/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_default /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- YES After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3 }, it remains to prove termination of the 30-rule system { 0 0 0 1 0 2 2 3 3 2 3 3 0 ⟶ 3 3 1 1 3 3 3 1 3 1 3 2 1 0 3 3 1 , 0 0 2 2 1 0 2 3 1 3 1 1 0 ⟶ 1 0 1 0 2 1 3 3 3 3 2 3 2 3 1 1 0 , 0 1 1 0 2 1 0 1 3 0 1 3 3 ⟶ 0 3 3 3 0 2 3 3 0 3 3 2 1 3 3 1 3 , 0 1 1 1 3 3 0 3 2 3 3 1 2 ⟶ 3 3 1 1 0 2 1 2 3 0 3 3 3 2 3 0 2 , 0 1 1 3 0 1 1 1 1 3 1 3 1 ⟶ 2 3 1 1 0 3 3 1 3 2 1 3 3 1 2 1 3 , 0 1 2 3 2 2 2 1 2 3 0 0 0 ⟶ 1 1 3 3 0 3 3 1 2 3 1 3 3 0 0 1 1 , 0 2 3 0 0 0 0 2 3 1 0 3 1 ⟶ 1 1 2 2 1 2 3 0 2 1 3 1 2 3 3 2 1 , 0 2 3 3 0 0 2 2 3 0 3 1 3 ⟶ 3 1 3 3 2 1 0 0 1 0 3 3 3 1 3 2 1 , 0 3 3 0 3 0 3 0 3 3 3 0 0 ⟶ 1 1 0 3 3 1 1 2 3 2 3 3 3 0 2 1 1 , 1 0 1 3 2 2 2 1 2 1 3 3 2 ⟶ 3 3 1 0 0 2 3 3 3 2 3 1 3 1 3 1 1 , 1 1 0 3 2 0 1 0 3 3 2 0 2 ⟶ 1 3 0 0 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 2 , 1 2 0 1 0 3 1 3 0 2 1 2 3 ⟶ 1 3 1 3 1 0 1 0 0 3 3 3 1 3 2 3 3 , 1 2 1 0 1 1 2 3 2 1 1 0 0 ⟶ 3 1 3 3 3 3 3 1 1 2 3 2 1 0 1 0 1 , 1 2 2 1 1 2 0 3 3 3 0 3 2 ⟶ 1 3 1 3 3 3 3 1 3 2 1 3 3 2 2 3 2 , 1 2 2 3 3 3 3 3 0 0 3 2 2 ⟶ 1 3 3 3 3 1 1 2 3 1 1 3 1 0 0 1 0 , 2 0 1 1 2 1 0 3 2 1 3 1 3 ⟶ 0 3 3 0 2 2 1 3 1 2 3 1 3 1 3 3 3 , 2 0 2 0 2 1 3 0 0 0 2 3 0 ⟶ 2 3 1 2 3 3 2 2 0 3 1 1 3 3 3 2 0 , 2 0 2 2 1 3 1 3 0 1 3 2 1 ⟶ 2 0 1 3 3 1 3 3 2 3 0 2 1 1 0 2 1 , 2 1 3 0 2 3 2 2 1 2 3 2 3 ⟶ 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 0 3 3 3 , 2 3 1 0 3 3 3 0 0 3 0 0 3 ⟶ 1 1 2 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 3 1 , 3 0 1 2 2 0 3 1 0 1 2 0 1 ⟶ 3 3 2 2 3 1 0 2 3 3 1 2 1 0 1 1 1 , 3 0 2 2 1 0 0 3 1 2 1 1 1 ⟶ 3 2 3 1 3 1 2 3 1 0 0 2 3 1 2 3 1 , 3 0 2 2 1 3 3 1 1 0 1 0 2 ⟶ 3 2 1 1 1 3 3 1 3 1 3 1 1 2 1 3 3 , 3 0 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 ⟶ 3 2 3 3 0 0 3 1 1 2 3 1 1 1 3 1 2 , 3 0 3 3 1 2 3 0 0 2 2 0 1 ⟶ 3 3 1 2 0 1 1 0 3 3 3 0 2 3 3 1 0 , 3 1 1 3 3 2 0 3 3 1 1 0 1 ⟶ 3 1 1 3 3 3 1 0 2 3 1 1 3 1 3 3 3 , 3 2 0 3 3 1 3 2 0 2 0 0 1 ⟶ 3 3 3 3 1 0 2 3 2 1 3 1 3 3 2 1 3 , 3 2 1 2 0 3 2 3 2 3 0 2 3 ⟶ 3 3 3 1 3 2 1 0 0 2 0 0 3 0 3 3 3 , 3 2 2 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 ⟶ 3 2 3 3 3 1 1 3 2 1 2 2 3 2 2 3 1 , 3 3 2 0 0 0 0 3 1 1 0 0 2 ⟶ 3 1 2 3 3 2 1 1 1 1 2 1 2 1 0 3 1 } Applying sparse tiling TRFC(2) [Geser/Hofbauer/Waldmann, FSCD 2019]. After renaming modulo the bijection { (0,0) ↦ 0, (0,1) ↦ 1, (1,0) ↦ 2, (0,2) ↦ 3, (2,2) ↦ 4, (2,3) ↦ 5, (3,3) ↦ 6, (3,2) ↦ 7, (3,0) ↦ 8, (0,3) ↦ 9, (3,1) ↦ 10, (1,1) ↦ 11, (1,3) ↦ 12, (2,1) ↦ 13, (1,2) ↦ 14, (0,5) ↦ 15, (1,5) ↦ 16, (2,0) ↦ 17, (4,0) ↦ 18, (4,3) ↦ 19, (4,1) ↦ 20, (3,5) ↦ 21, (2,5) ↦ 22, (4,2) ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 750-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 5 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 5 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 5 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 5 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 5 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 19 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 19 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 19 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 19 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 18 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 19 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 17 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 13 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 17 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 13 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 17 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 13 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 17 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 13 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 17 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 13 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 18 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 20 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 18 0 3 4 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11 2 0 3 4 ⟶ 12 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 14 , 12 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 5 ⟶ 12 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 12 , 12 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 22 ⟶ 12 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 16 , 5 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 17 ⟶ 5 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 2 , 5 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 13 ⟶ 5 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 11 , 5 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 4 ⟶ 5 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 14 , 5 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 5 ⟶ 5 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 12 , 5 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 22 ⟶ 5 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 16 , 6 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 17 ⟶ 6 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 2 , 6 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 13 ⟶ 6 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 11 , 6 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 4 ⟶ 6 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 14 , 6 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 5 ⟶ 6 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 12 , 6 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 22 ⟶ 6 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 16 , 19 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 17 ⟶ 19 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 2 , 19 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 13 ⟶ 19 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 11 , 19 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 4 ⟶ 19 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 14 , 19 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 5 ⟶ 19 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 12 , 19 6 7 17 0 0 0 9 10 11 2 0 3 22 ⟶ 19 10 14 5 6 7 13 11 11 11 14 13 14 13 2 9 10 16 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 18 ↦ 17, 19 ↦ 18, 20 ↦ 19, 21 ↦ 20, 17 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 460-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 18 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 18 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 17 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 18 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 17 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2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 14 ⟶ 9 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 12 ⟶ 9 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 16 ⟶ 9 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 2 ⟶ 12 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 11 ⟶ 12 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 14 ⟶ 12 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 12 ⟶ 12 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 16 ⟶ 12 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 2 ⟶ 5 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 11 ⟶ 5 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 14 ⟶ 5 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 12 ⟶ 5 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 16 ⟶ 5 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 2 ⟶ 6 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 11 ⟶ 6 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 14 ⟶ 6 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 12 ⟶ 6 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 16 ⟶ 6 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 18 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 2 ⟶ 18 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 18 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 