 16 15 8 1 2 } The system is trivially terminating.