11 ⟶ 18 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 18 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 14 ⟶ 18 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 18 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 12 ⟶ 18 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 18 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 21 1 16 ⟶ 18 6 10 14 21 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 9 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 8 , 9 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 10 , 9 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 7 , 9 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 6 , 9 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 20 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 20 , 12 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 8 , 12 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 10 , 12 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 7 , 12 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 6 , 12 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 20 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 20 , 5 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 8 , 5 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 10 , 5 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 7 , 5 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 6 , 5 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 20 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 20 , 6 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 8 , 6 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 10 , 6 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 7 , 6 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 6 , 6 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 20 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 20 , 18 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 18 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 8 , 18 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 18 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 10 , 18 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 18 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 7 , 18 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 18 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 6 , 18 7 13 14 21 9 7 5 7 5 8 3 5 20 ⟶ 18 6 6 10 12 7 13 2 0 3 21 0 9 8 9 6 6 20 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 20 ↦ 17, 21 ↦ 18, 17 ↦ 19, 22 ↦ 20, 19 ↦ 21, 18 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 420-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 2 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 11 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 8 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 10 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 0 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 8 ⟶ 0 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 8 , 0 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 10 ⟶ 0 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 10 , 0 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 7 ⟶ 0 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 7 , 0 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 6 ⟶ 0 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 6 , 0 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 17 ⟶ 0 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 17 , 2 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 8 ⟶ 2 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 8 , 2 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 10 ⟶ 2 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 10 , 2 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 7 ⟶ 2 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 7 , 2 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 6 ⟶ 2 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 6 , 2 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 17 ⟶ 2 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 17 , 18 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 8 ⟶ 18 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 8 , 18 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 10 ⟶ 18 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 10 , 18 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 7 ⟶ 18 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 7 , 18 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 6 ⟶ 18 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 6 , 18 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 17 ⟶ 18 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 17 , 8 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 8 ⟶ 8 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 8 , 8 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 10 ⟶ 8 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 10 , 8 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 7 ⟶ 8 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 7 , 8 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 6 ⟶ 8 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 6 , 8 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 17 ⟶ 8 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 17 , 19 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 8 ⟶ 19 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 8 , 19 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 10 ⟶ 19 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 10 , 19 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 7 ⟶ 19 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 7 , 19 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 6 ⟶ 19 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 6 , 19 1 11 2 3 13 2 1 12 8 1 12 6 17 ⟶ 19 9 6 6 8 3 5 6 8 9 6 7 13 12 6 10 12 17 , 0 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 18 ⟶ 9 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 18 , 0 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 13 ⟶ 9 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 13 , 0 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 4 ⟶ 9 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 4 , 0 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 5 ⟶ 9 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 5 , 0 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 20 ⟶ 9 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 20 , 2 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 18 ⟶ 12 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 18 , 2 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 13 ⟶ 12 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 13 , 2 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 4 ⟶ 12 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 4 , 2 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 5 ⟶ 12 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 5 , 2 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 20 ⟶ 12 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 20 , 8 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 14 18 ⟶ 6 6 10 11 2 3 13 14 5 8 9 6 6 7 5 8 3 18 , 8 1 11 11 12 6 8 9 7 5 6 10 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18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 22 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 22 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 22 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 22 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 22 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 22 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 22 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 22 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 22 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 22 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 22 ↦ 22, 23 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 415-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 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13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 22 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 22 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { 0 ↦ 0, 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8, 9 ↦ 9, 10 ↦ 10, 11 ↦ 11, 12 ↦ 12, 13 ↦ 13, 14 ↦ 14, 15 ↦ 15, 16 ↦ 16, 17 ↦ 17, 18 ↦ 18, 19 ↦ 19, 20 ↦ 20, 21 ↦ 21, 23 ↦ 22, 22 ↦ 23 }, it remains to prove termination of the 407-rule system { 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 9 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 12 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 0 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 2 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 1 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 11 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 3 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 14 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 9 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 12 , 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 8 15 ⟶ 6 6 10 11 12 6 6 10 12 10 12 7 13 2 9 6 10 16 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 0 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 0 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 1 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 1 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 3 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 3 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 9 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 9 , 0 0 3 4 13 2 3 5 10 12 10 11 2 15 ⟶ 1 2 1 2 3 13 12 6 6 6 7 5 7 5 10 11 2 15 , 2 0 3 4 13 2 3 5 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11 14 5 10 11 11 12 10 14 4 , 12 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 5 ⟶ 12 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 5 , 12 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 20 ⟶ 12 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 20 , 5 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 18 ⟶ 5 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 18 , 5 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 13 ⟶ 5 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 13 , 5 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 4 ⟶ 5 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 4 , 5 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 5 ⟶ 5 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 5 , 5 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 20 ⟶ 5 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 20 , 6 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 18 ⟶ 6 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 18 , 6 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 13 ⟶ 6 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 13 , 6 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 4 ⟶ 6 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 4 , 6 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 5 ⟶ 6 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 5 , 6 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 20 ⟶ 6 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 20 , 23 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 18 ⟶ 23 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 18 , 23 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 13 ⟶ 23 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 13 , 23 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 4 ⟶ 23 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 4 , 23 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 5 ⟶ 23 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 5 , 23 8 9 7 13 12 7 5 7 5 7 5 7 20 ⟶ 23 7 5 6 8 0 9 10 11 14 5 10 11 11 12 10 14 20 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 9 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 9 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 9 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 9 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 9 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 9 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 12 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 12 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 12 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 12 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 12 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 12 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 5 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 5 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 5 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 5 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 5 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 5 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 6 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 6 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 23 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 2 ⟶ 23 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 0 , 23 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 11 ⟶ 23 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 1 , 23 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 14 ⟶ 23 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 3 , 23 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 12 ⟶ 23 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 9 , 23 8 9 6 10 14 5 8 0 3 4 18 1 16 ⟶ 23 6 10 14 18 1 11 2 9 6 6 8 3 5 6 10 2 15 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 9 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 9 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 12 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 12 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 5 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 5 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 6 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 6 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 , 23 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 8 ⟶ 23 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 8 , 23 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 10 ⟶ 23 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 10 , 23 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 7 ⟶ 23 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 7 , 23 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 6 ⟶ 23 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 6 , 23 7 13 14 18 9 7 5 7 5 8 3 5 17 ⟶ 23 6 6 10 12 7 13 2 0 3 18 0 9 8 9 6 6 17 } The system was filtered by the following matrix interpretation of type E_J with J = {1,...,2} and dimension 2: 0 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 15 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 13 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 20 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 6 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 7 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 7 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 8 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 5 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 9 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 10 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 11 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 12 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 13 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 14 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 15 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 16 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 17 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 18 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 19 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 20 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 21 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 23 ↦ ⎛ ⎞ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ After renaming modulo the bijection { }, it remains to prove termination of the 0-rule system { } The system is trivially terminating.